§16.1  德布罗意的物质波假设，电子衍射实验

（一）德布罗意的物质波假设

前面一章已介绍过，在二十世纪初，人们对光的认识，从光是电磁波到光是光子流的发展过程．而每个光子都具有波动和粒子的双重性质，称为光的波粒二象性．

1924年，法国年青的物理学家德布罗意提出大胆的假设：波粒二象性不仅是光的属性，实物粒子也具有波粒二象性．他认为整个十九世纪，在光学上，比起波动的研究方法来说，是过于忽略了粒子的研究方法．在实物粒子理论上，是否发生了相反的错误?是不是我们把关于粒子的图象想得太多，而过份地忽略了波的图象?？

在论文答辩会上有人问他怎样用实验验证物质波的假设?他提出可利用晶体做电子衍射实验，以验证电子波的性质．1927年电子衍射实验成功了，德布罗意荣获1929年诺贝尔奖金，成为第一个以博士论文取得诺贝尔奖金的学者?．

（二）德布罗意公式

光子和实物粒子都具有波粒二象性，德布罗意把描述光子的波粒二象性的公式（15.3.1），应用于实物粒子，称之为德布罗意公式．实物粒子的波称德布罗意波，或称物质波．

                       

  

     微观粒子的两大类，即光子与实物粒子，具有波粒二象性的共同特性．但也要注意到它们的不同特性：

（1）光子在真空中的速度v=c；实物粒子在真空中的速度v＜c.

（2）光子的静止质量m₀=0；实物粒子的静止质量m₀＞0.

（3）光子的频率与波长关系式（16.1.3）：=c，与经典物理的电磁波和机械波的频率与波长关系式=v是一致的．

但是（16.1.4）与（16.1.5）两式相除，所得结果=c²/v＞v与经典物理不一致．

（三）电子衍射实验

首先利用低能电子在晶体表面衍射，证实电子有波动性的是戴维逊和革末，他们于1927年在美国贝尔电话实验室完成此实验．有趣的是，他们当时是在研究经典电子的散射，还没听说过电子的衍射．只是在1926年在牛津参加一次国际性会议时，才得知电子可有衍射现象，于是他们仅用几个月的时间便完成了这个重要实验．

对电子衍射实验进行系统地、有意识地观察的是英国的G·P·汤姆逊．因此，戴维逊和汤姆逊分享1937年的诺贝尔奖金?．

G·P·汤姆逊是§15.4（三）介绍的J·J·汤姆逊的儿子．父亲J·J·汤姆逊因研究阴极射线并发现电子，荣获1906年诺贝尔奖．儿子G·P·汤姆逊因电子衍射实验证实物质波的假设，荣获1937年诺贝尔奖．父亲发现电子的粒子性，为人类找到第一个基本粒子—电子，因此人们称他为电子之父．他的儿子证实电子的波动性，父子都得诺贝尔奖，前后相隔31年．科学史上，这是难得的巧合?．

戴维逊和革末做电子衍射实验时，用电位差54伏加速电子束，使电子束射到镍晶面上，以观测电子束的衍射现象．如〔例题16.1B〕所示，按德布罗意公式（16.1.5）计算，此电子波的波长λ与x射线的波长相近．因此，电子波在晶体表面的衍射与§12.6所介绍的x射线在晶体表面的衍射结果相似．它们都符合布拉格公式，其中为掠射角：

〔物质波的布拉格公式〕                        （16.1.7）

戴维逊和革末的实验所用镍晶体的晶格常数b=0.91×10^－10米，观测到第一级（k=1）的峰值在=65°处，代入上式得电子波的波长为λ=1.65×10^－10米．这与德布罗意公式（16.1.5）计算的波长λ=1.66×10^－10米符合得很好?．参看〔例题16.1B〕.

除电子外，其他实物粒子（如质子、中子、原子、分子等）的实验也证明，实物粒子具有波动性，其物质波的波长都符合德布罗意公式．

（四）物质波的应用举例?

实物粒子的波动性，在现代科学技术中已得到广泛应用．例如电子显微镜就是电子波的应用．因为电子波的波长与x射线的波长相近，比可见光波长短得多，所以电子显微镜比可见光显微镜的分辨率高得多．电子显微镜的放大率已高达几十万倍，在观察较大分子、探索物质结构等方面都有显著功能．

用质子的库仑散射、拍下的生物体（老鼠、兔子）照片，不但能显示出骨骼，还能显示出皮肤、软组织的结构和各种生物膜．这是x射线照相无法做到的．

利用热中子衍射，在研究生物大分子的结构上，可确定氢原子在这些生物分子中的位置．起了x射线和电子起不到的作用．

〔例题16.1A〕

速度v=5×10⁶米/秒的α粒子，已知其静止质量m₀=6.64×10^－27千克．求：（1）它的德布罗意波长λ.（2）它的频率.（3）它的总能ε.

〔解〕（1）由于v<<c，故此α粒子的m=m₀.按德布罗意公式（16.1.5）得：

λ=h/mv=6.63×10^－34/6.64×10^－27×5×10⁶=2.0×10^－14米．

从表（15.3a）可知，此α粒子的德布罗意波长，相当于γ射线的波长．

（2）从（16.1.6）式可求得，此α粒子的德布罗意波的频率：

v=c²/vλ=9×10¹⁶/5×10⁶×2×10^－14=9.0×10²³赫．

（3）从（16.1.4）式可求得此α粒子的总能ε和频率：

ε=h=mc²=m₀c²=6.64×10^－27×9×10¹⁶=5.98×10^－10焦．

=ε/h=5.98×10^－10/6.63×10^－34=9.02×10²³赫．

〔例题16.1B〕

戴维逊和革末做电子衍射实验时，用U=54V电位差加速电子束，使电子束投射在镍的晶面上．（1）已知镍的晶格常数b=9.1×10^－11m,在掠射角=65°位置测得电子束的第一级反射峰值，求此电子波的波长λ.（2）用德布罗意公式计算此波长λ.（3）按此实验装置，想观测此电子束的第二级以上的反射峰值位置，应该怎么办?

〔解〕（1）用k=1及上述数据代入布拉格公式（16.1.7）得：

λ=2bsin/k=2bsin65°=2×9.1×10^－11×0.906=1.65×10^－10m．

（2）这是用低能电子做实验，电子的速度v<<c，可用经典动能公式m₀v²/2=eU．此式可计算静止电子受到U=54V电位差加速后的动能、速度和动量，并可代入德布罗意公式（16.1.5）求波长λ：

v²=2eU/m₀=2×1.6×10^－19×54/9.11×10^－31=19.0×10¹²m²/s²

v=4.36×10⁶m/s，

λ=h/m₀v=6.63×10^－34/9.11×10^－31×4.36×10⁶=1.67×10^－10m．

（3）按照上述三个关系式：2bsin=kλ，λ=h/m₀v，

m₀v²/2=eU，可得：

      sin=kλ/2b=kh/2bm₀v=kh/2b≤1   （16.1.8）

在上式中，b、h、m₀、e均为常量．由于正弦函数sin不可能大于1，从上式可知，要提高电子波的衍射级数k，就必须减小波长λ，也就是要增大电子速度v，以及增大加速电位差U．

假设在上述实验，要求观测到k=2级峰值，则代入（16.1.8）式得：

k₂=2，k₂λ₂/2b≤1，即λ₂≤2b/k₂=b=9.1×10^－11m，

v²≥k₂h/2bm₀=6.63×10^－34/9.1×10^－11×9.11×10^－31=

=8.0×10⁶m/s，

U₂=m₀≥9.11×10^－31×(8×10⁶)²/2×1.6×10^－19=182V．

同理，设令k₃=3，则λ₃≤2b/k₃=（k₂/k₃）（2b/k₂）=（2/3）2b/k₂．

即λ₃≤（2/3）×9.1×10^－11=6.07×10^－11m．

v₃≥k₃h/2bm₀=（k₃/k₂）k₂h/2bm₀=（3/2）×8.0×10⁶=12.0×10⁶m/s

U₃=m₀≥9.11×10^－31×12²×10¹²/2×1.6×10^－19=410V．

〔例题16.1C〕

某电子与某光子的波长相等，即λ_e=．求它们的下列诸量的关系：（1）动量与；（2）总能与；（3）质量m_e与；（4）频率与；（5）速度v与c．

〔解〕（1）按德布罗意公式：p=h/λ，∵λ_e=，∴=．

（2）按狭义相对论动量与能量的关系：c²p²=ε²－．

由于光子的静能，

．

由于电子的静止质量＞0为已知值，，＜．

（3）总能关系式除以c⁴可得质量关系式：．

（4）总能关系式除以h²可得频率关系式：，．

（5）∵=，即m_ev=c，显然，v＜c，m_e＞．

．

〔说明〕电子与光子的波长相等时，动量也相等，但电子的总能、质量、频率都大于光子的相同物理量，只是电子的速度v肯定小于光速c．

〔例题16.1D〕

一个质量m=10克，速率v=800米/秒的子弹，它的德布罗意波长λ=?

〔解〕按德布罗意公式，

λ=h/mv=6.63×10^－34/0.01×800=8.29×10^－35米．

从（表15.3a）可知，波长最短的电磁波——γ射线，其最短波长约为10^－14米．上述快速运动子弹的波长约为10^－34米，波长这么短不会显示出波动性．也就是说，宏观物体的运动不会显示波动性．

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第二篇：7.7德布罗意波——物质波