【人教版】初中数学九年级知识点总结：27相似

【编者按】相似以及相似三角形是初中数学的基础内容，也是重要内容，运用相似三角形求解线段和角的问题是常见题型。通过本章内容对相似三角形的学习，培养学生认识和观察事物的能力和利用所学知识解决实际问题的能力。

一、目标与要求

1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似．
2．能根据相似比进行计算．
3．通过与相似多边形有关概念的类比，得出相似三角形的定义, 领会特殊与一般的关系．
4．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力．
5．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力．
6．通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系．

二、知识框架

                                                                   

三、重点、难点

1．理解并相似三角形的判定与性质

2．位似图形的有关概念、性质与作图．

3．利用位似将一个图形放大或缩小．

4．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．

5．把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．

四、知识点、概念总结

1.相似：

每组图形中的两个图形形状相同，大小不同，具有相同形状的图形叫相似图形。

相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．

若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．

2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形

相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。

成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

黄金分割：用一点P将一条线段AB分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。这种分割称为黄金分割，分割点P叫做线段AB的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。

3.相似三角形的判定方法:

根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等）
　 1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；
　 2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；
　 3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；
　 4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；

4.直角三角形相似判定定理:
　1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
　2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

5. 一定相似的三角形

（1）两个全等的三角形一定相似。（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1）

（2）两个等腰直角三角形一定相似（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。）

（3）两个等边三角形一定相似。

6. 三角形相似的判定定理推论

推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

7. 相似的性质

（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例。

（2）相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

（3）相似三角形周长的比等于相似比。

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

（5）相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方

（6）若a:c =c:b，即c²=ab,则c叫做a,b的比例中项

（7）c/d=a/b 等同于ad=bc.

9.相似的应用：位似

（1）位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．

（2）掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．

（3）位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．

（4）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．

（5）利用位似，可以将一个图形放大或缩小，其步骤见下面例题．作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形。

（参考教材：初中数学九年级人教版）

 

第二篇：初中数学知识点总结26-27

知识点32：圆中的线段1．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于C点，AB一条外公切线，A、B分别为切点，连结AC、BC.设⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r，若tan∠ABC= ，则 的值为 . A． B． C．2 D．32．已知：如图，⊙O1、⊙O2内切于点A，⊙O1的直径AB交⊙O2于点C，O1E⊥AB交⊙O2于F点，BC=9，EF=5，则CO1= A.9 B.13 C.14 D.163．已知：如图，⊙O1、⊙O2内切于点P, ⊙O2的弦AB过O1点且交⊙O1于C、D两点，若AC：CD：DB=3：4：2，则⊙O1与⊙O2的直径之比为 . A.2：7 B.2：5 C.2：3 D.1：34．已知:如图,⊙O1与⊙O2外切于A点,⊙O1的半径为r，⊙O2的半径为R,且r:R=4:5，P为⊙O1一点，PB 切⊙O2于B点，若PB=6，则PA= . A.2 B.3 C.4 D.56．已知：如图，PA为⊙O的切线,PBC为过O点的割线，PA= ,⊙O的半径为3,则AC的长为为 . A. B. C. D. 4．已知:如图, RtΔABC，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O1内切于ΔABC，⊙O2切BC，且与AB、AC的延长线都相切，⊙O1的半径R1，⊙O2的半径为R2，则 = . A. B. C. D. 5．已知⊙O1与边长分别为18cm、25cm的矩形三边相切,⊙O2与⊙O1外切,与边BC、CD相切,则⊙O2的半径为 . A.4cm B.3.5cm C.7cm D.8cm6．已知：如图，CD为⊙O 的直径，AC是⊙O的切线，AC=2，过A点的割线AEF交CD的延长线于B点，且AE=EF=FB，则⊙O的半径为 .A. B. C. D. 7．已知：如图, ABCD，过B、C、D三点作⊙O，⊙O切AB 于B点，交AD于E点.若AB=4，CE=5,则DE的长为 . A.2 B. C. D.1 8. 如图，⊙O1、⊙O2内切于P点，连心线和⊙O1、⊙O2分别交于A、B两点，过P点的直线与⊙O1、⊙O2分别交于C、D两点，若∠BPC=60o，AB=2，则CD= . A.1 B.2 C. D. 知识点33：数形结合解与函数有关的实际问题1．某学校组织学生团员举行“抗击非典,爱护城市卫生”宣传活动,从学校骑车出发,先上坡到达A地,再下坡到达B 地，其行程中的速度v(百米/分)与时间t(分)关系图象如图所示.若返回时的上下坡速度仍保持不变，那么他们从B地返回学校时的平均速度为 百米/分.B. C. D. 2．有一个附有进出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的.设从某一时刻开始5分钟内只进水不出水，在接着的2分钟内只出水不进水，又在随后的15分钟内既进水又出水，刚好将该容器注满.已知容器中的水量y升与时间x分之间的函数关系如图所示.则在第7分钟时，容器内的水量为 升.A.15 B.16 C.17 D.183. 甲、乙两个个队完成某项工程，首先是甲单独做了10天，然后乙队加入合做，完成剩下的全部工程，设工程总量为单位1，工程进度满足如

图所示的函数关系，那么实际完成这项工程所用的时间比由甲单独完成这项工程所需时间少 . A.12天 B.13天 C.14天 D.15天4. 某油库有一储油量为40吨的储油罐.在开始的一段时间内只开进油管,不开出油管;在随后的一段时间内既开进油管,又开出油管直至储油罐装满油.若储油罐中的储油量(吨)与时间(分)的函数关系如图所示.现将装满油的储油罐只开出油管,不开进油管,则放完全部油所需的时间是 分钟. A.16分钟 B.20分钟 C.24分钟 D.44分钟5. 校办工厂某产品的生产流水线每小时可生产100件产品,生产前没有积压．生产3小时后另安排工人装箱(生产未停止),若每小时装产品150件,未装箱的产品数量y是时间t的函数,则这个函数的大致图像只能是 .A B C D6. 如图，某航空公司托运行李的费用y(元)与托运行李的重量x(公斤)的关系为一次函数，由图中可知,行李不超过 公斤时，可以免费托运.A.18 B.19 C.20 D.217. 小明利用星期六、日双休骑自行车到城外小姨家去玩.星期六从家中出发,先上坡,后走平路,再走下坡路到小姨家.行程情况如图所示.星期日小明又沿原路返回自己家.若两天中,小明上坡、平路、下坡行驶的速度相对不变，则星期日，小明返回家的时间是 分钟.A. 30分钟 B.38 分钟 C.41 分钟 D.43 分钟8. 有一个附有进、出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的，设从某时刻开始5分钟内只进不出水，在随后的15分钟内既进水又出水，容器中的水量y(升)与时间t(分)之间的函数关系图像如图，若20分钟后只出水不进水，则需 分钟可将容器内的水放完.A．20分钟 B.25分钟 C． 分钟 D． 分钟9. 一学生骑自行车上学,最初以某一速度匀速前进, 中途由于自行车发生故障,停下修车耽误了几分钟.为了按时到校，这位学生加快了速度，仍保持匀速前进，结果准时到达学校，这位学生的自行车行进路程S(千米)与行进时间 t(分钟)的函数关系如右图所示,则这位学生修车后速度加快了 千米/分.A.5 B.7.5 C.10 D.12.510. 某工程队接受一项轻轨建筑任务,计划从20xx年6月初至20xx年5月底(12个月) 完成,施工3个月后,实行倒计时,提高工作效率,施工情况如图所示,那么按提高工作效率后的速度做完全部工程,可提前 月完工.A.10.5个月 B.6个月 C.3个月 D.1.5个月知识点31：三角函数与解直角三角形1．在学习了解直角三角形的知识后，小明出了一道数学题：我站在综合楼顶，看到对面教学楼顶的俯角为30o，楼底的俯角为45o，两栋楼之间的水平距离为20米，请你算出教学

楼的高约为 米.（结果保留两位小数， ≈1.4 , ≈1.7）A.8.66 B.8.67 C.10.67 D.16.672．在学习了解直角三角形的知识后，小明出了一道数学题：我站在教室门口，看到对面综合楼顶的仰角为30o，楼底的俯角为45o，两栋楼之间的距离为20米，请你算出对面综合楼的高约为 米.（ ≈1.4 , ≈1.7）A.31 B.35 C.39 D.543．已知:如图，P为⊙O外一点,PA切⊙O于点A,直线PCB交⊙O于C、B, AD⊥BC于D,若PC=4,PA=8，设∠ABC=α,∠ACP=β,则sinα:sinβ= .A. B. C.2 D. 44．如图,是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图,光线与地面所成角∠AMC=30°,在教室地面的影子MN=2 米.若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米,则窗户的上檐到教室地面的距离AC为 米. A. 2 米 B. 3米 C. 3.2米 D. 米5．已知△ABC中,BD平分∠ABC，DE⊥BC于E点，且DE:BD=1：2，DC:AD=3:4，CE= ，BC=6，则△ABC的面积为 . A. B.12 C.24 D.12知识点32：圆中的线段1．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于C点，AB一条外公切线，A、B分别为切点，连结AC、BC.设⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r，若tan∠ABC= ，则 的值为 . A． B． C．2 D．32．已知：如图，⊙O1、⊙O2内切于点A，⊙O1的直径AB交⊙O2于点C，O1E⊥AB交⊙O2于F点，BC=9，EF=5，则CO1= A.9 B.13 C.14 D.163．已知：如图，⊙O1、⊙O2内切于点P, ⊙O2的弦AB过O1点且交⊙O1于C、D两点，若AC：CD：DB=3：4：2，则⊙O1与⊙O2的直径之比为 . A.2：7 B.2：5 C.2：3 D.1：34．已知:如图,⊙O1与⊙O2外切于A点,⊙O1的半径为r，⊙O2的半径为R,且r:R=4:5，P为⊙O1一点，PB 切⊙O2于B点，若PB=6，则PA= . A.2 B.3 C.4 D.56．已知：如图，PA为⊙O的切线,PBC为过O点的割线，PA= ,⊙O的半径为3,则AC的长为为 . A. B. C. D. 4．已知:如图, RtΔABC，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O1内切于ΔABC，⊙O2切BC，且与AB、AC的延长线都相切，⊙O1的半径R1，⊙O2的半径为R2，则 = . A. B. C. D. 5．已知⊙O1与边长分别为18cm、25cm的矩形三边相切,⊙O2与⊙O1外切,与边BC、CD相切,则⊙O2的半径为 . A.4cm B.3.5cm C.7cm D.8cm6．已知：如图，CD为⊙O 的直径，AC是⊙O的切线，AC=2，过A点的割线AEF交CD的延长线于B点，且AE=EF=FB，则⊙O的半径为 .A. B. C. D. 7．已知：如图, ABCD，过B、C、D三点作⊙O，⊙O切AB 于B点，交AD于E点.若AB=4，CE=5,则DE的长为 . A.2 B. C. D.1 8. 如图，⊙O1、⊙O2内切于P点，连心线和⊙O1、⊙O2分别交于A、B两点，过P点的直线与⊙O1、⊙O2分别交于C、D两点，若∠BPC=60o，AB=2，则CD= . A.1 B.2

C. D. 知识点33：数形结合解与函数有关的实际问题1．某学校组织学生团员举行“抗击非典,爱护城市卫生”宣传活动,从学校骑车出发,先上坡到达A地,再下坡到达B 地，其行程中的速度v(百米/分)与时间t(分)关系图象如图所示.若返回时的上下坡速度仍保持不变，那么他们从B地返回学校时的平均速度为 百米/分.B. C. D. 2．有一个附有进出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的.设从某一时刻开始5分钟内只进水不出水，在接着的2分钟内只出水不进水，又在随后的15分钟内既进水又出水，刚好将该容器注满.已知容器中的水量y升与时间x分之间的函数关系如图所示.则在第7分钟时，容器内的水量为 升.A.15 B.16 C.17 D.183. 甲、乙两个个队完成某项工程，首先是甲单独做了10天，然后乙队加入合做，完成剩下的全部工程，设工程总量为单位1，工程进度满足如图所示的函数关系，那么实际完成这项工程所用的时间比由甲单独完成这项工程所需时间少 . A.12天 B.13天 C.14天 D.15天4. 某油库有一储油量为40吨的储油罐.在开始的一段时间内只开进油管,不开出油管;在随后的一段时间内既开进油管,又开出油管直至储油罐装满油.若储油罐中的储油量(吨)与时间(分)的函数关系如图所示.现将装满油的储油罐只开出油管,不开进油管,则放完全部油所需的时间是 分钟. A.16分钟 B.20分钟 C.24分钟 D.44分钟5. 校办工厂某产品的生产流水线每小时可生产100件产品,生产前没有积压．生产3小时后另安排工人装箱(生产未停止),若每小时装产品150件,未装箱的产品数量y是时间t的函数,则这个函数的大致图像只能是 .A B C D6. 如图，某航空公司托运行李的费用y(元)与托运行李的重量x(公斤)的关系为一次函数，由图中可知,行李不超过 公斤时，可以免费托运.A.18 B.19 C.20 D.217. 小明利用星期六、日双休骑自行车到城外小姨家去玩.星期六从家中出发,先上坡,后走平路,再走下坡路到小姨家.行程情况如图所示.星期日小明又沿原路返回自己家.若两天中,小明上坡、平路、下坡行驶的速度相对不变，则星期日，小明返回家的时间是 分钟.B. 30分钟 B.38 分钟 C.41 分钟 D.43 分钟8. 有一个附有进、出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的，设从某时刻开始5分钟内只进不出水，在随后的15分钟内既进水又出水，容器中的水量y(升)与时间t(分)之间的函数关系图像如图，若20分钟后只出水不进水，则需 分钟可将容器内的水放完.A．20分钟 B.25

分钟 C． 分钟 D． 分钟9. 一学生骑自行车上学,最初以某一速度匀速前进, 中途由于自行车发生故障,停下修车耽误了几分钟.为了按时到校，这位学生加快了速度，仍保持匀速前进，结果准时到达学校，这位学生的自行车行进路程S(千米)与行进时间 t(分钟)的函数关系如右图所示,则这位学生修车后速度加快了 千米/分.A.5 B.7.5 C.10 D.12.510. 某工程队接受一项轻轨建筑任务,计划从20xx年6月初至20xx年5月底(12个月) 完成,施工3个月后,实行倒计时,提高工作效率,施工情况如图所示,那么按提高工作效率后的速度做完全部工程,可提前 月完工.A.10.5个月 B.6个月 C.3个月 D.1.5个月