高中数学苏教版必修4三角函数知识点总结

一、角的概念和弧度制：

（1）在直角坐标系内讨论角：

角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与角终边相同的角的集合：

与角终边在同一条直线上的角的集合：                           ；

与角终边关于轴对称的角的集合：                             ；

与角终边关于轴对称的角的集合：                             ；

与角终边关于轴对称的角的集合：                          ；

    ②一些特殊角集合的表示：

终边在坐标轴上角的集合：                            ；

终边在一、三象限的平分线上角的集合：                            ；

终边在二、四象限的平分线上角的集合：                            ；

终边在四个象限的平分线上角的集合：                            ；

（3）区间角的表示：

①象限角：第一象限角：                   ；第三象限角：                  ；

第一、三象限角：                                 ；

②写出图中所表示的区间角：

（4）正确理解角：

要正确理解“间的角”=                       ；

“第一象限的角”=                  ；“锐角”=                   ；

“小于的角”=                    ；

（5）由的终边所在的象限，通过               来判断所在的象限。

来判断所在的象限

（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一

已知角的弧度数的绝对值，其中为以角作为圆心角时所对圆弧的长，为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。

（7）弧长公式：                ；半径公式：                   ；

扇形面积公式：                           ；

二、任意角的三角函数：

（1）任意角的三角函数定义：

以角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点到原点的距离记为，则      ；      ；        ；          ；         ；         ；

     如：角的终边上一点，则               。注意r＞0

（2）在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线；

比较，，，的大小关系：                        。

（3）特殊角的三角函数值：

三、同角三角函数的关系与诱导公式：

（1）同角三角函数的关系

 

作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

（2）诱导公式：

：                   ，                    ，                  ；

：                     ，                    ，                  ；

：                       ，                    ，                  ；

：                     ，                    ，                  ；

：                    ，                    ，                  ；

：                     ，                    ，                  ；

：                     ，                    ，                  ；

：                    ，                    ，                  ；

：                    ，                    ，                  ；

诱导公式可用概括为：

2K±,-,±,±,±的三角函数     奇变偶不变，符号看象限     的三角函数

作用：“去负——脱周——化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路．即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数——去负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间[0o,360o)或[0o,180o)内的三角函数——脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数——化锐.

（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：

①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以讨论。

②求任意角的三角函数值。

步骤：

③已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个．

步骤： ①确定角所在的象限；

②如函数值为正，先求出对应的锐角；如函数值为负，先求出与其绝对值对

应的锐角；

③根据角所在的象限，得出间的角——如果适合已知条件的角在第二限；则它是；如果在第三或第四象限，则它是或；

④如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。

如，则     ，      ；     ；_________。

注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；

四、三角函数图像和性质

   1．周期函数定义

定义  对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期．

请你判断下列函数的周期

                                   y=tan x          y=tan |x|         y=|tan x|    

例 求函数f(x)=3sin (的周期。并求最小的正整数k,使他的周期不大于1

        注意  理解函数周期这个概念，要注意不是所有的周期函数都有最小正周期，如常函数f(x)＝c（c为常数）是周期函数，其周期是异于零的实数，但没有最小正周期．

        结论：如函数对于，那么函数f(x)的周期T=2k; 如函数对于，那么函数f(x)的对称轴是

 2．图像

 3。图像的平移

对函数y＝Asin(ωx＋j)＋k (A＞0, ω＞0, j≠0, k≠0),其图象的基本变换有：

(1)振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A的变化引起的．A＞1,伸长；A＜1,缩短．

(2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的．ω＞1，缩短；ω＜1,伸长．

(3)相位变换(横向平移变换)：是由φ的变化引起的．j＞0,左移；j＜0，右移．

(4)上下平移(纵向平移变换): 是由k的变化引起的．k＞0, 上移；k＜0,下移

 

四、三角函数公式：

 

三倍角公式：；；

五、三角恒等变换：

三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：

①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍。

②；问：         ；          ；

③；④；

⑤；等等

（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：

    

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有：                ；               。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：                 ；                 ；

（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。

    如：； ；

；；

；；

                    ；                 ；

              ；

                      =                       ；

                       =                       ；

                 （其中                        ；）

                  ；                       ；

（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；

基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。

如：                       ；         ；

                         ；

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