第三章 中值定理及导数的应用

此章节中主要有：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，洛必达法则，泰勒公式。在这一章中除了要掌握这些定理公式外，还要熟练掌握导数运用的知识。

1．罗尔定理

  如果函数在闭区间内连续，在开区间内可导，且f（a）=f（b），则至少有一点c，使得在该点的导数为0。

罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。

2．拉格朗日中值定理。

  如果函数在闭区间内连续，在开区间内可导，那么 至少有一点c使得f`（c）=f（b）-f（a）/b-a成立。

它的几何意义就是：如果连续曲线的弧AB上除两个端点外处处有不垂直与x轴的切线，那么在弧上至少有一点c，使曲线在该点的切线平行于弦AB。

  拉格朗日中值定理是微分学中的最基本的定理，有着广泛的应用。应用于不等式的证明，

3．柯西中值定理。

  如果函数f（x）及F（X），在开区间内可导，在闭区间内连续，且F`（X）在开区间内处处不为0，那么至少存在一点C使得等式f（b）-f（a）/F（b）-F（a）=f`（C）/F`（C）成立。

注：拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况。

主要应用在书P90。

4．洛必达法则。

  该法则主要用来解决型如0/0,∞/∞这类未定式的极限问题。

如果函数f（x），F（x）满足：

   （1） 当x->a时   f（x），F（x）都趋进于a。

   （2） f`（x），F`（x）在点a的某个去心领域内都存在，且F`（x）不等于0；

   （3） 导数商的极限存在。

      则     函数的极限就是导数商的极限（应该满足三个条件。）详见书P92的定理3.5（当导数商的极限不存在时应采用其他方法求原函数的极限）。

     其他未定式如：0*∞，∞-∞，0的0次方，1的∞次方，∞的0次方，均可转化为0/0，∞/∞型的未定式来计算。转化之后再用“函数的极限就是导数商的极限”。

5．泰勒公式。

  泰勒中值定理：如果函数在含有x的开区间内具有直到（n+1）阶的导数，则当x0在（a，b）内时，f（x）可以表示为（x-x0）的一个n次多项式与余项Rn（x）之和。表达式在书P98。

最基本的形式为f``（x0）/2！*（x-x0）2。

泰勒公式中的余项也称为拉格朗日型余项。

当泰勒展开式中的x0=0时，便得到泰勒公式的简单形式——麦克劳林公式。

▲在这一章中应该熟练掌握泰勒公式的书写及1阶或n阶麦克劳林展开式的书写。

详细介绍在书P99。

6．函数单调性的判别法。

  判定定理：如果函数在闭区间内连续，在开区间内可导，则

         若在开区间上，导数大于0，则函数单调递增。

         若在开区间上，导数小于0，则函数单调递减。

讨论函数单调性的一般步骤是：

（1）    确定函数的定义域。

（2）    求出导数并找出导数为0的点（该点的X值叫做驻点），和导数不存在的点。

（3）    用上述各点将定义域划分为不同的区间，再在各个小区间上判断导数的符号，从而确定函数的单调性。（例题在书P103，例15）

7．函数的极值及其求法。

   极值就是说在定义域范围内一个小区间上的最大值和最小值。

   极值的必要条件：如果函数在x0处可导，且在x0处取得极值，则一定有极限为0。

极值的第一充分条件：设函数在x0的一个领域内可导且导数为0，则：

（1）  如果对x0左侧邻近的点x，有f`（x）大于0，右侧邻近的点x，有f`（x）小于0，则f（x0）是f（x）的极大值。

（2）  如果对x0左侧的邻近点x，有导数小于0，右侧邻近的点x，有导数大于0，则f（x0）是f（x）的极小值。

（3）  如果对x0两侧的点x，其导数恒为正或恒为负，则说明f（x0）不是f（x）的极值。

此定理表明，如果在x0两侧的导数符号相反，则

f（x0）一定是极值，如果x0两侧的导数符号相同，则f（x0）一定不是极值。

极值的第二充分条件：设函数在x0处有二阶导数且f`（x0）=0，f``（x0）不等于0，那么，

（1）  当f``（x0）小于0时，函数在x0处取得极大值。

（2）  当f``（x0）大于0时，函数在x0处取得极小值。

★什么叫做驻点？(它和极值点有关系)

答：极值点的自变量x就是驻点。但是驻点不一定就是极值点的自变量x。

8．函数的最大值和最小值。

   最大值就是在定义域内函数值最大的值，最小值也一样。

★求函数在闭区间上最值的一般方法：

（1）  求出函数在开区间上的全部驻点和导数不存在的点x1，x2，x3，x4等。

（2）  计算并比较f（a），f（x1），f（x2），f（x3），f（x4）……f(b)的大小,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值

9.曲线的凹凸与拐点.

设函数在[a,b]上连续,在(a,b)上具有一阶,二阶导数,那么

（1）  若在(a,b)内,二阶导数大于0,则函数在[a,b]上的图形是凹的。

（2）  若在(a,b)内,二阶导数小于0,则函数在[a,b]上的图形是凸的。

注：判断函数图形的凹凸性，应该利用二阶导数大于或小于0来判断。

▲     一般把连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点。在拐点处二阶导数是零。

求拐点的一般方法是：（与高中判断函数单调性的方法差不多）二阶导数为零的点就是拐点。

（1）  求出函数的二阶导数。

（2）  求出二阶导数为0的点，和不存在的点，利用这些点把定义域分为几部分。

（3）  考察二阶导数在各个区间上的符号，从而确定函数的凹凸性及拐点。

例题在书P114，例25，26。

求拐点的方法简介：首先确定函数的定义域，再求出一阶，二阶导数，然后令二阶导数为零求出X1，X2。这两点将定义域分为几部分，分别判断二阶导数的符号。

10．函数图形的描绘

一般步骤是：

（1）  确定函数的定义域。

（2）  求出函数的一阶和二阶导数。

（3）  求出一阶和二阶导数为0的点，和一阶和二阶导数不存在的点，利用这些点来划分区间。列表讨论在各个部分上曲线的升降，凹凸，极值点，拐点。

（4）  如果曲线存在渐近线，则要求出渐近线。

（5）  综合以上结论，与平滑的曲线画出函数的图形。

例题在书P116，例28，29。

▲本章中证明不等式的方法有多种，主要有：

         （1）利用拉格朗日中值定理证明。（对中值进行放缩）例题在书上P90

         （2）利用泰勒中值定理（判断余项的符号）

         （3）利用函数的单调性。

         （4）利用函数的极值与最值。

         （5）利用函数的凹凸性。（理论支持在书P112的定理3.2）.

11．曲率

弧微分公式在书P119的▲部分。

曲率的计算公式：平均曲率的极限就是曲线在点M处的曲率。（△s->0）

平均曲率k=|△a/△s|。其中△a表示切线转过的角度。△s表示增加弧的长度。

经过多次推导可知：曲率的计算公式是

▲     曲率圆与曲率半径.

曲率圆的定义:设函数f(x)在M处的曲率为k,在点M处的曲线的法线上,在曲线凹的一侧取一点D,使|DM|=1/k=P,（P表示曲率半径）以D为圆心,DM为半径的圆称为曲线在M处的曲率圆.DM为曲率半径.

注:（1）曲率与曲率半径的关系是:1/k=p。

（2） 曲线与它的曲率圆在同一点处具有相同的切线，曲率，凹向，因此可用曲率圆在带内处的一段圆弧来代替曲线弧。

 

第二篇：高等数学上册答案

第一章  函数与极限

更多答案 参见百度号 利万物而Bu争

1. 答：（1，10）  (由得)

2. 答：(-2，2)   (由0≤x2＜4,解得-2＜x＜2) 

3.    

4.    

5. [0，1]

6.    

7. 答：（1，+¥）

8.

故函数的定义域为

9.

10.

11.

12.

13.   

14.

15.

   

   

16.

             

      

17.   

故有        

 

18.

    

 

    19.  A     20.C     21.  D     22.  A

 

 。

24.

         

    

25

    

26.

    28.D   29.C   30.D   31.C   32.A   33.D  34.C 

35.A   36.B   37.C   38.C   39.B    40.C

           

42.

         

   47.

    

48.                      49.

     51.C                   52.C

55.

    

    56.D            57.A

63.

     =1－３＝－２

68.

    

          

    

   

    74.

    82.B  83.B  84.C  85.C  86.A  87.D  88.D  89.D  90.B  91.B

    92.A  93.C  94.C  95.B  96.C  97.C  98.D  99C  100.C  101.D

102.B  103.D  104.A  105.C  106.D  107.C  108.B  109.D

111.

     114.

118. 当时，是连续的初等函数。

当时

 

 

所以是的跳跃间断点。

                                                                                                  

    121.

    140.D                141.B

    143.C  144.B  145.D

148.

            

149.

150.

151.A     152.A     153. 1/2