关于“数学文化”的读书报告

摘要

这学期，我选了王良龙老师的数学文化课。我周边的同学对此都感到不可思议，他们好奇作为文科生且害怕学习数学的我怎么会选了这样一门科技课。其实我刚开始也是误打误撞地选了这门课，可上完第一次课，我就折服在老师幽默的语言和数学文化的魅力之中。还记得第一次课我们讨论了大学文科生该不该学数学。说实话，作为文科生的我数学不是很好，我一直觉得数学很枯燥，学起来很难。但从理性分析，作为文科生的我们应该学习数学。克莱因曾说：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”随着我对数学文化理解的加深，我逐渐明白了克莱因这句话的含义。 关键字：数学文化、数学思想与方法、数学语言、数学美、

一、 什么是数学文化

从狭义上来说，数学文化是数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。但广义上的数学文化是除上述内涵以外，还包含数学家，数学史，数学美，数学教育，数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等。那么数学文化是怎样产生的呢？ 20世纪初年的数学曾经存在着脱离社会文化的孤立主义倾向，并一直影响到今天的中国。数学的过度形式化，使人错误地

感到数学只是少数天才脑子里想象出来的“自由创造物”，数学的发展无须社会的推动，其真理性无须实践的检验，当然，数学的进步也无须人类文化的哺育。于是，西方的数学界有“经验主义的复兴”。怀特的数学文化论力图把数学回归到文化层面。克莱因的《古今数学思想》、《西方文化中的数学》、《数学：确定性的丧失》相继问世，力图营造数学文化的人文色彩。 国内最早注意数学文化的学者是北京大学的教授孙小礼，她和邓东皋等合编的《数学与文化》，汇集了一些数学名家的有关论述，也记录了从自然辩证法研究的角度对数学文化的思考。稍后出版的有齐民友的《数学与文化》，主要从非欧几何产生的历史阐述数学的文化价值，特别指出了数学思维的文化意义。郑毓信等出版的专著《数学文化学》，特点是用社会建构主义的哲学观，强调“数学共同体”产生的文化效应。这些著作及的论文，都力图把数学从单纯的逻辑演绎推理的圈子中解放出来，重点是分析数学文明史，充分揭示数学的文化内涵，肯定数学作为文化存在的价值。

美国数学学会主席德尔德说：“数学是一种会不断进化的文化。”我们学习数学文化，有助于我们理性思维的培养，有助于扩展我们的数学视野，也有助于加强我们的科技素质。我们安徽大学很早就成立了有关数学文化的科技课，从最早的《数学文化与数学教育》到我们现在所上的《数学文化-高等数学D》，安徽大学一直重视加强对学生的数学知识教育。前不久，学校还举办了“数学文化周”的活动，活动内容主要分为学术讲座、数学文化展、数学定向越野等三部分，

向全校同学传播数学历史与文化，体现数学的实用性和趣味性，展示安徽大学数学学科的建设成就。 二、 数学思想与方法

（一）、数学思想

1. 化归思想

化归思想是指利用数学对象之间的相互联系促成数学问题的转化，通过转化，把不规范的问题变为规范的问题，把不熟悉的问题变为熟悉的问题，概括来说，也就是“化难为易、化繁为简、化未知为已知”的一种方法。著名的哥尼斯堡七桥问题就是运用这种思想解决的。

2. 数形结合思想

顾名思义，数形结合思想就是在解决各类数学问题的时候，同时运用计算和图形两种方法，它体现了抽象思维与形象思维的相互补充，沟通了数学的各分支之间的内在联系。著名数学家华罗庚说过这样一句的话来形容数形结合思想：“数缺形时少自觉，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔断分家万事难”。只要我们牢牢掌握这种方法，时刻记得“图不离手”的原则，我们就像手握地图一样，能在迷茫的题海中找到出路。

3. 函数与方程思想

它指的是运用变化的观点分析研究具体问题的数量关系，通过方程或函数的形式正确表达有关问题中的数量关系，从而解决

有关问题，它在数学问题中应用广泛。

4.换元法

换元法是我们从初中就开始接触的，它对我们并不陌生，需要记得的是，为了真正达到换繁为简，化难为易的目的，在使用换元法解题时，往往要根据问题所呈现的结构特征，选择合适的换元方式，当然很多时候，“元”往往被隐藏或并不明显，因此在做题时，我们要灵活转变尽量拼凑出“元”来。

（二）、数学方法

1.具体与抽象

具体是社会实践，是客观存在的东西，因为数学是源于社会实践的。同时数学是一种利用自身已有的概念、定理、公设，借助已知的相互关系，通过推理、计算而获得新发现的学科。数学的概念是抽象的，数学的方法也是抽象的。爱因斯坦相对论的发现恰恰是借助于数学的方法论路径去实现的，如果没有非欧几何人类可能还要在牛顿的时空观中走过许多年才能寻找到相对论。数学方法的抽象是借助数学概念、公理、定理、公设等，把所有涉及研究对象的概念以及研究对象的抽象性归并汇集在一起，找出他们更具体抽象、统一的结论。这种抽象方法，人们一般冠以公理化方法。它大大拓宽了人们的视野，从只抽象个别对象扩展到抽象整个数学理论的逻辑结构。现在，数学研究的对象已不是具体、特殊的对象，而是抽象的数学结构。

2.演绎与归纳

演绎法是由一般到特殊的推理，它有三段论的表现形式，由一般

的判断，特殊判断，结论三部分组成。归纳与演绎不同，归纳是这样一种推理：其中所得到的结论超越了经验材料所提供的东西的一种经验猜想。看起来归纳与演绎很有区别的，事实归纳与演绎是相依而存、互为发展、对立统一的。恩格斯在《自然辩证法》中说：“我们用世界上的一切归纳法都永远不能把归纳过程弄清楚，只有对这个过程的分析才能做到这一点——归纳与演绎，正如分析与综合一样是必然相互联系着的，不应当牺牲一个而把另一个捧上天，应当把每一个用到该用的地方，而要做到这一点，就只有注意它们的相互联系，它们的相互补充。”

3.发现与证明

发现实际上就是定律的发现和理论地提出问题，最主要是通过假说，猜想。猜想是提出新思想，一个猜想可以带出或生出一个新的学科方向。比如，对欧氏第五公设的证明产生了非欧几何理论，四色猜想对开辟数学研究新途径有重要意义。在数学史上有很多有名猜想，人们熟悉的费马猜想，曾是一个悬赏10万马克的定理，实际上，它是源于几千年前的勾股定理。德国数学家曾宣称：当n大于2时，不存在一个整数n次幂是另外两个整数n次幂之和。数学家韦尔斯花了34年心血来解这道难题，并获得沃尔夫奖。许许多多数学猜想是由简单到复杂无休无止地产生出来。一个猜想解决了，又猜想出来了，数学家们总有解决不完的猜想。许多重要猜想，总能吸引众多数学家为此皓首穷经。在证明各个猜想的过程中，数学们会取得一系列重要理论成果。

4.分析与综合

分析是由未知去推导已知，在假定的前提下导出结论，而这一结论恰恰是已给出的条件或已知的命题。综合是由已知命题开始，通过演绎、归纳能一连串来导出未有的命题，或解决所要给出的问题的解。

善于结合运用这些数学思想和方法可以更好的来解决数学问题和体会数学的内涵。

三、 数学与其他学科的结合

（一）、数学与语言

数学是与语言完美结合的，数学的发展离不开语言。因为有了语言，我们才能表达我们的数学思想。而数学语言对数学至关重要，特别是数学文化与数学语言紧密结合。数学学习活动基本上是数学思维活动，而数学语言是数学思维的工具，所以掌握数学语言是顺利地、有成效地进行数学学习活动的重要基础之一。我们应当把培养学生的数学语言和数学知识的学习紧密地结合起来，将它看成是数学学习的重要组成部分。这样才能更好地锻炼我们学生思维的条理性、逻辑性和准确性。

（二）、数学与美学

在我们日常生活中，我们经常能看见数学与美学结合起来大的美。这就是数学的美。

说到数学美 ，人们自然会联想到令人心驰神往的优美而和谐的黄金分割；雄伟壮丽的科学宫殿的欧几里得平面几何；数学皇冠上的明珠“哥德巴赫猜想”??

数学美可以分为形式美和内在美。

数学中的公式、定理、图形等所呈现出来的简单、整齐以及对称的美是形式美的体现。数学中有字符美和构图美还有对称美，数学中的对称美反映的是自然界的和谐性，在几何形体中，最典型的就是轴对称图形。数学中的简洁美，数学具有形式简洁、有序、规整和高度统一的特点，许多纷繁复杂的现象，可以归纳为简单的数学公式。

数学的内在美有数学的和谐美，数量的和谐，空间的协调是构成数学美的重要因素。数学中的严谨美，严谨美是数学独特的内在美，我们通常用“滴水不漏”来形容数学。它表现在数学推理的严密，数学定义准确揭示概念的本质属性，数学结构系统的协调完备等等。总之，数学美的魅力是诱人的，数学美的力量是巨大的，数学美的思想是神奇的，数学与美学构成一个五彩缤纷的美的世界。

（三）、数学与哲学

柏拉图说：“哲学家也要学数学，因为他必须跳出浩如烟海的万变现象而抓住真正的实质。” 在数学的发展中，形成许多哲学的观点，有以罗素为代表的逻辑主义，以布劳威尔为代表的直觉主义，以希尔伯特为代表的形式主义三大学派。

四、 总结

经过近半学期的数学文化的学习，我收获了很多。我了解一些数学的思想、精神、文化，我相信这对我今后的工作与学习都有很大的帮助。在此，感谢王良龙老师在数学文化方面对我们的启发。 文献来源：顾沛.《数学文化》.高等教育出版社

方延明.《数学文化》.清华大学出版社

《中学数学月刊》20xx年第5期

《青春岁月》20xx年第24期

 

第二篇：数学文化读书报告

数学中的美

机械工程学院 机械07-3 200701011115 孔令营

摘要

本文主要阐述了美在数学中的体现，数学之美我们都遇到过，但是很多人都不能很好的体会到。

大部分人学习数学枯燥的一个重要原因是没有体会到“数学美”。不懂得欣赏数学美或缺少欣赏数学美的能力。因此，充分挖掘数学美，有助于我们学好数学，并且不再降学习数学当做枯燥的事情，而是快乐的事情。有的人之所以能够将数学学的精通，正是因为这些人发现了数学的奥秘所在，发现了数学的美，反之一些人不能很好的领悟数学之美。古希腊数学家普洛克拉斯曾经说：“哪里有数，哪里就有美。”的却，在很多数学知识中都包含着各式各样的美。

关键词

数学的各种形式的美：发展美，简洁美，和谐美，奇异突变美，哲学美...... 正文

1． 数学史的发展美：包括两个方面：（一）数学知识体系的发展美。如数系的发展。引入对数。坐标系的引入。微积分的发展等。（二）众多天才数学家留下的许多有趣的故事，体现了人类的智慧，人们为其折服和心悦。就是数学的发展的时间历程也透露出一种规律美：

1）数学萌芽期（公元前600年以前）；

2）初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）；

3）变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）；

4）近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）；

5）现代数学时期（20世纪40年代以来）。

2． 简洁美：莫德尔也说过：“在数学里美的各个属性中，首先要推崇的大概是简单性了。”爱因期坦也说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性

的美学准则。物理学家爱因期坦的这种美学理论，在数学界，也被多数人所认同。朴素，简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。

欧拉给出的公式：

1）e^iπ+1=0，这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。如此简单却又意义深刻，数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。

2）V－Ｅ＋Ｆ＝２，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数Ｖ、棱数Ｅ、面数Ｆ，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。

比如：

圆的周长公式：C=2πR

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方。

数学中绝大部分公式都体现了“形式的简洁性，内容的丰富性”。正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。如笛卡尔坐标系的引入。对数符号的使用，复数单位的引入。微积分的出现都体现了数学外在形式更简洁，内容更深厚。

3． 和谐美：与欧拉公式有关的棣美弗－欧拉公式是cos??isin??e。这个公式把人们以为没有什么共同性的两大类函数――三角函数与指数函数紧密地结合起来了。对他们的结合，人们始则惊诧，继而赞叹――确是“天作之合”，因为，由他们的结合能派生出许多美的，有用的结论来。和谐的美，在数学中多得不可胜数。如著名的黄金分割0.61803398?。

在正五边形中，边长与对角线长的比是黄金分割比。黄金分割比在许多艺术作品中、在建筑设计中都有广泛的应用。达·芬奇称黄金分割比为“神圣比例”．他认为“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上”。 i?

数学中的重要思想方法之一：数形结合法更体现了“数”与“形”的和谐美。

4.奇异、突变美：全世界有很大影响的两份杂志曾联合邀请全世界的数学家们评选“近

ab

50年的最佳数学问题”，其中有一道相当简单的问题：有哪些分数bc，不合理地把b约去a16

得到c，结果却是对的？经过一种简单计算，可以找到四个分数：64,261949,,659598。这个问题涉及到“运算谬误，结果正确”的歪打正着，在给人惊喜之余，不也展现一种奇异美吗。

5.对称美：数学中的对称美有：（一）数和式的对称美，象二项式定理，杨辉三角。（二）图形的对称美。如毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形。圆是中心对称圆形――圆心是它的对称中心，圆也是轴对称图形――任何一条直径都是它的对称轴。（三）数学思想和方法的对称美。如分析法与综合法，直接法与反证法，逻辑思维与逆向思维等。

在高等数学中，对称的例子也是经常遇到。

如过点 (x0,y0,z0))的直线方程写成对称形式为：

是直线的方向余弦。 ，其中

6. 统一美：数的概念从自然数、分数、负数、无理数，扩大到复数，经历了无数次坎坷，范围不断扩大了，在数学及其他学科的作用也不断地增大。那么，人们自然想到能否再把复数的概念继续推广。

英国数学家哈密顿苦苦思索了15年，没能获得成功。后来，他“被迫作出妥协”，牺牲了复数集中的一条性质，终于发现了四元数，即形为a1+a2i+a3j+a4k （a1 ，a2i ，a3j ，a4k 为实数）的数，其中ｉ、ｊ、ｋ如同复数中的虚数单位。若a3 ＝a4 ＝０，则四元数a1+a2i+a3j+a4k 是一般的复数。四元数的研究推动了线性代数的研究，并在此基础上形成了线性结合代数理论。物理学家麦克斯韦利用四元数理论建立了电磁理论。

数学的发展是逐步统一的过程。统一的目的也正如希而伯特所说的：“追求更有力的工具和更简单的方法”。

7. 创新美：数学在不断的创新中得到发展的。数学中还有许多问题，如采用新的思路、

新的方法。可使人耳目一新，从中得到美的赏受。例如立体几何中向量法的使用使传统的立体几何更充满生机。经典定理、题型的引伸、拓展。如下边这道题：

给你若干长方形和正方形的卡片，请你利用拼图地方法，选取相应种类和

数量的卡片，拼成一个矩形，是他的面积为aˇ2（a的平方）+4ab+3bˇ2(b的平方），并根据你平成的图像分解多项式aˇ2（a的平方）+4ab+3bˇ2(b的平方）。

图片样式：

1.边长为a的大正方形

2.边长为a,宽为b的竖着的长方形

3.变成为b的小正方形

1.边长为a的大正方形用一个

2.边长为a,宽为b的竖着的长方形用四个

3.边长为b的小正方形用3个

拼法（对照下面的方法自己很容易画图的）：

先用一个边长为a的大正方形

在它的右边竖放三个长方形

在大正方形下面横放一个长方形

在竖放的三个长方形下面分别放三个小正方形

根据上面的方法拼成的图形，是一个长为a+3b，宽为a+b的长方形，其面积等于

(a+3b)(a+b)，这个大长方形的面积也可以分成单一的图形再相加，面积就是a^2+4ab+3b^2

所以多项式a^2+4ab+3b^2=(a+3b)(a+b) 。

8.哲学美：人造卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同，它们的轨道可能是椭圆、双曲线或抛物线，这几种曲线的定义如下：

到定点距离与它到定直线的距离之比是常数ｅ的点的轨迹，

当ｅ＜１时，形成的是椭圆．

当ｅ＞１时，形成的是双曲线．

当ｅ＝１时，形成的是抛物线．

常数ｅ由0.999变为1、变为1.001，相差很小，形成的却是形状、性质完全不同的曲线。而这几种曲线又完全可看作不同的平面截圆锥面所得到的截线。

这也体现了哲学中的量变到质变。数学中也蕴含哲学这不是很美吗?

9. 应用美：数学理论不管离现实多远，最后总能找到它的实际用途，体现其为人类服务的价值取向。数学不但是其它自然科学的一门工具性学科，同时它还广泛应用于现实生活。

数学之美，还可以从更多的角度去审视，数学美的表现形式是多种多样的，从数学内容看，有概念之美、公式之美、体系之美等；从数学的方法及思维看，有简约之美、类比之美、抽象之美、无限之美等；从狭义美学意义上看，有对称之美、和谐之美、奇异之美等。上面只是就某些侧面谈一些看法。而每一侧面的美都不是孤立的，她们是相辅相成、密不可分的。如和谐美中包含统一美，统一美中也包含和谐美。

数学的美，她需要人们用心、用智慧深层次地去挖掘，更好地体会她的美学价值和她丰富、深隧的内涵和思想，及其对人类思维的深刻影响。如果在学习过程中，我们能与数学家们一起探索、发现，从中获得成功的喜悦和美的享受，那么我们就会不断深入其中，欣赏和创造美。

参考文献

20xx年《大学数学》第2期江高文“例谈数学的统一美”

19xx年高希尧《世界数学史略》 ， 陕西科学技术出版社，1—5页

19xx年《吉林师范大学学报(自然科学版)》

20xx年《南京晓庄学院学报》

20xx年《数学中的美》吴振奎，吴雯 著，上海教育出版社 ，1—20页