数学实验报告

班级:                          学号：                            姓名：

实验序号：1                                                 日期：年   月    日

实验名称：特殊函数与图形

u  问题背景描述：绘图是数学中的一种重要手段，借助图形，可以使抽象的对象得到明白直观的体现，如函数的性质等。同时，借助直观的图形，使初学者更容易接受新知识，激发学习兴趣。

u  实验目的：本实验通过绘制一些特殊函数的图形，一方面展示这些函数的特点属性，另一方面，就 Matlab 强大的作图功能作一个简单介绍。

实验原理与数学模型：

1、  球 ，x=Rsincos, y= Rsinsin, z= cos, 02 , 0

环面  

2、  平面摆线：

3、  空间螺线：（圆柱螺线）x=acost , y=asint , z=bt  ;（圆锥螺线）

4、  椭球面

双叶双曲面

双曲抛物面

实验所用软件及版本：mathematica(3.0)

主要内容（要点）：

1、  作出下列三维图形（球、环面）

2、  作出下列的墨西哥帽子

3、  作出球面、椭球面、双叶双曲面，单叶双曲面的图形

4、  试画出田螺上的一根螺线

5、  作出如图的马鞍面

6、  画出Riemann函数的图形

实验过程记录（含：基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：

1)      p1=ParametricPlot3D[{sin[u]*cos[v],sin[u]*sin[v],cos[u]},{u,0,pi},{v,0,2*pi}]

p2=ParametricPlot3D[{3*cos[y]-sin[x]*cos[y],3*sin[y]-sin[x]*sin[y],cos[x]},{x,0,2*pi}]

Show{p1,p2}

   2）[x,y]=meshgrid(-8:0.5:8);

r=sqrt(x.^2+y.^2)+eps;

z=sin(r)./r;

mesh(X,Y,Z)

axis square

3) 球面 ParametricPlot3D[{sin[u]*cos[v],sin[u]*sin[v],cos[u]},{u,0,pi},{v,0,2*pi}]

   椭球面ParametricPlot3D[{5*sin[u*cos[v],4*sin[u]*sin[v],3*cos[u] },{u,0,pi},{v,0,2*pi}]双叶双曲面 ParametricPlot3D[{5*tan[u]*cos[v],5*tan[u]*sin[v],5*sec[u]},{v,-0.5*pi,1.5*pi},{v,0,2* pi}]

   双曲抛物面 ParametricPlot3D[{5*u*secv,5*u*tanv,10*},{u,-0.5*pi,0.5*pi },{v,-0.5*pi,0.5*pi}]

4) ParametricPlot3D[{Sqrt[t]cos[t],Sqtr[t]sin[t],0.5*t},{t,0,10*pi}]

5）[x,y]=meshgrid(-25:1:25);

z=x.^2/9 - y.^2/4;

    z=sin(r)./r;

  surf(X,Y,Z)

title('马鞍面')

 grid off

6) n=40; dots={}；

For [i=2,i＜=n,i++,

For[j=1,i

If [GCD[I,j]==1,AppendTo[dots,{j/I,1/i}]]]]

       PP=LisPlot[dots,PlotRange-＞{0,0.6},PlotStyle-＞PointSize[0,0.15],

        Axeslabel-＞{“x”,”R(x)”},AspectRatio-＞0.6]

情况记录

6）中：开始把函数写成{t*cos[t],t*sin[t],t^2},结果画出了圆锥螺线。后来写成{sqrt[t]*cos[t],sqrt[t]*sin[t],1/2*t},画出了图像，发现曲线上升太快，不想田螺上的螺线，经过调整，把z方向的t压缩成0.5*t

圆锥螺线{t^2*cos[t],t^2*sin[t],t}

实验结果报告与实验总结：

1、2、3、4、5较为顺利

6遇到了一些困难，但最后也得到了较好的结果，在整个实验过程中，经常应有ctrl+k，避免了拼写错误。对应用Mathematica作图有了初步了解。实践证明，Mathematica作图功能十分强大，特别对隐函数的作图，可以给人直观的了解。

思考与深入：

对已有县城参数表示的图形实验进行的较为顺利，但对其他图形需花较多的功夫。实践中发现自己对立体几何

解析几何的学习尚需加强，空间想象能力尚需提高。对Mathematica图形显示中的许多修饰函数还缺乏了解，在今后的应用中还要不断了解。

教师评语

数学实验报告

实验序号：2                                                  日期：年   月    日

实验名称：定积分的近似计算

u  问题背景描述：定积分计算的基本公式是牛顿-莱布尼茨公式。但当被及函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。

u  实验目的：本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法和抛物线法。同时介绍Matlab计算定积分的相关函数。

实验原理：

 

矩形法

                                                                                                                                       

 

                                                                                            

 

 

                                                                                                

                                                                                                

实验所用软件及版本：mathematica(3.0)

主要内容（要点）：

2、  分别用梯形法与抛物线法，计算  ，将积分区间[1,2]作120等分。并尝试直接使用函数trapz()、quad()进行计算求解，比较结果的差异。

3、  试计算定积分  （注意：可以运用trapz()、quad()或附录程序求解吗？为什么？）

6   学习fuluBsum.m的程序设计方法，尝试用函数sum改写矩形法和抛物线法的程序，避免for 循环。

实验过程记录（含：基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：

2）:梯形法

format long

n=120;a=1;b=2;

syms x fx

fx=1/x;

i=1:n;

xj=a+(i-1)*(b-a)/n;

xi=a+i*(b-a)/n;

fxj=subs(fx,’x’,xj);

fxi=subs(fx,’x’,xi);

   f=(fxi+fxj)/2*(b-a)/n;

inum=sum(f)

integrate=int(fx,1,2)

integrate=double(integrate)

fprintf(‘The relative error between inum and real-value is about:%\n

n’,…

abs((inum-integrate)/integrate))

抛物线法

format long

%2*n=120;

n=60;

a=1;b=2;

syms x fx

fx=1/x;

i=1:n;

x0=a+(2*i-2)*(b-a)/(2*n);

x1=a+(2*i-1)*(b-a)/(2*n);

x2=a+(2*i-0)*(b-a)/(2*n);

fx0=subs(fx,x,x0);

fx1=subs(fx,x,x1);

fx2=subs(fx,x,x2);

si=(fx0+4*fx1+fx2)*(b-a)/(6*n);

inum=sum(si)

integrate=int(fx,1,2);

integrate=double(integrate)

fprintf(＇抛物线法的相对误差为：%e\n＇,abs((inum-integrate)/integrate))

trapz();

x=1:1/120:2;

y=1./x;

trapz(x,y)

quad(‘1./x’,1,2)

3 、使用函数trapz()

x=1:1/120:inf;

y=sin(x)/x;

trapz(x,y)

使用函数quad()

Quad(‘sin(x)./x’,0,inf)

矩形法

format long

n=inf;a=0;b=inf;

syms x fx

fx=sin(x)/x;

i=1:n;

xj=a+(i-1)*(b-a)/n;

xi=a+i*(b-a)/n;

fxj=subs(fx,’x’,xj);

fxi=subs(fx,’x’,xi);

   fxij=subs(fx, ’x’,(xi+xj)/2);

   f=fxij*(b-a)/n;

inum=sum(f)

integrate=int(fx,0,1)

integrate=double(integrate)

fprintf(‘The relative error between inum and real-value is about:%\n

n’,…

abs((inum-integrate)/integrate)

使用matlab命令

syms x;f=sin(x)/x;I=int(f,0,inf)

 6 、使用求和函数

矩形法

format long

n=100;a=0;b=1;

syms x fx

fx=1/（1+x^2）;

i=1:n;

xj=a+(i-1)*(b-a)/n;

xi=a+i*(b-a)/n;

fxj=subs(fx,’x’,xj);

fxi=subs(fx,’x’,xi);

   fxij=subs(fx, ’x’,(xi+xj)/2);

   f=fxij*(b-a)/n;

inum=sum(f)

integrate=int(fx,0,inf)

integrate=double(integrate)

fprintf(‘The relative error between inum and real-value is about:%\n

n’,…

abs((inum-integrate)/integrate))

抛物线法

format long

%2*n=200;

n=100;

a=0;b=1;

syms x fx

fx=1/(1+x^2);

i=1:n;

x0=a+(2*i-2)*(b-a)/(2*n);

x1=a+(2*i-1)*(b-a)/(2*n);

x2=a+(2*i-0)*(b-a)/(2*n);

fx0=subs(fx,x,x0);

fx1=subs(fx,x,x1);

fx2=subs(fx,x,x2);

si=(fx0+4*fx1+fx2)*(b-a)/(6*n);

inum=sum(si)

integrate=int(fx,0,1);

integrate=double(integrate)

fprintf(＇抛物线法的相对误差为：%e\n＇,abs((inum-integrate)/integrate))

情况记录

1、  梯形法和抛物线法程序设计较为顺利。但要注意使用for循环函数和求和函数时的不同matlab命令，避免混淆出错。使用函数trapz()，quad()是要注意被积函数是数值形式，应使用数组计算，应用点除否则将出错，不能调试出结果。

2、  使用函数trapz(),quad()和附录程序求解，均不能调试出获得正确答案。最后尝试用matlab命令中的符号求积分才得出正确结果。

3、  参照附录B中的求和函数程序设计顺利该变了附录A和C。发现使用求和函数时，inum不需要赋初值，应用了积分理论中分割、近似、求和

4、  取极限的思想方法，避免了for循环的冗杂性，较容易理解。

实验结果报告及实验总结

2、  结果：梯形法 inum=0.69315152080005

         抛物线法 inum=0.69314718056936

         使用函数trapz()

                 ans=0.69315152080005

         使用函数quad()

Ans=0.69314719986297

   将题中的近似计算结果相比较，发现运用不同的方法，计算结果会有不同。而梯形法误差较大，抛物线法急死计算定积分，接近于实际值，精确度高

3、  结果：只有使用matlab命令时才能计算出结果

I=1/2*pi

矩形法、梯形法、抛物线法是主要研究定积分的三种近似计算算法。trapz(),quad()也是用于定积分的近似数值计算。对于不定积分，由于积分区间无限大，故不能试过那个该分割方法

思考与深入：

   通过本实验加深理解了积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法。学习并掌握了用mablab求定积分的方法，了解了定积分近似计算的矩形法、梯形法和抛物线法。并认识到对于不同的题目，采取不同的运算方法，结果会不同，且精确度也不同。

同时，对于自身，要深刻理解不定积分、定积分概念，熟悉matllab数学软解的求不定积分

定积分的命令，了解简单的编程语句，以更快更准确且熟练的设计出程序。

教师评语