高中数学必修4知识点总结
第二章 平面向量
16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为的向量.
单位向量:长度等于个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
17、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
⑶三角形不等式:.
⑷运算性质:①交换律:;
②结合律:;③.
⑸坐标运算:设,,则.
18、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:设,,则.
设、两点的坐标分别为,,则.
19、向量数乘运算:
⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作.
①;
②当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;当时,.
⑵运算律:①;②;③.
⑶坐标运算:设,则.
20、向量共线定理:向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,使.
设,,其中,则当且仅当时,向量、共线.
21、平面向量基本定理:如果、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数、,使.(不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底)
22、分点坐标公式:设点是线段上的一点,、的坐标分别是,,当时,点的坐标是.(当
23、平面向量的数量积:
⑴.零向量与任一向量的数量积为.
⑵性质:设和都是非零向量,则①.②当与同向时,;当与反向时,;或.③.
⑶运算律:①;②;③.
⑷坐标运算:设两个非零向量,,则.
若,则,或. 设,,则.
设、都是非零向量,,,是与的夹角,则.
第三章三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴;⑵;
⑶;⑷;
⑸ ();
⑹ ().
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴.
⑵
升幂公式
降幂公式,.
⑶.
26、
(后两个不用判断符号,更加好用)
27、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 形式。,其中.
28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下:
(1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如:
①是的二倍;是的二倍;是的二倍;是的二倍;
②;问: ; ;
③;④;
⑤;等等
(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常化切为弦,变异名为同名。
(3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的代换变形有:
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有: ; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式常用升幂化为有理式,常用升幂公式有: ; ;
(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。
如:; ;
;;
;;
; ;
;
= ;
= ;(其中 ;)
; ;
(6)三角函数式的化简运算通常从:“角、名、形、幂”四方面入手;
基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值与特殊角的三角函数互化。
如: ;
。
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第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
一、学习任务
理解平面向量的正交分解及其坐标表示,会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件(对线段定比分点坐标公式不作要求).
二、知识清单
平面向量的分解 平面向量的坐标运算
三、知识讲解
1.平面向量的分解
描述:平面向量基本定理
如果 e1、e2 是同一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任一向量 a,存在唯一的一
对实数 a1、a2,使 a=a1e1+a2e2.我们把不共线向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有
向量的一组基底(base),记做 {e1,e2}.a1e1+a2e2 叫做向量 a 关于基底 {e1,e2}
的分解式.
平面向量的正交分解及坐标表示→→→→→→→→?→?→→→→?→?→
如果基底的两个基向量 e1,e2 互相垂直,则称这个基底为正交基底.在正交基底下分解向
量,叫做正交分解.
在平面直角坐标系 xOy 中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 e1,e2 作为基
底.由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数 a1、a2,使得 a=a1e1+a2e2.这样,
平面内的任一向量 a 都可由 a1、a2 唯一确定,我们把有序数对 (a1,a2) 叫做向量 a 在基底 {e1,e2} 的坐标,记做 a=(a1,a2),其中 a1
叫做 a在 x 轴上的坐标分量,a2 叫
做 a 在 y 轴上的坐标分量.→→→→→→→→→→→→→→
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