立体几何定理总结

一、三类关系

1、线线关系：

不垂直

异面

垂直（异面直线a?b） 直线与直线 不垂直 相交

共面 垂直（a?b）

平行（a//b）

2、线面关系：

直线与平面平行

直线与平面直线与平面相交

直线在平面内

3、面面关系：

二、平行 定义：在同一个平面内没有公共点

1

、直线与直线三角形中位线定理

面面平行

定义：直线与平面没有公共点

2、直线与平面判定定理：

性质定理：

定义：两平面没有公共点

a????b???3、平面与平面判定定理：a?b?A???????

?a?????b????

??????性质定理：????a??a??b

????b??

三、垂直

相交垂直? 三线合一定理

菱形

1、直线与直线 正方形

异面垂直线面垂直?线面垂直

定义：一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线

2、直线与平面判定定理：

定义：两平面成直二面角

3、平面与平面判定定理：

性质定理：

四、空间角度

1、异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围：oo

2、线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为0o； ②线面垂直：线面所成的角为90o；

③斜线与平面所成的角：就是斜线与它在平面内的射影所成的角。 线面所成的角范围0o???90o

3、二面角：关键是找出二面角的平面角。方法有：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法；

二面角的平面角的范围：0o???180o；

五、空间距离

1、点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长。求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算。

注意：求点到面的距离的方法：

①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）；

②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）； ③体积法：利用三棱锥体积公式。

2、线线距离：关于异面直线的距离，常用方法有：

①定义法，关键是确定出a,b的公垂线段；

②转化为线面距离，即转化为a与过b而平行于a的平面之间的距离，

关键是找出或构造出这个平面；③转化为面面距离；

3、线面、面面距离：线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离常常相互转化；

六、一些结论

1.经过平面外一点，有无数条直线和已知平面平行。

2.经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。

3.经过平面外一点，有且只有一条直线和已知平面垂直。

4.经过平面外一点，有无数个平面和已知平面垂直。

5.经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。

6.经过直线外一点，有无数个平面和已知直线平行。

7.经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线垂直。

8.经过直线外一点，有无数个平面和已知直线垂直。

9.如果平面的一条斜线和这个平面内以斜足为顶点的角的两边成等角，那么这条斜线在这个平面上的射影是这个角的平分线所在直线。

 

第二篇：立体几何常用定理

立体几何常用定理和方法

一 平行问题

1．共面问题证法：先确定一个平面，证明其余各条直线都在这个平面内． 2．线线平行的证明方法；

（1）用平面几何的定理：① 垂直于同一直线的两条直线平行；②平行四边形；③中位线定理；④ 比例线段；（完成配图）

（2）a∥c?a∥??

?∥??b∥c??a∥b；（3）；a?????a∥b（4）??????a∥b；（5）??b???

??r?a??a∥b ．

????b????r?b??

3．线面平行的证明方法；

（1）用定义，证明直线和平面没有公共点（常体现在反证法中）； a∥b?

（2）b????

?a∥?； （3）?∥??

??a∥?． a???a???

?

4．面面平行的证明方法；

（1）用定义，证明两个平面没有公共点（常体现在反证法中）；

a??,a∥??

（2）b??,b∥??

???∥?； （3）a??????∥?．

a?b?P??

a???二 垂直问题

1．线线垂直

（1）平面几何的方法

① 两线相交夹角为90?； ② 勾股定理；③ 等腰三角形三线合一；⑥ 矩形的四个角都是直角； ④ 两条平行线同垂直于一条直线；⑤ 菱形的对角线互相垂直；⑦ 直径对的圆周90?角；

⑧ 垂径定理；⑨ 圆的切线垂直于过切点的半径

（2）

a?b?

b∥c??

?a?b，（平行不变）；（3）a???b????a?b； （4）三垂线定理（逆定理）

?

2．线面垂直

（1）用定义，证明直线与平面内的所有直线都垂直（常体现在反证法中）；

a?b,a?c?

（2）b??,c???

??a??； （3）a?????a??； （4）???,????b???a??b?c?P??

?∥??a??,a?b．

?

3．面面垂直

（1）用定义，证明平面角是90?；

（2）a???a???????； （3）?∥??????????．

??

三 空间向量及其运算

1、（1）共线向量定理：对空间任意向量?a?????

??（2）共面向量定量??、b(b?0),a//?b的充要条件是存在实数k，使a?kb.

实数对x、y,使?：如果两个向量c?xa?a、

b不共线，则向量c与向量?a、?b共面的充要条件是存在唯一的 ?yb?

.

（3）空间向量基本定理?????

有序数组x、y、z，使??：如果三个向量p?x?a?y??

a、b、c不共面，那么对于空间任意一个向量??b、?p，存在唯一的

c叫做空间的一个基底，每一个向量?a、

?b?zc.其中不共面的三个向量a、b、?c叫做基向量2、若向量?. a?(a?

1,a2,a3),b?(b1,b2,b3)，则有：（1）?a??

b?(a??

1?b1,a2?b2,a3?b3); (2)a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b(3)ka??(ka）?a?b?3);

1,ka2,ka3）；（4?a1b1?a2b2?a3b3；（5）距离公式

：|?a|?

（6

）夹角公式：cos?a,?b?；

（7）?a//b??aaa

a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)或1b?2?3(b1b2b3?0)；

1b2b3

（8）?a??

b?a1b1?a2b2?a3b3?0.

四 利用空间向量解决立体几何中的平行与垂直问题

1．证明两直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.

2．证明线面平行的方法：

（1）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;

（2）证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线;

（3）利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.

3．证明面面平行的方法：

（1）转化为线线平行、线面平行处理；

（2）证明这两个平面的法向量是共线向量.

4．证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直.

5．证明线面垂直的方法：

（1）证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；

（2）证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直.

6．证明面面垂直的方法：

（1）转化为线线垂直、线面垂直来处理；

（2）证明两个平面的法向量互相垂直.

五 利用空间向量解决角和距离

1． 求异面直线所成角的关键是作出异面直线所成角的平面角，常用的方法有：

（1）平移； （2）向量法，cosθ?

2．求线面角的常用方法：

（1）垂线法：过线上一点直接作面的垂线，则射影与斜线所成角就是线面角(关键是找到垂足)；

3．求二面角的常用方法：

（1）定义法：在棱上找一点，过这点在两个半平面内分别作两条直线跟棱垂直，则这两条直线所成角就是二面角的平面角；

（2）向量法：设n1、n2是两个半平面的方向向量cosθ?（2）向量法：sinθ? 12 (注意向量n1、n2的方向)；

4．求点到面的距离的常用方法：

（1）垂线法：直接过点作面的垂线，求出垂线段的长度即可(最好有面面垂直)；

（2）等体积法：变换顶点，使得几何体的高好求，求出体积，再利用体积相等求出点到面的距离；

（3）向量法： d ．

六 北京高考

10年：如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面

互相垂直，CE⊥AC,EF∥

CE=EF=1. （Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；

（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；

（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小．

EFDBA