3. 函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型的形式；

②逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

  常针对根号，举例：

令   ，原式转化为：   ，再利用配方法。

⑤利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；

⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x12时，都有f(x1)2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x12 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

⑴单调性：定义（注意定义是相对与某个具体的区间而言）

增函数：   减函数：

 注：① 函数上的区间I且x1，x2∈I.若＞0（x1≠x2），则函数f(x)在区间I上是增函数；

若＜0（x1≠x2），则函数f(x)是在区间I上是减函数。

   ② 用定义证明单调性的步骤:

＜1＞设x1，x2∈M，且；则   

＜2＞ 作差整理；

  ＜3＞判断差的符号；                  ＜4＞下结论；

   ③ 增+增=增     减+减=减

 ④ 复合函数y=f[g(x)]单调性:同增异减

（2） 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

1 任取x1，x2∈D，且x12；

2 作差f(x1)－f(x2)；

3 变形（通常是因式分解和配方）；

4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

 (B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

2确定f(－x)与f(x)的关系；

3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

⑵奇偶性：定义（注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系）

f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；

f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数。

  注:①若f(x)为偶函数,则f(x) =f(-x)= f(｜x｜);②若f(x)为奇函数且定义域中含0,则f(0)=0.

 

⑶周期性: ①若f(x+T)=f(x)且T≠0的常数,则T是函数f(x)的周期;

②若f(x+a)=f(x+b) ，a、b为常数且a≠b,则b- a是函数f(x)的周期。

1.定义  函数的周期性的定义及常用结论

一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意一个x的值．

若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期；

若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是周期函数，|b－a|是它的一个周期；

2．函数的周期性的定义及常用结论

一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意一个x的值．

若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期；

若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是周期函数，|b－a|是它的一个周期；

3．有关对称性的几个重要结论

一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值．

若f(x＋a)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a对称；

若f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点(0, )中心对称．特别地，若f(a＋x)＝－f(a－x)，则函数f(x)的图象关于点(a,0)中心对称．

4．对称性与周期性之间的关系

周期性与对称性是相互联系、紧密相关的．一般地，若f(x)的图象有两条对称轴x＝a和x＝b(a≠b)，则f(x)必为周期函数，且2|b－a|是它的一个周期；若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b)，则f(x)必为周期函数，且2|b－a|为它的一个周期；若f(x)的图象有一条对称轴x＝a和一个对称中心(b,0)(a≠b)，则f(x)为周期函数，且4|b－a|是它的一个周期．

⑷对称性:①若f(x+a)=f(b-x),则函数f(x)关于直线x=对称;( 即:‘一均二等’的原则)

②若函数y=f(x+a)和函数y=f(b-x),则函数y=f(x+a)和函数y=f(b-x)关于直线x=对称.

③你还知道函数y=f(x)关于直线x=0(即y轴),直线y=0(即x轴),原点。

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

1)   凑配法

2)   待定系数法

3)   换元法

4)   消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

2 利用图象求函数的最大（小）值

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

例题：

1.求下列函数的定义域：

⑴        ⑵   

2.设函数的定义域为，则函数的定义域为_  _  

3.若函数的定义域为，则函数的定义域是        

4.函数 ，若，则=           

5.求下列函数的值域：

⑴           ⑵ 

(3)               (4)

6.已知函数，求函数，的解析式

7.已知函数满足，则=             。

8.设是R上的奇函数，且当时,,则当时=   

  在R上的解析式为                       

9.求下列函数的单调区间：

 ⑴   ⑵  ⑶

10.判断函数的单调性并证明你的结论．

11.设函数判断它的奇偶性并且求证：．