福建师范大学博士后开题报告

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第二篇：福建师范大学毕业论文(设计)开题报告-基于 FEPG 平台的 Poisson

基于FEPG平台的Poisson方程的高性能计算

数学与计算机科学学院 数学与应用数学专业

105012005041 卢佳乐 指导教师：马昌凤

【摘要】本文介绍应用FEPG软件，能够实现对Poisson方程的高性能计算，并结合Poisson方程的其中两个应用领域——电学和热学中的静电学问题及稳态热传导问题的计算进行举例说明．

【关键词】Poisson方程；有限元；FEPG；高性能计算

1

目录

1． 引言……………………………………………………………………………………………………… 3

2． Poisson方程………………………………………………………………………………………3

2．1 Poisson方程的定义…………………………………………………………………3

2．2 与Poisson方程相关的偏微分方程………………………………………………3

2．3 Poisson方程的应用……………………………………………………………… 3

2．4 Poisson方程的高性能计算………………………………………………………… 4

3． 有限元计算……………………………………………………………………………………5

3．1 有限元方法………………………………………………………………………5

3．2 有限元方法应用的基本步骤……………………………………………………5

3．3 有限元方法的应用………………………………………………………………6

4． FEPG软件…………………………………………………………………………………… 6

4．1 FEPG软件简介…………………………………………………………………6

4．2 FEPG软件思想…………………………………………………………………6

4．3 FEPG软件有限元计算的一般过程……………………………………………7

4．4 FEPG软件的应用………………………………………………………………7

4．5 为什么选择FEPG软件…………………………………………………………………… 8

5． 基于FEPG平台的Poisson方程的高性能计算……………………………………………8

5．1 Poisson方程在FEPG系统中所对应得虚功方程描述……………………………8

5．2 Poisson方程在静电学中的高性能计算…………………………………………… 9

5．3 Poisson方程在稳态热传导中的高性能计算…………………………………………11

5．4 推广及应用………………………………………………………………………………… 14 参考文献………………………………………………………………………………………………… 15

2

1． 引言

Poisson方程遍及电学、磁学、力学、热学等多个领域，因此解决Poisson方程的计算问题成为了高性能计算领域中的一个最基本问题.目前我们比较常用的方法有有限差分法、有限元法和有限体积法[1].而Poisson方程是属于椭圆型方程中的一类定态问题，则用既是基于变分原理，又具有差分方法的一些特点，并且适合于较复杂的区域和不同粗细网格的有限元方法较好[2]．

本课题是描述基于FEPG平台的Poisson方程的高性能计算问题，FEPG系统采用元件化编程思想和有限元语言这一先进的表达方式，根据微分方程表达式和算法表达式自动生成有限元程序，因此用户只需输入有限元方法所需的各种表达式和公式，即可由FEPG自动产生所需的全部有限元计算的源程序，包括单元子程序，算法程序等，免去了大量繁琐、重复的有限元编程劳动．对Poisson方程的研究，能为各领域各行业中的Poisson方程带来求解计算依据，因此研究它具有重大意义．

2． Poisson方程

2.1 Poisson方程的定义[2]

Poisson方程是数学中的一种偏微分方程，即为

Δφ=f

其中Δ代表的是拉普拉斯算子，而f和Δ可以是在流形上的实数或复数值的方程．

氏空间[4]，而拉普拉斯算子通常表示为?2，因此Poisson方程通常写成[5]

?2φ=f （

在二维直角坐标系中，Poisson方程可以写成

?2?2

(?x2+?y2)φ(x,y)=f(x,y) （

在三维直角坐标系中，Poisson方程可以写成

?2?2

(?2

?x2+?y2+?z2φ(x,y,z)=f(x,y,z) （

2.2 与Poisson方程相关的偏微分方程

在Poisson方程中，若没有f，这个方程就变成拉普拉斯方程，即

Δφ=0 （

然而不管是Poisson方程还是拉普拉斯方程都是椭圆型方程的典型代表[3]．

2.3 Poisson方程的应用

Poisson方程广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算．

2.3.1 Poisson方程在电学中的应用

3 （2-1） 2-2） 2-3） 2-4） 2-5） 当流形属于欧

例如，在静电学中很容易遇到Poisson方程[6]，若空间中充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系

?V （2-6） E=?I

和高斯微分式

??E=ρ

即可导出静电场的Poisson方程： rε0 （2-7）

?2V?2V?2Vρ2++=?V=? （2-8） 222εrε0?x?y?z

其式2-8中，ρ为自由电荷密度，εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数

．在没有自由电荷的区域里，ρ=0，Poisson方程就简化为拉普拉斯ε0=8.854×10?12（法拉第/米）

方程

?2V=0 （2-9）

2.3.2 Poisson方程在磁学中的应用[7]

例如，在静磁场中也常遇到Poisson方程，在SI制中，静磁场满足的方程为

??B=0 （2-10）

?×H=j （2-11）

?×A=B （2-12）

其式2-11中，j为传导电流密度．在各向同性、线性、均匀的磁媒质中，传导电流密度j≠0的区域里，磁失势满足的方程为

?×?×A=?(??A)??2A=uru0j （2-13）

??A=0 ，则得磁失势A满足Poisson方程 选用库伦规范，I

?A=?uru0j （2-14）

其式2-14中ur为媒质的相对磁导率，真空磁导率u0=1.257×10（H/m）．在传导电流密度j=0的区域里，2-14式就简化为拉普拉斯方程 ?62

?2A=0 （2-15）

2.3.3 Poisson方程在力学、热学中的应用

在力学中，由牛顿的引力理论产生了引力势的概念，它满足了Poisson方程和拉普拉斯方程． 在热学中，常物性的稳态热传导问题的偏微分方程属于泊松方程．若是常物性，无内热源的稳态热传导的偏微分方程是拉普拉斯方程．

2.4 Poisson方程的高性能计算

在科学计算中经常要数值求解各类偏微分方程，而有限差分法、有限元法和有限体积法是最重要的 4

常用方法．所以我们就在考虑可不可以用这几种数值求解方法来求解Poisson方程．

首先，我们可以用五点差分格式、九点差分格式和极坐标下的差分格式等差分方法来解决Poisson方程边值问题．然而，我们用差分法解Poisson方程，解的结果就是方程的准确解函数在节点上的近似解，这种方法主要是集中在依赖于时间的问题（即双曲型和抛物型方程）[3]．而如属于椭圆型方程的Poisson方程的这样一类定态问题，则用既是基于变分原理，又具有差分方法的一些特点，并且适合于较复杂的区域和不同粗细网格的有限元方法较合适[2]．

有限体积法又称为控制体积法，是将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围有一个互不重复的控制体积，将待解的微分方程对每个控制体积积分，从而得到一组离散方程．其中的未知数十网格节点上的因变量．子域法加离散，就是有限体积法的基本方法．就离散方法而言，有限体积法可视作有限元法和有限差分法的中间产物．它对于系数有间断，歩长不等距等情况较容易处理，而且得到的差分方程将更好地保持了微分方程的一些特性．

然而除此之外，我们还可以采用边界元法、多重网格法等多种方法来求解Poisson方程．但由于它们都不常用，且相对有限元方法来得复杂，因此我们最多考虑的还是用有限元方法来求解Poisson方程．

3． 有限元计算

3.1 有限元方法

有限元法也叫有限单元法（finite element method, FEM），是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法[1]．50年以来，有限元方法经历了诞生、发展和完善的三个历史时期，而它在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）．自从19xx年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系．目前它已经拥有十分丰富的方法形态，并且由于其算法过程的通用性，及其对材料组合和几何拓补的适应性，已经在相当广泛的领域得到有效的应用，成为求解各种固体

现力学和结构工程问题的最有效的数值计算方法，受到了各行各业众多的科学和工程计算专家的重视．

代有限元方法包括静态有限元方法、瞬态有限元方法以及支持有限元分析的前后处理算法等．

3.2 有限元方法应用的基本步骤

步骤1：剖分：

将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合．元素（单元）的形状原则上是任意的．二维问题一般采用三角形单元或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等．每个单元的顶点称为节点（或结点）．

步骤2：单元分析：

进行分片插值，即将分割单元中任意点的未知函数用该分割单元中形状函数及离散网格点上的函数值展开，即建立一个线性插值函数．

步骤3：求解近似变分方程：

用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法．有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体．每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数．根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解．

5

3.3 有限元方法的应用

有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等．有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用．结合计算机辅助设计技术，有限元法也被用于计算机辅助制造中．

4． FEPG软件

4.1 FEPG软件简介

FEPG是Finite Element Program Generator的英文缩写，即有限元自动生成系统．是由计算数学专家也是飞箭软件创始人之一梁国平先生于19xx年研制成功的．

FEPG采用元件化编程思想和有限元语言这一先进的表达方式，根据微分方程表达式和算法表达式自动生成有限元程序，因此用户只需输入有限元方法所需的各种表达式和公式，即可由FEPG自动产生所需的全部有限元计算的源程序，包括单元子程序，算法程序等，免去了大量繁琐、重复的有限元编程劳动，为各领域各行业有限元问题的求解提供了一个极其有力的工具[8]．

FEPG系统同时具有三个与众不同的特点，它们分别是：采用元件化设计方法、自动生成源程序、开放源代码[9] ．

FEPG适用于求解各种领域的各种工程与科学的有限元问题，突破了目前通用有限元程序只用于特定领域和特定问题的限制．广泛应用于石油化工，机械制造，能源，汽车交通，铁道，国防军工，电子，土木工程，造船，生物医学，轻工，地矿，水利，航空航天，日用家电等工业部门．

4.2 FEPG软件的思想

FEPG的开发思想是采用元件化的程序设计方法和人工智能技术，根据有限元方法统一的数学原理及其内在规律，以类似于数学公式推理的方式，由微分方程表达式和算法表达式自动产生有限元源程序．

它的元件化设计思想[10]体现在：每个元件程序是一个完成某种功能的独立程序，它是一个完整的程序，单独编译，单独运行．“元件程序”之间通过“引用磁盘文件”而不是引用参数。由于一个文件可以包含任意多的参数，因此克服了子程序参数过多引起的困难．程序运行时每次只运行一个元件程序，比程序包方式节省内存，而且单个元件程序数组比较少，内存和数据管理简单。而有限元程序总体可分成三个组成部分：前处理；有限元计算；后处理．

6

图4-1 一般有限元程序框图

它的有限元思想[10]体现在：它针对有限元方法提出了一种模型语言—有限元语言．有限元语言是一种描述性的模型语言，描述所要求解的有限元问题及其求解算法．通常对一个有限元问题求解的描述包括偏微分方程的描述和有限元算法描述．因而描述有限元问题的有限元语言也很自然地被分成两个部分：第一部分描写有限元问题的偏微分方程，即编写一个脚本文件来描述待解方程的虚功方程．第二部分用来描述求解该问题的有限元算法，包括描述非线性问题的线性化，动态问题对时间的离散格式，对非线性迭代和时间步的控制，以及具体的有限元计算流程等．

4.3 FEPG软件有限元计算的一般过程[9]

在FEPG系统中，用户可以以两种方式得到计算所需的全部程序，如图4-2所示．

图4-2 应用FEPG进行有限元计算

第一种方法是使用公式库生成程序，我们把常见的物理问题，如固体力学、电磁场、传热、渗流、流体等的描述方程用有限元语言描述好放在公式库中．用户只需点击公式库菜单即可生成用户所需的全部有限元计算程序．

另一种方法便是由用户公式生成程序．用户根据自己研究的物理问题，用有限元语言将控制方程写成VDE、PDE文件，将计算方法写成GCN和GIO文件，然后用FEPG系统命令（Gio命令）产生全部有限元程序．

这时候应用FEPG求解问题的基本步骤为：

１．编写PDE文件

２．选择单元类型，编写GIO文件

３．选择算法，编写GCN文件

４．生成计算程序源码，并编译

５．前处理造型, 施加初边值条件等

６．执行计算

７．后处理结果显示

4.4 FEPG软件的应用

我们已经知道就一个Possion方程已广泛应用于多个领域，而作为能觉得多种复杂方程的有限元算法的软件之一FEPG的应用领域更加广泛．据目前它已应用于如下几个领域：

１．地球物理领域（如地壳运动模拟等）

２．水利学领域（如小湾拱坝动力分析等）

３．油、气开发领域（如油田套损机理研究等）

４．材料、结构力学领域（如复合材料加工传热传质问题等）

５．电磁学领域(如线性正弦稳态涡流问题等)

7

６．企业应用成果（如北京轴承厂轴承强度分析等）

７．其他工程应用（如岩石注水压裂分析等）

4.5 为什么选择FEPG 软件

能够解决有限元问题的软件有很多，然而为什么我们会偏偏选择FEPG软件呢？正是因为它有如下与众不同的三大特点[9]：

1．采用元件化设计方法

因此大大降低程序的复杂性，大大提高程序的可读性和再用性，减少代码量90%以上．为有限元程序的维护和发展创造了前所未有的前景．

2．自动生成源程序

FEPG完全基于有限元方法的基本原理（虚位移原理），不受专业领域的限制，各种有限元问题和有限元方法均可由用户填写微分方程描述文件和算法文件自动生成全部计算程序．

3．开放源代码

用户可以看到由公式库或自己的方程生成的所有源程序，并可进行修改和编译．同时系统允许用户插入自己的FORTRAN源程序，很容易与其它FORTRAN程序融合．这就意味着用户可以很容易采用本系统开发自己的软件，也可以将程序生成的代码嵌入到自己的软件中．这是目前所有商业软件都不能实现的．

5．基于FEPG平台的Poisson方程的高性能计算

5.1 Poisson方程在FEPG系统中所对应的虚功方程描述

5.1.1 二维Possion方程

对于二维Poisson方程如下：

?2u?2u+=?f(x,y) （5-1） ?x2?y2

它所对应的虚功方程如下：

?2u?2u∫Ω(?x2+?y2δudΩ=∫Ω?f(x,y)δudΩ （5-2）

在FEPG系统中，虚功方程（5-2）的表达式书写如下：

stif

dist=[u/x;u/x]+[u/y;u/y]

load=-[u]*f(x,y)

第一段stif段落，书写Laplace算子表达式,其中[·;·]表示两个函数的内积，分号前的函数为未知函数或其导数（u/x表示u 对x的导数），分号后的函数表示未知函数或其导数的虚位移．

第二段load段落，书写方程的右端项．

5.1.2 三维Possion方程

对于三维Poisson方程如下：

?2u?2u?2u+2+2=?f(x,y,z) （5-3） 2?x?y?z

8

它所对应的虚功方程如下：

?2u?2u?2u∫Ω(?x2+?y2+?z2δudΩ=∫Ω?f(x,y,z)δudΩ （5-4）

在FEPG系统中，虚功方程（5-4）的表达式书写如下：

stif

dist=[u/x;u/x]+[u/y;u/y] +[u/z;u/z]

load=-[u]*f(x,y,z)

5.2 Poisson方程在静电学中的高性能计算

5.2.1 举例问题描述

考虑一个正方形构件的静电势问题，它的外边界边长为0.5，正方形内孔边长为0.2，在内边界上电势保持在1000V,而在外边界上电势保持在0V,在区域内不含电荷．

图 5-1 正方形构件

5.2.2 问题分析

问题的偏微分方程为

??(ep??u)=eq 在区域Ω （5-5） 其中u表示电压，ep为介电常数，eq是空间电荷密度，Ω是问题所描述的区域． 对于此问题，由于在空气中，它的介电常数ep=1，并因为在此区域中不含电荷，故eq=0.0．

问题的边界条件为：

u=1000 在区域Ω的内孔边界 （5-6） u=0 在区域Ω的外边界 （5-7） 问题对应的虚功方程为：

∫

5.2.3 文件准备 Ωep?(?u?δu?u?δu+)dΩ=∫eq?δudΩ （5-8） Ω?x?x?y?y

5.2.3.1 生成单元子程序的ell.pde文件

disp u

coor x,y

shap %1 %2

9

gaus %3

mate ep eq 1.0 0.0

stif

dist=+[u/x;u/x]*ep+[u/y;u/y]*ep

load=+[u]*eq

end

5.2.3.2 编写算法文件le.gcn和le.gio文件

le.gcn文件

defi

a ell &

STARTsin a

SOLVsin a

le.gio文件

ell

#elemtype t3

2dxy

5.2.4 生成过程

将填好的PDE文件、FBC文件、GCN文件、GIO文件保存上传成功后，运行系统的GIO命令，系统就可以自动生成该问题的全部有限元计算程序．

然后进入前处理、分别进行几何造型、附加边界条件、网格剖分．其中几何造型如图5-2所示，网格剖分结果如图5-3所示

图5-2 几何造型

10

图5-3 网格剖分

接着运行les.bat批处理程序，进行有限元计算．

计算结束后，运行FEPG界面程序中的【Pre/Post】-【PostProc】启动FEPG..GID界面程序．点击FEPG.GID菜单中的【file】-【PostProcess】切换到后处理，点击FEPG.GID菜单中的【Viewresults】-

【ContourFill】-【unoda0】，可得结果如图5-4所示．

图5-4 结果显示

5.3 poisson方程在稳态热传导中的高性能计算

5.3.1 举例问题描述

一个长方形截面的冷空气通道的尺寸如图5-5所示．假设在垂直于纸面的方向上，冷空气及通道墙壁的温度变化很小，可以忽略．通道的导热系数是0.044；内壁温度维持在0度，外壁与流体发生对流换热，且与周围环境间的换热系数为10，坏境温度为30度，求通道壁面中

的温度和热流密度分布．

11

图 5-5 冷空气通道

5.3.2 问题分析

问题的偏微分方程为

??(ek??u)=eq 在区域Ω （5-9） 其中u表示温度，ek为导热系数，eq为内热源强度，Ω是冷空气通道． 对于此问题中，它的导热系数ek=0.044，而由于通道中没有热源，故内热源强度eq=0.0．

问题的边界条件为：

u|Γ1=0 在Γ1上，Γ1 是区域Ω的内壁 （5-10） ?ek?u=ea*(u?eb) 在Γ2上，Γ2是区域Ω的外壁 （5-11） ?n

其中ea为换热系数，eb为环境温度．此问题中，它的换热系数ea=10，环境温度eb=30度． 问题对应的虚功方程为：

∫Ωek?(

Ω?u?δu?u?δu+)dΩ+∫ea?u?δudΓΓ2?x?x?y?y （5-12） Γ2=∫eq?δudΩ+∫ea?eb?δudΓ

5.3.3 文件准备

5.3.3.1 编写描述虚功方程中体积积分部分的PDE文件（ell.pde）

disp u

coor x,y

shap %1 %2

gaus %3

mate ek eq 0.044；0.0；

stif

dist=+[u/x;u/x]*ek+[u/y;u/y]*ek

load=+[u]*eq

end

5.3.3.2 编写描述边界积分部分的FBC文件（ell.fbc）

disp u

coor x

shap %1 %2

gaus %3

mate ea eb 10.0 ；30.0；

stif

dist=+[u;u]*ea

load=+[u]*ea*eb

12

end

5.3.3.3 编写利用温度采用最小二乘法求热流密度所需的PDE文件（sell.pde） disp ux,uy

coor x,y

coef u

shap %1 %2

gaus %3

mass %1 1.0

mate ek 0.044

stif

dist=[ux;ux]*0.0

load=[ux]*ek*{u/x}+[uy]*ek*{u/y}

end

5.3.3.4 编写les.gio文件

ell

sell

#elemtype q4

2dxy

5.3.4 生成过程

将填好的PDE文件、FBC文件、GCN文件、GIO文件保存上传成功后，运行系统的GIO命令，系统就可以自动生成该问题的全部有限元计算程序．

然后进入前处理、分别进行几何造型、附加边界条件、网格剖分．其中几何造型结果如图5-6所示，网格剖分结果如图5-7所示

图5-6 几何造型

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图5-7 网格剖分

接着运行les.bat批处理程序，进行有限元计算．

计算结束后，运行FEPG界面程序中的【Pre/Post】-【PostProc】启动FEPG..GID界面程序．点击FEPG.GID菜单中的【file】-【PostProcess】切换到后处理，点击FEPG.GID菜单中的【Viewresults】-

【ContourFill】-【unda0】，可得结果如图5-8所示．

图5-8 结果显示

5.4 推广及应用

虽然前面只介绍了Poisson方程在静电学和热学中计算应用的两个例子，但是对于其他的例子或者是Poisson方程在其它领域中的计算应用，更或是三维的问题，我们只需相应适当地修改其PDE文件，FBC文件，再根据新问题及新的边界条件进行相应的几何造型就可以了．因此本文的模型与算法可以推广到求解其他其它不同边界条件和几何造型的Poisson方程，具有一定程度的通用性与推广价值．

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参考文献

[1] 崔俊芝，梁俊．现代有限元软件方法[M] ．北京：国防工业出版社，1995，1-2．

[2] 陆金莆，关治．偏微分方程的数值解法[M] ．北京：清华大学出版社，2004，3，126-139，217-218．

[3] 张文生．科学计算中的偏微分方程有限差分法[M]．北京：高等教育出版社，2006，88-90．

[4] L.C. Evans．Partial Differential Equations[j]．American Mathematical Society，Providence,1998,ISBN

0-8218-0772-2．

[5] A.D. Polyanin．Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists [j]．

Chapman & Hall/CRC Press，Boca Raton，2002，ISBN 1-58488-299-9．

[6] 孙怀川．静电学[M]．哈尔滨：黑龙江人民出版社，1981.5，73．

[7] J.D.Jackson著，朱培豫译．经典电动力学下册[M] ．北京：人民教育出版社，1980，32-34．

[8] 杨友卿．一种高效的有限元自动编程工具---FEPG系统[j]．北京：国家地震地质研究所，1998，4．

[9] FEPG系统简介[M]．北京飞箭软件有限公司,2003．

[10] FEPG电磁场分析指南[M]．北京飞箭软件公司，2003．

[11] FEPG中级教程 [M]．北京飞箭软件有限公司,2002．

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High Performance Calculation Of Poisson Equation Based On

FEPG System

LU Jia-le 105012005041 Advisor:MA Chang-feng

Major in Information and Computational Science College of Mathematics and Computer Science

【Abstract】With the use of FEPG system,it can solv hign performance of Poisson equcation problem．And it introduce two application areas of Poisson equcaton——electrostatic problem in electrology and steady state heat conduction problem in thermology．

【Keywords】Poisson equation; finite element ; FEPG; hign performance calculation

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