《椭圆及其标准方程》教学设计及反思

教学目标：

（一）知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程．

（二）能力目标：培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．

（三）情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神．

教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．

教学难点：椭圆标准方程的推导．

教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．

教具准备：多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳．

教学过程

（一）设置情景，引出课题:

1．对椭圆的感性认识.通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实

物和图片，让学生从感性上认识椭圆.

2．通过动画设计，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规律”运动的轨迹。

提问：点M运动时，F₁、F₂移动了吗？点M按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？

下面请同学们在绘图板上作图，思考绘图板上提出的问题：

1．在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？

2．改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？

3．当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？

 （二）研讨探究，推导方程

1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？

2、研讨探究

问题：如图已知焦点为的椭圆，且=2c,对椭圆上任一点M，有

，尝试推导椭圆的方程。

 思考：如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？

将各组学生的讨论方案归纳起来评议，选定以下两种方案，由各组学生自己完成设点、列式、化简。

方案一                             方案二

列式：   ∴

化简：（这里，教师为突破难点，进行设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？）

两边平方，得：

即

两边平方，得：

整理，得：

令，则方程可简化为：

整理成：

指出：方程叫做椭圆的标准方程，焦点在轴上，焦点是

讨论：如果以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，焦点是，椭圆的方程又如何呢？

让按照另外方案推导椭圆标准方程的同学发言并演示动画进行讨论得出：为椭圆的另一标准方程，而其他建系方案得出的椭圆方程没有标准方程形式简单．

引导学生思考：已知椭圆标准方程，如何判断焦点位置？

讨论得出：看，的分母大小，哪个分母大就在哪一条轴上．

选定方案二建立坐标系，由学生完成方程化简过程，可得出+=1，同样也有a²－c² = b² ( b > 0 )。

教师指出：我们所得的两个方程+=1和+=1（）都是椭圆的标准方程。

（三）归纳概括，方程特征

1、观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳

（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；

（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；

（3）椭圆标准方程中三个参数a,b,c关系：；

（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；

（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a,b的值。

2、在归纳总结的基础上，填下表

（四）例题研讨，变式精析

 例1、已知一个贮油罐横截面的外轮廓是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点的距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程。

例2、将圆的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线。

例3、求满足条件的下列方程

（1）两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离和等于10。

（2）两焦点坐标分别是，并且椭圆经过点。

（3）

（五）课堂小结

（1）椭圆的定义及其标准方程；

（2）标准方程中的关系；

（3）焦点所在的轴与标准方程形式之间的关系

（六）作业布置：P28  习题 2.2.（1）    2

教学反思：

本节借助几何画板的演示功能，使学生通过点的运动，观察到椭圆的轨迹的特征。多媒体创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新.

学生虽然对椭圆图形有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考、探索和创新，这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关.本节课从实例出发，用多媒体结合本课题设计了一对动点有规律的运动作一些理性的探索和研究.

在教材处理上，大胆创新，根据椭圆定义的特点，结合学生的认识能力和思维习惯在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“常数”取值范围.在标准方程的推导上，并不是直接给出教材中的“建系”方式，而是让学生自主地“建系”，通过所得方程的比较，得到标准方程，从中去体会探索的乐趣和数学中的对称美和简洁美.

在对教材中“令”的处理并不是生硬地过渡，而是通过课件让学生观察在当为椭圆短轴端点时(但这一几何性质并不向学生交待)，特征三角形所体现出来的几何关系，再做变换.

 

第二篇：椭圆及其标准方程反思1

椭圆及其标准方程》教学案例反思

阳春二中 王华山

一、教学背景分析

（1）教材分析：

本节课是高中数学选修2--1第二章《椭圆及其标准方程》的第一节课，主要学习椭圆的定义和标准方程。它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识。这一节课是在学完《曲线与方程》的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，又是继续学习椭圆的几何性质的基础；同时还为后面学习双曲线和抛物线作好准备。因此本节内容起到一个承上启下的重要作用。

（2）学生分析：

1、学生的知识储备分析：学生已学习了直线和圆的方程，并初步

学习了求曲线方程的一般方法和步骤，但学生仍对坐标法解决几何问题存在障碍。

2、学生的数学能力分析：学生通过几何图形来发现轨迹上点的特

征的能力较强（数形结合），但计算能力较弱，因此在方程的推导中会遇到障碍，成为本节的难点。

（3）教学重点难点分析：

1、重点：椭圆定义及其标准方程

2、难点：椭圆标准方程的推导

3、关键:含有两个根式的等式化简

二、教学目标分析：

1、知识与技能目标：①掌握椭圆定义和标准方程；②能用椭圆的定义解决一些简单的问题.

2、过程与方法目标：

①通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力.

②在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法.

3、情感态度与价值观目标：

①通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣.

②通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”.

③通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力，增强主动与他人合作交流的意识.

三、教学方法分析：

为了使学生更主动地参加到课堂教学中，培养他们的能力，本课采用自主探究法，即 “创设问题——启发讨论——探索结果”的一种研究性教学方法，以画一画、议一议、求一求、用一用、练一练几个步骤来实施教学过程。同时使用多媒体辅助教学，增强动感和直观性，提高学生的学习兴趣，提高教学效果和教学质量。

四、说教学程序：

（一）创设情景，提出问题

1、认识椭圆

①教师用多媒体演示卫星绕地球运行的轨道实物图。

目的：使学生对椭圆有一个感性的认识

②请学生举出所看到有关椭圆的实例

的：使学生对椭圆的认识能得到进一步加深，同时在学生的举例中

也能澄清椭圆与椭球这两个不同的几何图形（如：有同学认为鸡蛋是椭圆形的，实质上它为椭球形的）

2、那么怎样画出椭圆呢？椭圆在直角坐标系下是否可以像圆一样用方程来表示？

（二）新授课（主要体现五个环节）

1、画一画（画椭圆）

教师请学生拿出课前准备的硬纸板、细线、铅笔，同桌一起合作画椭圆。

：（1）给学生提供一个动手、动脑、动手的学习机会；（2）通过实验可以使学

生去探究“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”有深刻地理解。（3）培养学生的自信心，成就感。

2、议一议（椭圆的定义及有关概念）

设问1：通过上述的实际操作，请问椭圆是满足什么条件的点的轨迹？（让学生归纳）

的：通过上述的学生实验操作后，先请学生大胆探究、想象，再由

教师动画演示，加深对椭圆定义条件的理解。

3、求一求（椭圆标准方程的推导）

设问1：求曲线方程的一般方法怎样？（建系、设点、列式、化简）

设问2：本题中可以怎样建立直角坐标系？

（让学生根据自已的经验来确定）

①以左右焦点所在的直线为 轴，F1F2的中点为原点建立直角坐标系；

②以F1、F2所在的直线为 轴， F1F2的中点为原点

建立直角坐标系；

设点：设M（x，y）为椭圆上任意一点

列式：由椭圆定义，椭圆就是集合

4、用一用（运用知识）

、平面内在x轴上的两个定点距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程.

思考变式①：如果两定点在y轴上呢？

思考变式②：如果就直接给出两个定点距离是8，不交代在哪个轴上呢？

的：通过本题的练习，使学生能加深椭圆的焦距与标准方程之间关

系的理解，同时会求标准方程的基本量，教学时采用在教师引导下不断对例题进行变式让学生在探究讨论中完成的方法。

5、练一练（巩固知识）

1、求适合下列条件的椭圆标准方程

（1）a=1,b=2焦点在x轴上；

（2）a=4,c=3焦点在y轴上；

（3）两个焦点坐标是(-2,0)和(-2,0),并且经过点p(5/2,-3/2)；

的：（1）进一步熟悉椭圆的焦点位置与标准方程之间关系；（2）掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程，解题时强调“二定”即定位定量；（3）培养学生运用知识解决问题的能力。（4）第1小题教师详细板书，给学生一个解题的规范示例。

（三）课后小结（整理知识、形成网络）

提问--小结：本节课学习的主要内容是什么?

一个定义（椭圆的定义）、二类方程（焦点在分别在轴、轴的上的两个标准方程）、一种方法（待定系数系法）

目的:培养学生的概括与整体优化能力

（四）作业训练，巩固提高

课本第45页习题§2.2第1题、第2题、第3题。

五、板书设计：

六、教学反思： 本节课体现“教师为主导,学生为主体”的现代教学思想。在对椭圆定义的讲授中, 以“引导探究式”教学法，创设情景“卫星绕地球运行的轨道和实物图”作引入，遵循从生动直观到抽象概括的教学原则和教学途径,通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力;让椭圆生动灵活地呈现在学生面前,更有助于学生理解椭圆的内涵和外延.对本课另一难点标准方程推导的讲授中,在关键处设疑,以疑导思,让学生先从目的、再从方法上考虑,引导学生对比、分析,师生共同完成.通过经历椭圆方程的化简,增强了学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美.通过讨论椭圆方程推导的等价性养成学生扎实严谨的科学态度.设计的例题及变式练习,充分利用新知识解决问题,使所学内容得以巩固.设问(2)的设计让学生站在方程的角度认清椭圆两种标准方程形式上的特征,将学生的思维提升到了一个新的高度.在教学中借助多媒体生动、直观、形象的特点来突出教学重点.自始至终很好地调动

学生的积极性,挖掘他们的内在潜能,提高学生的综合素质。