高中数学必修2知识点总结

第二章直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1

1 平面含义：平面是无限延展的

2 平面的画法及表示

（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45⁰，且横边画成邻边的2倍长（如图）

（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。

3  三个公理：

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

符号表示为

A∈L

B∈L      => L   α

A∈α

B∈α

公理1作用：判断直线是否在平面内

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，

使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

1 空间的两条直线有如下三种关系：

            相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：  不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥b

c∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

4 注意点：

① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；

② 两条异面直线所成的角θ∈(0，  )；

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3— 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点

（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行 —— 没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a  α来表示

a   α              a∩α=A               a∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：

a  α

b  β      => a∥α

a∥b

2.2.2平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

 

符号表示：

a   β

b   β

a∩b = P   β∥α

a∥α

b∥α

2、判断两平面平行的方法有三种：

（1）用定义；

（2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3— 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：

a∥α

a   β        a∥b

α∩β= b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：

α∥β

α∩γ= a     a∥b                                   

β∩γ= b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1直线与平面垂直的判定

1、定义

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

                               L

                            

                             p

α

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点：  a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A         

     梭 l        β

B

　　          α

2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.3— 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

9.3 两个平面的平行与垂直

一、 两个平面的位置关系：  （1）平行：没有公共点；  （2）有一条公共直线.

二、 两个平面平行的判定定理和性质

(1)判定定理：.  另外：① ；② .

(2)性质定理：.  另外：.                                    

三、两个平面垂直的判定定理和性质定理

(1)判定定理： 

(2)性质定理：  . 另外，.

四、两个平面平行，则一个平面上的所有平面都平行于另一个平面

五、经过异面直线中的一条有一个平面与另一条直线平行（其作用是将异面直线之距转化为线面之距）.

六、空间两条异面直线总存在于两个平行平面内（其作用是将异面之距转化线面之距）.

七、证明两个平面平行的方法：(1) 利用定义，即采取定义法； (2)利用判定定理；

(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”证之.

八、面面平行问题通常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，所以要注意转化思想的应用，要熟练应用两面平行的性质：①可用来证明线面平行；②可用来证明线线平行；

九、证明两个平面垂直的方法

(1)利用面面垂直的定义，即证两个平面所成的二面角为直二面角;

(2)利用两个平面垂直的判定定理，即证一个平面经过另一个平面的一条垂线.

   注：在证明两个平面垂直时一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决. 而作辅助线应有理论根据，并且要有利于证明，不能随意添加. 在作平面垂直时,一般要用性质定理，先在一个平面内作交线的垂线，转换为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. 要熟练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化运用.

                                                                        

 

第二篇：高中数学必修4知识点总结：第二章 平面向量

高中数学必修4知识点总结

第二章  平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量．   数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度．  零向量：长度为的向量．

单位向量：长度等于个单位的向量．

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．

相等向量：长度相等且方向相同的向量．

17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连．

⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：．

⑷运算性质：①交换律：；

②结合律：；③．

⑸坐标运算：设，，则．

18、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设，，则．

设、两点的坐标分别为，，则．

19、向量数乘运算：

⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．

①；

②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．

⑵运算律：①；②；③．

⑶坐标运算：设，则．

20、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．

设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．

21、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）

22、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．（当

23、平面向量的数量积：

⑴．零向量与任一向量的数量积为．

⑵性质：设和都是非零向量，则①．②当与同向时，；当与反向时，；或．③．

⑶运算律：①；②；③．

⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．

若，则，或． 设，，则．

设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．

第三章三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴；⑵；

⑶；⑷；

⑸    （）；

⑹    （）．

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴．

⑵

升幂公式

降幂公式，．  

 ⑶．

26、

                                                                                    

                                                 （后两个不用判断符号，更加好用）

27、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 形式。，其中．

28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：

①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；

②；问：         ；          ；

③；④；

⑤；等等

（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：

    

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有：                ；               。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：                 ；                 ；

（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。

    如：； ；

；；

；；

                    ；                 ；

              ；

                      =                       ；

                       =                       ；（其中    ；）

                  ；                       ；

（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；

基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。

如：                       ；

                                 。