小议几何学发展

----读《选修?数学史》有感 任何事物都是随历史的进化而变化的。几何也不例外。特别是读了《选修?数学史》后，这种感觉越发深厚。现在，请允许我简单谈一下我的想法。

几何中最早被整理出并被世人认可的几何便是欧氏几何。它建立在欧几里德的《几何原本》中的5大公理上的。它在古希腊就已经建立。而我个人认为其中2人为它做出了巨大贡献。

其中之一自然是欧几里得。他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。欧几里得使用了公理化的方法。这一方法后来成了建立任何知识体系的典范，在差不多二千年间，被奉为必须遵守的严密思维的范例。

除了《几何原本》之外，他还有不少著作，可惜大都失传。欧几里得还有另外五本著作流传至今。它们与《几何原本》一样，内容都包含定义及证明。《已知数》便是其中之一。（Da他是除《原本》之外惟一保存下来的他的希腊文纯粹几何著作，体例和《原本》前6卷相近，包括94个命题。指出若图形中某些元素已知，则另外一些元素也可以确定。

还有一位是阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名。他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地。

在后代那么多的数学家中，笛卡尔无疑是欧氏几何最坚实的拥护者。他不仅拥护它，还将它发展。他为几何所做出的最大的贡献，无疑是创立了解析几何。

17世纪以来，由于航海、天文、力学、经济、军事、生产的发展，以及初等几何和初等代数的迅速发展，促进了解析几何的建立，并被广泛应用于数学的各个分支。在解析几何创立以前，几何与代数是彼此独立的两个分支。解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。解析几何包括平面解析几何和立体解析几何两部分。

解析几何中费马也立下了汗马功劳。而他本人也可以用“传奇”二字来形容。之所以称他为“传奇”，是因为他的职业是律师，但他同时也是一位业余数学家。1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯失传的《平面轨迹》一书。他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》。费马于1636年与当时的大数学家梅森、罗贝瓦尔开始通信，对自己的数学工作略有言及。但是《平面与立体轨迹引论》的出版是在费马去世14年以后的事，因而1679年以前，很少有人了解到费马的工作，但现在看来，费马的工作却是开创性的。《平面与立体轨迹引论》中道出了费马的发现。他指出：“两个未知量决定的—个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。”费马的发现比勒奈?笛卡儿发现解析几何的基本原理还早七年。费马在书中还对一般直线和圆的方程、以及关于双曲线、椭圆、抛物线进行了讨论。在1643年的一封信里，费马也谈到了他的解析几何思想。他

谈到了柱面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭球面，指出：含有三个未知量的方程表示一个曲面，并对此做了进一步地研究。

但是也在这同一时期，也是随着大航海时代的到来与对宇宙的观测愈发准确，支撑欧氏几何的5大公理之一的平行公理被人们所质疑。为了满足航海与天文的需要，部分数学家否定了平行公理，创造出了非欧几何。最为出名的是黎曼几何和射影几何。

黎曼几何是德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 。

非欧几何的另一个就是射影几何，他的代表人物是帕斯卡、吉拉德?笛沙格和彭赛列。

帕斯卡是另一个传奇。在众人眼中，他是一位物理学家，但他又是射影几何的创始人。帕斯卡的数学造诣很深。除对概率论等方面有卓越贡献外，最突出的是著名的帕斯卡定理－－他在《关于圆锥曲线的论文》中提出的。帕斯卡定理是射影几何的一个重要定理，即“圆锥曲线内接六边形其三对边的交点共线”。

笛沙格以笛沙格定理出名。在射影几何，笛沙格定理作为一个古老而著名的定理，有着重要的应用。Desargues的定理，被以他的名字命名以纪念Gérard Desargues。陈述如下：

在一个射影空间，二个三角轴向地是在透视，如果，并且，只有当他们在透视在中心。

要了解此，由(小写) a表示一个三角三个端点、b和c，并且那些其他由(资本) A、B和C.轴向是在线满意的，如果和，只有当交点ab的与AB的和那ac的交叉点与AC的和那交叉点BC有BC的，是在同一直线上的，条件称轴。 中央是条件满意，如果和，只有当三条线Aa， Bb和Cc是一致的，在称透视中心的点。

尽管彭色列本身不是传奇，但他创造射影几何的经历却是传奇。蓬斯莱被当作战死者留在克拉斯诺耶战场。人家注意到他还有口气，把他救活了，他被俘后在严冬气候下经过四个月长途跋涉后被关在监狱中，在狱中呆了一年半时间。蓬斯莱靠沉思几何问题来打发他漫长的狱中岁月。他回忆、思考了所学过的数学，创立了射影几何学。他1814年回到法国时已经是拿破仑倒台之后了，1822年把在俘虏营中取得的成果写成《论图形的射影性质》一书发表。它给老领域一种新面貌（粗略地讲，它研究几何图形所投的影象），以前的难题现在很容易得到解决。尽管蓬斯莱的观点一开始就被柯西*强烈地反对，但是一般认为他的书是近代几何的基础。他还把算盘由俄国带回法国。中世纪时在西方也用这种算盘，后来废而不用，于是长期被遗忘了，这次带了回来就双被当成新玩意。1831年选入巴黎理学院。1835年成为国防委员会的成员。1838～1848年，任巴黎大学力学教授，1848～1858年以将军衔任巴黎综合工科学校校长。1867年12月23日卒于巴黎。

提到彭色列，就得提到他的老师蒙日。他是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，创立了偏微分方程的特征理论，引导了纯粹几何学在19世纪的复兴。此外，他在物理学、化学、冶金学、机械学方面也取得了卓越的成就。他的《大炮制造工艺》在机械制造界影响颇大。主要著作有：《曲面的解析式》（1755）、《静力学引论》（1788）、《画法几何学》（1798）、《代数在几何学中的应用》（1802）、《分析在几何学中的应用》（1805）等。

数学在不断地发展，几何也是。就是这一代又一代的数学家的努力，才有我们今天美丽的数学。

 

第二篇：学到的不仅仅是评课——《陈永明评议数学课》读后感