西京学院数学软件实验任务书

                         实验二十五实验报告

一、实验名称：线性多步法（数值积分法，Taylor展开法）。

二、实验目的：进一步熟悉线性多步法（数值积分法，Taylor展开法）。

三、实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成程序设计。

四、实验原理：

1．数值积分法：

常微分方程初值问题

              (1)

数值解法中，某一步的公式不仅与前一步解的值有关，而且与前若干步解的值有关，利用前面多步的信息预测下一步的值，这就是多步法的基本思想，可以期望获得较高的精度。

将(1)中的方程在区间上积分，可以得到：

用等距节点的插值多项式来替代被积函数，再对插值多项式积分，这样就得到一系列求积公式。

用梯形方法计算积分项

代入(1)中得：

设由个数据点 构造插值多项式，这里，运用插值公式有：

得到下列计算公式：

                 (2)

其中，

由此可得(2)中的系数。公式(2)是一个r+1步的显式公式，称为Adams显式公式。

2．Taylor展开法：

基于数值积分可以构造出一系列求解常微分方程的计算公式，下面介绍基于 Taylor 展开的待定系数法，它可灵活地构造出线性多步法。对固定的系数，可以选取待定系数使线性多步法的阶尽可能高。还可以根据需要，确定显式还是隐式。

设构造如下具有 p 阶精度的线性多步公式：

   (4)

它们的局部截断误差为:

即：   (5)

对(5)式的右端各项在点处作Taylor展开有:

代入(5)中得：

使的系数为零，得到关于和的线性方程组：

而且得到线性多步法的局部截断误差：

五、实验内容：

%数值积分法

function [k,X,Y,wucha,P]= Adams4x(funfcn,x0,b,y0,h)

x=x0; y=y0;p=128; n=fix((b-x0)/h);

if n<5

    return;

end

X=zeros(p,1);

Y=zeros(p,length(y)); f=zeros(p,1);

k=1; X(k)=x; Y(k,:)=y';

for k=2:4

c1=1/6;c2=2/6;c3=2/6;

c4=1/6;a2=1/2; a3=1/2;

a4=1;b21=1/2;b31=0;

b32=1/2; b41=0;b42=0;b43=1;

x1=x+a2*h; x2=x+a3*h;

x3=x+a4*h; k1=feval(funfcn,x,y);

y1=y+b21*h*k1; x=x+h;

k2=feval(funfcn,x1,y1);

y2=y+b31*h*k1+b32*h*k2;

k3=feval(funfcn,x2,y2);

y3=y+b41*h*k1+b42*h*k2+b43*h*k3;

k4=feval(funfcn,x3,y3);

y=y+h*(c1*k1+c2*k2+c3*k3+c4*k4); X(k)=x; Y(k,:)=y;

end

X;Y;f(1:4)=feval(funfcn,X(1:4),Y(1:4));

for k=4:n

f(k)=feval(funfcn,X(k),Y(k));

X(k+1)=X(1)+h*k;

Y(k+1)=Y(k)+(h/24)*((f(k-3:k))'*[-9 37 -59 55]');

f(k+1)= feval(funfcn,X(k+1),Y(k+1));f(k)=f(k+1); k=k+1;

end

for k=2:n+1

wucha(k)=norm(Y(k)-Y(k-1)); k=k+1;

end

X=X(1:n+1); Y=Y(1:n+1,:); n=1:n+1,

wucha=wucha(1:n,:); P=[n',X,Y,wucha'];

 

第二篇：数学实验“线性方程组的最速下降法与共轭梯度法解法”实验报告(内含matlab程序代码)

西京学院数学软件实验任务书

                                 实验五实验报告  

一、实验名称：最速下降法与共轭梯度法解线性方程组。

二、实验目的：进一步熟悉理解掌握最速下降法与共轭梯度法解法思路，提高matlab编程能力。

三、实验要求：已知线性方程矩阵，应用最速下降与共轭梯度法在相关软件编程求解线性方程组的解。

四、实验原理：

1．最速下降法：

从某个初始点 出发，沿在点处的负梯度方向

 

求得的极小值点, 即

然后从出发，重复上面的过程得到。如此下去，得到序列{}

 

可以证明，从任一初始点 出发， 用最速下降法所得到的序列{}均收敛于问题使最小化的解，也就是方程组的解。其收敛速度取决于，其中 ,分别为A的最小,最大特征值。最速下降法迭代格式：给定初值，按如下方法决定：

 

2．共轭梯度法

其基本步骤是在点 处选取搜索方向, 使其与前一次的搜索方向 关于共轭，即

 

然后从点 出发，沿方向求得的极小值点 , 即

如此下去, 得到序列{}。不难求得的解为

 

注意到的选取不唯一，我们可取

 

由共轭的定义可得：

共轭梯度法的计算过程如下：

第一步：取初始向量, 计算

      

第步：计算

五、实验内容：

%最速下降法

function [x,k]=fastest(A,b,eps);

x0=zeros(size(b),1);

x=x0;

k=0;

m=1000;

tol=1;

while tol>=eps

    r=b-A*x0;

    q=dot(r,r)/dot(A*r,r);

    x=x0+q*r;

    k=k+1;

    tol=norm(x-x0);

    x0=x;

   if k>=m

       disp('迭代次数太多，可能不收敛！');

       return;

   end

end

x

k

%共轭梯度法

function [k,x]=gong_e(A,b)

esp=input('请输入允许误差esp=');

x0=input('请输入初始值x0=');

k = 0 ;

r0 = b-A*x0;    %求出dangqian梯度

while  norm(r0)>esp

    r0 = b -A*x0;

    k = k + 1 ;

    if k==1

        p0 = r0 ;

    else

        lamda=(r0'*r0)/(p0'*A*p0);

        r1 = r0 - lamda*A*p0 ;

        p0=r0+(r0'*r0)/(r1'*r1)*p0;

        x1 = x0 + lamda*p0;

        x0=x1;

        r0=r1;

    end

end

x=r0;

k;

end

六、实验结果：

A=[5 2 0;6 4 1;1 2 5];

b=[10 18 -14]';

eps=1.0e-6;

x =

   -0.8750

    7.1875

   -5.5000

k =

    60