2001级数学学院二班 牛长发 第1页

行列式的解法小结

摘要：本文列举了行列式的几种计算方法：如化三角形法，提取公因式法等，

并指明了这几种方法的使用条件。

关键词：行列式 三角形行列式 范德蒙行列式 循环行列式

行列式的计算是一个很重要的问题，也是一个复杂的问题，阶数不超过3的行列式可直接按行列式的定义求值，零元素很多的行列式（三角形行列式）也可按行列式的定义求值。对于一般n阶行列式，特别是当n较大时，直接用定义计算行列式几乎是不可能的事。因此，研究一般n阶行列式的计算方法是十分必要的。由于不存在计算n阶行列式的一般方法，所以，本文只给出八种特殊的计算方法，基本上可解决一般n阶行列式的计算问题。

1 升阶法

在计算行列式时，我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式，再用展 开定理使之降阶，从而使问题得到简化。有时与此相反，即在原行列式的基础上 添行加列使其升阶构造一个容易计算的新行列式，进而求出原行列式的值。这种 计算行列式的方法称为升阶法。凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除 主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行（列）对应元素成比例。升 阶时，新行（列）由哪些元素组成？添加在哪个位置？这要根据原行列式的特点 作出选择。

c?a21

a2a1?ana1

a1a2?a1anc?a2?a2an2?ana2

??

2

?c?an

例1计算n阶行列式 Dn?

，其中c?0

1

a1a2

?

an

1

a1c00

a2?an0c0

???

0c?a21

解 Dn?0a2a1

?

ana1

a1a2?a1an?a1c?a2?a2an??a22?ana2

?

?

??an

2

?c?an

00

????

c

将最后一个行列式的第j列的c?1aj?1倍加到第一列（j?2,3?n?1)，就可以

?1n

变为上三角形行列式，其主对角线上的元素为1+c

?a

i?1

2

i

,c,c,?,c

1

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故 Dn?cn?c

n?1n?ai?12i

1

x1

x2

例2 计算n阶行列式Dn?1

?

x1n?2

x1n1x2x22?nx2?????1xn2xn ?n?2n?2x2?xn

xn

n

解 好象范德蒙行列式，但并不是，为了利用范德蒙行列式的结果，令

1

x1

x12

Dn??1x22x2???

?1xn2xn1yy2

?

yn?2

yn?1

yn??x1n?2x1n?1x1nn?2n?2x2?xnn?1n?1x2?xnnx2?nxn

按第n?1列展开，则得到一个关于y的多项式，yn?1的系数为

(?1)n?1?nDn??Dn。另一方面Dn?1?

1?j?i?n?(xi?xj)*?(y?xi) i?1n

显然，Dn?1中yn?1的系数为

所以Dn??xi*

i?1n1?j?i?n?(xi?xj)??(x1?x2???xn)? 1?j?i?n?(xi?xj)

2利用递推关系法

所谓利用递推关系法，就是先建立同类型n阶与n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系——递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值。

ab?b

ca?b例3计算n阶行列式 Dn?，其中b?c,bc?0 ???

cc?a

解 将Dn的第一行视为(a?c)?c,0?c,?0?c,据行列式的性质，得

2

2001级数学学院二班 牛长发 第3页

a?c?cb?ba?cb?bcb?b0?ca?b0a?bca?b

Dn? ??

??????????0?cc?a0c?acc?a Dn?(a?c)Dn?1?c(a?b)n?1 (1)

于b与c的对称性，不难得到Dn?(a?b)Dn?1?b(a?c)n?1 (2) 联立（1），(2）解之，得Dn?(b?c)?1b(a?c)n?c(a?b)n

a?b10?00

aba?b1?00

0ab?00

????

1

??

000?0

000?aba?bab

?

00

?

例4计算n阶行列式 Dn?

a?b?

?a?b

0a?b?

解将Dn按第一行展开，得Dn??a?b?Dn?1?ab??

00

00

0?

?a?bab?1a?b

于是得到一个递推关系式Dn?(a?b)Dn?1?abDn?2，变形得

Dn?bDn?1?a(Dn?1?bDn?1)

易知 Dn?bDn?1?a2(Dn?2?bDn?3)?a3(Dn?3?bDn?4)

???an?2(D2?bD1)?an?2(a?b)2?ab?b(a?b)?an

所以Dn?an?bDn?1，据此关系式在递推，有

??

Dn?an?b(an?1?bDn?2)?an?an?1b?b2Dn?2

???an?an?1b???a2bn?2?bn?1D1?an?an?1b???abn?1?bn

如果我们将Dn的第一列元素看作a?b,1+0,……0+0,按第一列坼成两个行 列式的和，那么可直接得到递推关系式Dn?an?bDn?1，同样可得Dn的值。

3

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3 化三角形法

此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的N阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号

ab?b

ba?b

例5计算N阶行列式Dn?

???bb?a1b1a

解 Dn??a??n?1?b?1b

?b1b?b0a?b

??a??n?1?b????a00

?b

?0

???a?b

?a?(n?1)b?(a?b)n?1

4 利用范德蒙（Vandermonde）行列式法

著名的范德蒙行列式，在线性代数中占有重要地位，研究它的应用引起了一些数学家的兴趣，因此在计算行列式时，可直接用其结果。

1

x1(x1?1)例6 计算n阶行列式Dn?x12(x1?1)

?

1x2(x2?1)2x2(x2?1)?

??

??

1

xn(xn?1)2xn(xn?1) ?

n?1n?1

x1n?1(x1?1)x2(x2?1)?xn(xn?1)

解 将第一行可视为x1?(x1?1),x2?(x2?1),?xn?(xn?1)，再由行列式的性

x1

x1(x1?1)

质，得Dn?

?

x1n?1(x1?1)

x2x2(x2?1)?

???

xn

xn(xn?1)

?

n?1n?1x2(x2?1)?xn(xn?1)

4

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x1?1x2?1x2(x2?1)

n?1x2(x2?1)

xn?1xn(xn?1)

n?1

xn(xn?1)

?

x1(x1?1)x1n?1(x1?1)

把第一个行列式从第一行起依次将i行加到i?1行；第二个行列式的第i列提取

xi?1(i?1,2,3?n),得

x1

Dn?

x12?x1n

x2?

n

x2

?xn?

?

??(xi?1)

i?1n

1x1(x1?1)

?x1n?1(x1?1)

1x2(x2?1)

?

???

1xn(xn?1)

?

22x2?xn

n

?xnn?1n?1x2(x2?1)?xn(xn?1)

n

?n?

=??xi??(xi?1)?*?(xi?xj)

i?1?i?1?1?j?i?n

5 利用乘法定理法

在计算行列式时，有时可以用乘法定理，将给定的行列式表为两个容易计算的或已知的行列式的乘积，从而求出给定行列式的值；有时不直接计算给定的行列式，而是选一个适当的与给定行列式同阶的行列式，计算两行列式的乘积，由此求出给定行列式的值，这样也可使问题简单。

1?a1b1

1?a1b2

?1?a1bn

?a2b11?a2b2?1?a2bn

例7计算n阶行列式Dn?

????

?anb11?anb2?1?anbn

1

a1a2an

000

?0?0?0

1b1

??0

1

?

1

b2?bn0?0 ???00?0

解 Dn?

11

???

所以，当n?2时，Dn?0；

当n?2时，D2?(a2?a1)(b2?b1) 当n?1时，D1?1?a1b1

6 利用拉普拉斯（Laplace）定理法

拉普拉斯定理，在计算行列式时，主要应用k=1的情形，而很少用一般形式，

5

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不过当行列式里零元素很多时，运用一般情形的拉普拉斯定理，往往会给行列式的计算带来方便。

a?

?ab??ba?ba?

?ab??ba?ba?

?ab??ba?b

a

n?1

b

例8 计算2n阶行列式D2n?

?n?

?

ab

解 D2n?(?1)

1?2n?1?2n

abba

2

?

?n?1?

?

ab

?(?1)

1?2(n?1)?1?2(n?1)

abba

2

?n?2?

???

abba

*

abba

?(a2?b2)n

7 提取公因式法

若行列式满足下列条件之一，则可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，称为“a,a,?,a型”；（2）有两行（列）的对应元素之和或差相等，称为“邻和型”；（3）各行（列）元素之和相等，称为“全和型”。满足条件（1）的行列式可直接提取公因式a变为“1，1，…，1型”，于是应用按行（列）展开定理，使行列式降一阶。满足（2）和（3）的行列式都可以根据行列式的性质变为满足条件（1）的行列式，间接使用提取公因式法。

x?a1

a2

?

an

an

?

a1?a1

例9计算N阶行列式 Dn?

x?a2???a2

6

?x?an

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解 该行列式各行元素之和都等于 x??ai，属于“全和型”，所以

i?1

n

Dn?(x??ai)

i?1n

a2x?a2

?a2

????

anan?x?an

?1a2

n0x?(x??ai)

??i?1

00?an?0

???x

?x

n?1

(x??ai)

i?1

n

总结:计算行列式的方法很多,除了以上常见的方法外还有一些特殊的方法,如n阶轮换行列式的初等计算方法、极限法、导数法、积分法等。对于一个给定的行列式可以有多种方法求解，这是则要求我们注意方法的灵活性，要在众多方法中选取一种最简便的方法。

参考文献

[1]. 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第二版）.

北京：高等教育出版社.1994

[2]. 王品超.高等代数新方法.济南：山东教育出版社.1989 [3]. 北大数学系.高等代数[M].北京高等教育出版社.1988 [4]. 陈仲.大学数学复习指导与试题解析[M].南京大学出版社.1999

The calculating methods of deteminants

Abstract: This article enumerates several calculation methods of deteminants .

such as .turning into triangle .extracting publicly owned multiplier and so on .At the same time .it points out the service conditions of these kinds of methods .

Key words: determination . triangulaire determination . vandermonde

determination

7

 

第二篇：行列式的计算方法毕业论文[3]

行列式的计算方法

摘要 行列式最早是由解线性方程而引进的，时至

今日，行列式已不止如此，在许多方面都有广泛

的应用。本文，我们学习行列式的定义、性质，

化为“三角形”行列式，利用行列式的性质，使

行列式化简或化为“三角形”行列式计算。利用

拉普拉斯展开定理，按某一行(列)或某几行(列)

展开，使行列式降级，利用范德蒙行列式的计算

公式，利用递推关系等，在计算行列式中最常用

的是利用行列式的性质，和按某行(列)展开行列

式，而某些方法是针对于某些特殊类型的行列代

而言，对一般的n级行列式的计算，往往要利用行

列式的性质和拉普拉斯展开定理，导出一个递推

公式，化为2级或3级行列式，以及化为“三角

形”行列式来计算。

关键词 计算方法 线性方程组 行列式

引 言

解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学代数中，解方程占有重要地位。因此这个问题是读者所熟悉的。譬如说，如果我们知道了一段导线的电阴r，它的两端的电位差v，那么通过这段导线的电流强度i，就可以由关系式ir?v，求出来。这就是通常所谓解一元一次方程的问题。在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至 1

四元一次方程组。而n元一次方程组，即线性方程组的理论，在数学中是基本的也是重要的内容。

在中学代数课中学过，对于二元线性方程组：

?a11x1?a12x2?b1 ??a21x1?a22x2?b2

b1a12

a11

a21a12a22当二级行列式?0时，该方程组有唯一解，即x1?b2a22，a11a12

a21a22

a11b1

a21b2x2?，对于三元线性方程组有相仿的结论。为了把此结果推a11a12

a21a22

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2nn2广到n元线性方程组?211222的情形。我们首先要掌?????an1x1?an2x2??annxn?bn

握n级行列式的相关知识。

a11

a［定义］ n级行列式21

?

an1a12a22?an2?a1n?a2n等于取自不同行不同列的n???ann

个元素的乘积a1j1a2j2?anjn的代数和，这里j1j2?jn是1,2?n的一个排列，每一项a1j1a2j2?anjn安下列规则带有符号，当j1j2?jn是偶排列时，则该

项带正号，当j1j2?jn是奇排列时，则该项带负号。这一定义可以写

成

a11

a21

?

an1a12a22??a1n?a2n??(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn ??(j1j2?jn)an2?ann

2

这里

j1j2?jn

?

表示对所有n级排列求和。

一 基本理论

（一）n级行列式的性质： 性质1：行列互换，行列式不变。

a11

a12a22?

?a1n?a2n?

?

?a11a12?a1n

a21a22?a2n

?an1?an2?

??ann

a21?an1

即：

an2?ann

性质2：一个数乘以行列式的某一行，等于该这个数乘以此行列

a11?式kai1

?

an1

a12

?

a1n

a11

a12?ai2

?a1n

???kai2?kain?kai1????an2

?ann

an1

??

?ain ???

an2?ann

性质3：如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这个行列式除这一行外全与原来行列式的对应的行一样。

a11

a12

?

a1n

??????

b1?c1b2?c2?bn?cn?b1b2

??????

an1an2

aa?a

n1

n2

nn

ana12?a1na11a12?a1n??

?cn???ann

?????bn?c1c2?????annan1an2

性质4：如果行列式中有两行相同，那么行列式为为零。所谓两行相同就是说两行的对应元素相等。

性质5：如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。

3

a11?ai1?kai1?a11

a12?ai2?kai2?an2

?

a1na11a12?ai2?ai2?

?a1n????

?ain

??0 ain

??ai1?ain

???k??kainai1??

?ann

?a11

??

an2?ann

性质6：把一行的倍数加到另一行，行列式不变。 性质7：对换行列式中两行的位置，行列式反号。 （二） 基本理论

?D,i?j

1．ai1Aj1?ai2Aj2??ainAjn??其中Aij为元素aij代数余式。

0,0?AB

2．降阶定理?AD?CA?1B

CD

3．

AB

?AC OC

4．AB?AB

5．非零矩阵k左乘行列式的某一行加到另一行上，则新的分块行列式与原来相等。

（三）几种特殊行列式的结果 1． 三角行列式

a110?0a11a21?an1

a12a22?00a22?

?a1n

?a2n

?a11a22?ann(上三角行列式)

???ann???

?a11a22?ann(下三角行列式) ?

an2?ann

4

2． 对角行列式

a110?0

0a22?0

???

?a11a22?ann ?

?ann

3．对称与反对称行列式

a11

D?

a21?an1

a12a22?

?a1n?a2n?

?

满足aij?aji(i?1,2?n,j?1,2?n)，D称为对称

an2?ann

行列式

0a21

D?a31

?an1

a120a32?an2

a13

?a1n

a23?a2n

0?a3n满足aij??aji(i,j?1,2?n)，D称为反???an3?

对称行列式。若阶数n为奇数时，则D=0

1

a1

4．Dn?a12

?a1n?1

1a22a2?

n?1a2

1a32a3?

????

1

an2

??(ai?aj) an?

1?j?i?n

n?1n?1

a3?an

二 行列式的计算

（一）定义法

0a21

例：计算行列式D?a31

00

a12a22a32a42a52

a13a23a33a43a53

0a24a3400

j1?jn

0a25a35 00

1

2

n

解：由行列式定义知D??(?1)?(j,j,?,j)a1j1a2j2?anjn，且

5

a11a14a15?0， 所以D的非零项j，只能取2或3，同理由a41?a44?a45?a14?a55?0，因而j4j5只能取2或3，又因j1?j5要求各不

相同，故aj1aj2?a5j项中至少有一个必须取零，所以D=0。

（二）化成三角形行列式法

将行列式化为上三角形行列式计算步骤，如果第一行第一个元素为零，首先将第一行(或第一列)与其它任一行(或列)交换，使第一行第一个元素不为零，然后把第一行分别乘以适当数加到其它各行，使第一列除第一个元素外其余元素全为零，再用同样的方法处理除去第一行加第一列余下的低阶行列式依次做下去，直至是它或为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。 abb?b

bab?b

例：计算行列式Dn?bba?b

????

bbb?a

解：各行加到第一行中去

a?(n?1)ba?(n?1)b?a?(n?1)b111?

ab?

Da?bb

n?b

??????a?(n?1)b?bba?

bb?a???

bbb?

100?0

ba?b0?0

??a?(n?1)bb0a?b?0??a?(n?1)b?(a?b)n?1

????

b00?a?b

例：计算行列式

6 1bba?

12D?3

234

345

?n?1??

n1

n12

?????n12?n?2n?1

解：从倒数第二行(-1)倍加到第n行

n(n?1)123?n?1n23?n?1n2111?11?n011?11?n

111?1?n1011?11???????????11?n1?1101?n1?11

11

1n(n?1)1

?

??2

?n1

1

?n(n?1)2

?n

?(?1)

n(n?1)2

11?1?n

?1?n?1nn(n?1)00?n

第一行的（?1??0?0?2?1?n00n

1

??1

n1

?n0n(n?1)

?(?1)n?1?

?2

n

n?1

(1?n)n2

（三）递推法

??

10?0

?????

1?0

0?0000

例：计算行列式Dn?

???0????0

?0

????1???

解：按第一行展开得：Dn?(???)Dn?1???Dn?2

Dn??Dn?1??(Dn?1?aDn?2) ?(1)

按递推关系Dn??Dn?1??n?2(D2?D1)

D1???? D2??2?????2 ?(2)

7

由(1)式又可推导出：

Dn??Dn?1??(Dn?1??Dn?2)，按逆推关系得

Dn??Dn?1??n ?(3)

由(2)(3)解得?n?1D??n?1

n????

an

?

bn

?

?

例：计算Da1b12n?

c

1

d1

??

cn

dn解：计算

an

?

bn

?

?

Da1b12n?

c

1

d1

??

cn

dn

an?1????bn?1

0?

?

?a1

b1??an

c1

d1

???

?cn?1dn?100

0dn

0?(?1)

2n?1

cn

8

?an?1

cn?1

??a1b1c1

d1

?bn?1

dn?1

bn?????

?0

??

???

??

?

?andnD2(n?1)?cnbnD2(n?1)?(andn?cnbn)D2(n?1)

D2?a1d1?cb1

(aidi?cibi) 由遂推公式得D2n?1??i?n

例：n阶范德蒙 (Vandermonde)行列就是采用遂推来求解。它利1a1用初等变换把Dn?a12

?a1n?11a22a2?n?1a2?1?an2转化为递推关系式： ?an??n?1?an

1?i?j?nDn?(a2?a1)(a3?a1)?(an?a1)Dn?1从而得出Dn??(aj?ai)。

（四）降阶法：将行列式的展开定理与行列式性质结合使用，即先利用性质将行列式的某一行(或某一列)化成仅含一个非零元素，然后按此行(列)展开，化成低一阶的行列式，如此继续下云去，直到化为三阶或二阶行列式直接计算出结果。

11

ab

a2b2

a4b41cc2c41d?(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a?b?c?d) 2dd4

左边

10

ab?a?2ab2?a2

a4b4?a40c?ac2?a2c4?a40b?ac?ad?ad?a?b2?a2c2?a2d2?a222d?a(b2?a2)(b2?a2)(c2?a2)(c2?a2)(d2?a2)(d2?a2)44d?a

1

?(b?a)(c?a)(d?a)11b?ac?aa?d

(b2?a2)(a?b)(c2?a2)(c?a)(a2?d2)(d?a)

?(b?a)(c?a)(d?a)(d?b)11

(c2?bc?b2)?a(c?b)(a2?bd?b2)?a(b?d)

9

?(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(c?d)(a?b?c?d)

例：计算行列式

a?aDa1?a02

1?an

?an?2?a1

2?ana???

，其中n?2，?i?1ai?0

n?a1

a?n?a2

?0

解：

???2a1????a1?a1a1?a2

?a1?an?D?2a2a??a?2?ann??????2a1a2?a2??????????

??2a??

n??an?a1an?a2

?aa?

n?n?

??2a???1

??2a2

???a11?

a?????21??10??1?1????01????a1a1?a1?

2?n??

?2a???

n??an1???

?2a1

?2a2

?

????1

Dn??1??

2a1

?

?2a?2

???a1n?

?2a10

?10???1

?01???????a1

?a?n???01

??

??????

?2a??ann??

1?n?1n?1

?(?2)n?2

2?ak

nk?1i?1

ai

?(?2)n?2?a?1i?(n?2)2??aj?a? ?12?naj1?nj?12

i?1

??j,k?1k

??（五）升阶法：此法多采用的形式为加边法。

例：计算行列式In?2uu?，其中In是单位阵，u?(u1?un)?为n维实列向量，且u?u?1

解：将行列式In?2uu?升为(n+1)阶行列式。

10

?

?????

11

1

In?2uu??0

12u11?2u12?2u2u1??2unu12u12u2?2un?2u1u2??2u1un21?2u2??2u2un ????2unu1?1?2un22u2?un??2ui2n2u12u2?2unu11i?1

?u21?01

01

??

un1??

n

?1?2?u2n

??1 (由

?1?u2ii?1) ii?1

（六）分解之和法 ax?byay?bzaz?bxxyz

例：ay?bzaz?bxax?by?(a3?b3)yzx az?bxax?byay?bzzxy

xay?bzaz?bxyay?bzaz?bx

解：左边按第一列分开ayaz?bxax?by?bzbx?azax?by

zax?byay?bzxax?byay?bz

xay?bzzyzaz?bx

分别再分a2yaz?bxx?0?0?b2zxax?by

zax?byyxyay?bz

xyzyzxxyzxyz?a3yzx?b3zxy?a3yzx?b3yzx(?1)2=右边

zxyxyzzxyzxy

11 1

1a

21

3a

?n?1n

?n?2n?1

?1a

? 21

例：Dn????

aa

aa

aa

??

解：第2行乘(-1)加到第1行，第3行乘(-1)加到2行，依次??

n行乘(-1)加(n?1)行

?a0?0a

11?a?0a

11

??

11?

11? 11

??0a

?1?a?

a

最后一行拆成2行

1?a0Dn??

00

11?a?00

11

??

11?

11

?a0

11?a?0a

11

??

11?

11 1a

??00

???11?a

0a

??0a

?1?a?

?1?a?

a

D?(1?a)n?(?1)n?1an?(?1)n(a?1)n?an

xa?ax

例：计算行列式

???a?a?a?a

???x

解：将左上角的x改写成(x?a)?a，于是Dn可以写成两个行列式的和

12

x?aDn?

00ax?a

aax

???

aaaaax

???

a

a

a?(x?a)Dn?1?a(x?a)n?1

a?axa??a?a

??????????0

?a?a?x?a?a?a?x

因Dn关于a与?a是对称的，所以又有Dn?(x?a)Dn?1?a(x?a)n?1

由此两式即可得D1n?2

[(x?a)n?(x?a)n]

(x2

1?a1)a1a2a1a3?a1ana2a1

(x2

2?a2)a2a3?a2an例：计算行列式

aa23a13a2(x3?a3)?

a3an

????

?

ana1

ana2

ana3

?(xn?an)2

解：将Dn表成两个行列式之和

(x2

1?a1)a2

1a2?0(x1?a1)a1a2?Da2a1

(x22?a2)?0

a2a1

(x22?a2)?n?

????

?

???ana1

ana2

?xn(xn?2an)

ana1

ana2

? 在第二个行列式中，于第n行和第n列都提出公因子an，再用?ai乘第n行加到第i行上去，易得

a22

D1a2

2?x1x2(x1?2a1)(x2?2a2)[1?x)?x]

1(x1?2a12(x2?2a2)得Dn

a2

inn?(1??2)?(x2i?2a1xixi)

i?i?2aixii?1

?ax1y1?ax1y2

??ax例：计算行列式：D?axax1yn??n?2y11?ax2y2

2yn?ax?y??n1?axny21?ax? ?nyn

?ax1y1?ax1y2

??ax解： Dax1?ax1ynn??2y12y2

??ax2yn?ax??ny1?axny? 2

1?ax??nyn

13

a1ana2an

?anan

1

分开共有2n?

1?

?ax1y1?ax2y1

??axny1

?ax1y2

1?ax2y2?

?????

?axnyn11

1

1???

1?

?ax1y2?ax2y2

??ax1yn

?1?ax1y1?ax2y2??axnyn?1?a??

其中???(x1,x2?xn),??(y1,y2,?yn) 例：计算行列式：

x1?m

x1

Dn?x1

?x1

x2x2?mx2?x2

?xn?xn?xn ???xn?m

解：

x1?mDn?

x1?0?x1?0

x2?0?x2?m???

xn?0

?m

?

x1

?

xn?00

???

x2?0?xn?m0?m0???

?

?xn

?m???0

x?m?00

?1 ?????

0??m??mx1

nx?m?xn?nn?1n?1n??(?m)?(?m)x1???(?m)xn?(?m)?1??i?

????i?1m?

?xn

（七）分解之积法：

(a0?b0)n(a1?b0)n?(an?b0)n

(a0?b1)n(a1?b1)n?(an?b1)n

?(a0?bn)n?(a1?bn)n???(an?bn)n

计算行列式：

解：

14

D?

11

c1na0c1na1

?1c1nan

22n

cna0?a0b0n22cna1?a1nb0n?1????222cnan?an1

b1n

?

n

bn

n?1

b1n?1?bn2n

?c1c?cnnn?(ai?aj)(bj?bi)

???0?j?i?n

1?1

例：计算行列式：

cos2?cos(???)cos(??r)cos(???)

cos(???)cos2?cos(??r)cos(???)

D?

cos(r??)cos(r??)cos2rcos(r??)cos(??r)cos(???)cos(??r)cos2?cos?

cos?

证明：D?

cosrcos?

sin?sin?sinrsin?

2

00000cos?0?sin?0000cos??sin?00cosrcos??sinr?sin?

?0

0000

b2?c2

例：证明：ab

ac

aba?c2

bcac

bc?4a2b2c2 a2?b2

bc0ba00ab0cb

bc00ab

2

证明：D?a0cc0a?a0c?(?2abc)2?4a2b2c2 （八）换元法

a1x

例：计算行列式n?xa2

?xx

?x?x ???an

?0?0中每个元素加上x所得，???an?x

a1?x0

a2?x解：把n视为Dn?0??00

因此

n

n

n

n

n?Dn?x??Aij??(ai?x)?x?

i?1j?1

i?1

j?1

?(a?x)

i

i?1

n

aj?x

1n1

?x?(ai?x)(??)

xj?1aj?xi?1

n

15

（九）数学归纳法 x

0?1x0?1

?

0??0000??1

x?a1?xn?axn?1???an?1x?an 例：??0an0???xan?1an?2?a2

证明：当n?2时，D2?x

a2?1x?a1?x2?a1x?a2命题成立。

假设对于(n?1)阶行列式命题成立，即Dn?1?xn?1?a1xn?2???an?2x?an?1

则Dn按第1列展开：

?1

Dn?xDn?1?an(?1)n?10?0000?xDn?1?an?右边 x

?

1?1?????1?x?所以对于n阶行列式命题成立。

例：计算行列式

21

121

?n?121

?

1

12

解：?1?2, ?2?4?1?3 ?3?8?2?2?4

∴猜想：?n?n?1

证明：(1)当n?1时验证成立

(2)假设n≤k时成立，即有?K?K?1

16

当n?k?1时，有

2

1

012100?01?0?2?n?1?(?1)?n?2?2(k?1)?1?(k)?2k?2?k?k?2?(k?1)?12?0012k?1

?k?1?2?k??k?1

∴当n?k?1时成立 ∴猜想成立

（十）线性因子法

x计算行列式(1)y

zx0zyyz0xz?x111y11?x11 (2) x111?z101111?z

解：(1)由各列加于第一列可见，行列式D可被x?y?z整除。由第二列加到第一列，并减去第三、四列可见，D可被y?z?x整除，由第三列加于第一列，并减去第二、四列可见，D被x?y?z整除。最后由第四列加于第一列，并减去第二、三列可见，D可被x?y?z整除。我们把x,y,z视为独立未知量，于是上述四个线性因子式是两两互素的，因此，D可被它们的乘积(x?y?z)(y?z?x)(x?y?z)(x?y?z)整除。

此乘积中含有一项：?z，而D中含有一项：(?1)c4z4?z4 42所以D??(x?y?z)(y?z?x)(x?y?z)(x?y?z)

?x4?y4?z4?2x2y2?2x2z2?2y2z2

(2)将行列式D的前两行和两列分别对换，得

?x111

11?x11 D?111?z1

1111?z

17

如果以?x代替x，又得原来形式的行列式。因此，如果D含有因式x，必含有因式?x，由于当x?0时，D有两列相同，故D确有因式x，从而D含有因式x2。同理D又含有因式z2，而D的展开式中有一项：x2z2，从而D?x2z2 111?x计算行列式：Dn???

11?1?1 ???(n?1)?x

解：由n阶行列式定义知，Dn的展开式是关于x的首项系数为(?1)n?1的(n?1)次多项式Dn(x),当x?k(k?0,1,2?n?2)时，Dn(k)?0,因此Dn(x)有n?1个互异根0，1、2?n?2由因式定理得?(x?k)|Dn(x)

k?0n?2

n?2

故 Dn?(?1)n?1?(x?k)

k?0

（十一）辅助行列式法

f1(a1)?f1(an)

计算行列式 Dn?? ??

fn(a1)?fn(an)

其中fi(x)(i?1,??n)为次数≤n?2的数域F上多项式a1?an为F中任意n个数。

解：若a1?an中有两个数相等，则Dn?0

若a1?an互异，则每个n阶行列式

f1(?2)?f1(an)

是f1(x),f2(x)?fn(x)的线性G(x)?????

fn(x)fn(a2)?fn(an)f1(x)

组合，据题fi(x)的次数≤n?2(i?1?n)因而G(x)的次数≤n?2,但 18

G(a2)???G(an)?0,

这说明G(x)至少有(n?1)个不同的根，故G(x)?0,所以G(a1)?0即Dn(x)?0

（十二）应用范得蒙行列式进行计算 x1

x1?1

x1

?

x1n?1xnx2?x2?1xn?1x2?xn2x2例：x21???2xn ?n?1x2?n?1xn

解：第i列提出公因子

1

x1?1xiD??x1(x1?1)

i?1xi?1?nxi(i?1,2,?,n)得 xi?11????1xn?1xn(xn?1)

?x2?1x2(x2?1)

?

n?2n?2x1n?2(x1?1)x2(x2?1)?xn(xn?1)

再将第1行加于第2行，将新的第2行加于第3行?，将新的第n?1行加于第n行，得D??i?1nxi?(xi?xj) xi?11?j?i?n

?

?b1n

nb2例：a1nna2

?

nan?1a1n?1b1n?1a2b2?n?1an?1bna1n?2b12n?22a2b2???n?22nan?bn?1bn?1?1

解，第i行提出公因子ain(i?1,2,?,n?1)得

b1

a1b2n?1n1D??aia2i?1?bn?11an?11b(1)na1bn?1bibj?(2)nn?a(?)??(biaj?aibj)??ia2aji?11?j?i?n?1ai1?j?i?n?1??b?(n?1)nan?1?

19

例：Dn?1??1n?1n1??1?1

?

1??n?1n

1??n?11??1n?1n?1??1?n?nn1??n?n?1??n?n? 1??1n?1n(1??1?1)(1??1?1????1?1解：?1??1?11??1?11??1n?1n

1??1?1D??nn1??n?1

1??n?1n?1n?1)?1??1?1???a1n?1?1n?1 1??1n?nn?n?1n?1n?1n?1?????????1????????n11111n11??1?n??????nn1??n?nn?1n?1n?1n?11??n?1??n?n1??n?n????n?n?1??n?n

1

?1?1?12??1n?112?2?2??2n?1?1??2?n?n?2?1???n?1n?1??n?1?2n?1?1??2??(?i??j)?(?i??j) ??1?j?i?n1?j?i?nn?1??n

?

1?j?i?n?(?i??j)(?i??j)

例：计算行列式

an(a?1)n?(a?n)nan?1(a?1)n?1?(a?n)n?1Dn?? ???

a

1a?11?1a?n1解：最后一行依次与前n行调换位置经过n次,再将第n行依次与前(n?1)行调换位置共(n?1)次共经过

1a1a?1??n(n?1)次变换。 2n(n?1)????原式?(?1)2 n?1n?1n?1a(a?1)?(a?n)an(a?1)n?(a?n)n1a?n

20

n(n?1)n(n?1)n(n?1)

?(?1)

2

0?j?i?n

?(j?i)?(?1)

2

(?1)

2

0?j?i?n

?(i?j)

?

?(i?j)

0?j?i?n

?n(n?1)2(n?2)3?2n?1?1n

（十三）n阶循环行列式算法

a

c

例：计算行列式Dn?c

bac

bba

???

b

b

b其中abc?0.b?c

????ccc?a

解：设f(x)?a?b(x?x2???xn?1)且令xn??0的n个根为

xi(i?1?n),则Dn??f(xi)

i?1n

cb

cc

?x

xn?xb?b由f(x)?a?b()?a?b[]有 x?1x?1x?1

xn?

c?xi

(a?b)xi?(c?a)? f(xi)?a?b xi?1xi?1

利用关系式?xi??xixj????xi1xi2?xi,n?1?0 x1x2?xn?(?1)n?1

n

c

b

得Dn??

i?1

(a?b)xi?(c?a)

?

xi?1

?[(a?b)x?(c?a)]

i

i?1

n

?(x?1)

i

i?1

n

c

(?1)n?1(a?b)n?(c?a)n

c(a?b)n?b(a?c)n ??

c?bn?1n

(?1)?(?1)

b

例:设fij(x),(i,j?1,2,?,n)都是x的可微函数

21

f11(x)df21(x)

证明：

dx?

fn1(x)f12(x)?f22(x)?

??

fn2(x)?

f1n(x)f2n(x)?fnn(x)

??

i?1

n

f11(x)?d

fi1(x)dx?fn1(x)

???

d

fin(x) dx???fnn(x)

f1n(x)

?

证明：

f11(x)df21(x)dx?

fn1(x)

f12(x)?f22(x)???fn2(x)?

f1n(x)f2n(x)?fnn(x)

d

[?(?1)?(j1j2?jn)f1j1(x)f2j2(x)?fnjn(x)] dxj1?jn

?

?

j1j2?jn

?(?1)?(jj?j)

12

n

d

[f1j1(x)f2j2(x)?fnjn(x)]dx

?

j1j2?jn

?

(?1)?(j1j2?jn)[

dd

f1j1(x)f2j2(x)?fnjn(x)???(f1j1(x)f2j2(x)?fn?1jn?1(x)(fnjn(x))]dxdx

?

j1j2?jn

?

(?1)?(j1j2?jn)(

d

f1j1(x)f2j2(x)?fnjn(x)???dx

j1j2?jn

?(?1)?(j1j2?jn)f1j1(x)?fn?1jn?1(x)

d

fnjn(x))dx

d

f11(x)dxf21(x)?fn1(x)

dd

f11(x)f12(x)?f1n(x)

dxdxd

f2n(x)f22(x)?f(x)

?dx21

???

?

fn2(x)?fnn(x)

fn1(x)

ddf22(x)?f2nn(x)

??? dxdx

?

??fn2(x)?fnn(x)f12(x)

?

f1n(x)

?

f11(x)

f21(x)?fn?1,1(x)d

fn1(x)dx?f1n(x)f11(x)??nf2n(x)

d??fin(x)??fn?1,2(x)?fn?1,n(x)dxi?1?dd

fn2(x)?fnn(x)

fn1(x)dxdx

f12(x)

f22(x)

f1n(x)?

ddfi2(x)?fin(x) dxdx???fn2(x)?fnn(x)

?

?

f12(x)?

（十四）有关矩阵的行列式计算

22

例：设A与B为同阶方阵： 证明：

证明：AB?A?B?A?B BAABA?BB?AA?B??BABAB0?A?BA?B A?B例：设A为n阶可逆方阵，?、?为两个n维列向量，则A?????(1???A?1a)A 证明：A?A

???1??

(01???A?1??A(1???A?1?) n?1)(n?1)

例：若n阶方阵A与B且第j列不同。 证明：21?nA?B?A?B a1?b

证明：A?B?2*a1

2?b2

?2*

an?bn

ab

?2*a1

2

?2*?2*b1

2

?2*

anbn

a1b1

?2n?1a2*?2n?1*b2*

anbn

?2n?1(A?B) ∴21?nA?B??B

(十五)用构造法解行列式 例：设f(x)?(a1?x)(a2?x)(a3?x),a?b

23

a1b

ab

aa?a3

证明：D?ba2

a?f(b)?bf(a)

a?b

证明：构造出多项式：

a1?x

D(x)?b?x

b?x

a1?bb

a?x

a?x

a1?x

a?a1

a?a1

a2?xa?x?b?xb?xa3?xb?x

a?a1

a?a1

a2?ba?b

0a3?ba?a1

a?a1

a2?ba?b?xa2?ba?b

0a3?b0a3?ba1?bb

aa2b

a

a?a1

a?a3

a?xa2?ba?b a30a3?b

?D(x)?D?xD1

?a1?(?a)00

?

a2?(?a)0?(a1?a)(a2?a)(a3?a)?D?aD1?f(a)?当x??a,D(?a)?b?a

?b?ab?aa3?a??

a1?ba?ba?b?

?当x??b,D(?b)?0a2?ba?b?(?1?b)(a2?b)(a3?b)?D?bD1?f(b)?

00a3?b??

?D?

af(b)?b?(a)

a?b

（十六）用加边法计算行列式

abba

计算行列式

?bb

?b?b

???a

1

b

解：将原行列式加边如下：D?b

0ab

0ba

???

bb

????bbb?a

24

各列减去第一列，并提出第一行上去，得

1

。再在所得的行列式中各行都加到a?b

a?(n?1)b0

ba?b1

D?

??a?b

b0?0

?0

?(a?b)n?1[a?(n?1)b]

???a?b

例：计算行例式：

26

Dn?

?????

nn?1

n?nn?n?n3?nn2?n

2n?22n?1?2?23?23n?33n?1?3?33?3

解

2?22?2?2?22n

02?2nn?13

63?33?3?3?3n

3?3D???

?????

??nn?132

n?nn?n?n?nn?nn

0n?n

12?3

1

?

1

1

1

n

n?1

3

：

1

1

?

1

1

?23?222?2?33?332?3 ???

3

?n?3n2?n1

?

1

2n

2222?2(n?1)(n?2)2

3?(?1)2332?3n

?????????nnn?n3n3nn2?nn

2n?23

3n?33

1

?(?1)

(n?1)(n?2)

2

1?1110?00

12n!3?1n

?2n?2?3n?2???nn?2(n?2)(n?1)2n?112?1

n?123?(?1)n!3?1

??

nn?11n?1?2n?2?12n?1?1

?3n?2?13n?1?1????nn?2?1nn?1?12

(n?1)(n?2)

32

?(?1)(n?1)!n!

?1n

22?2n?2

(n?1)(n?2)

32?3n?2

?(?1)2(n?1)!n!?(j?i)

???2?i?j?n?22n?2n?n

?(?1)

(n?1)(n?2)

2

1!2!?n!

25

(十七)利用拉普拉斯展开：

x

证明：n级行列式D??

0an

?1x?0an?1

0?1?0

?

00??1a1?x

?0???

x

an?2?a2

证明：利用拉普拉斯展开定理，按第n行展开有：

?1x00

0?100x00000?1x??

00

000?1?

00

00

x000

0?100

0000

??

00

000?0

?

00

00

?1?

Dn?(?1)n?1an???????(?1)n?2an?1????????

??1?0x

??1?x0

xx?1

?1?

(?1)n?(n?2)a2??????(?1)n?(n?1)(a1?x)?????

000?x0000?x?0

?

?0

?

x

?(?1)n?1an(?1)n?1?(?1)n?2an?1(?1)n?2x???(?1)n?(n?2)a2(?1)xn?2?(?1)n?(n?1)(a1?x)xn?1?an?an?1x?an?2x2???a2xn?2?a1xn?1?xn

以上等式右端的n?1级行列式均为“三角形行列式”。

以上主要罗列了行列式的计算方法，大家要学会仔细观察行列式，灵活运用各种方法计算行列式，选择最佳计算方法。

三 用多种方法解题

下面用我们运用上面的介绍的各种方法，选用多种方法解题。

x

a

a

?

a

axa?a

例1、计算：dn?aax?a

????aaa?x

26

法1：将第2,3,?，n行都加到第1行上去，得

x?(n?1)adn?

aa?a

x?(n?1)a?x?(n?1)a

xa?a

????

aa?x

1

a

?[x?(n?1)a]a

1xa

???

1aa

????aa?x

再将第一行通乘?a，然后分别加到第2,3,?,n行上，得

1

dn?[x?(n?1)a]0

1

?

100

?(x?a)n?1[x?(n?1)a]

x?a?0??0

???x?a

法2：将2,3,?,n行分别减去第1行得

x

a?xdn?a?x

?a?x

ax?a0?0

a

?

a00

0?x?a??0

???x?a

再将第2,3,?,n列都加到第1列上去，

x?(n?1)a

ax?a0?0

a

?

a00

?[x?(n?1)a](x?a)n?1

00?0

0?x?a??0

便有dn?

???x?a

法3：将dn添加一行及一列，构成(n?1)阶行列式

10dn?0

axa

aax

???

a

aa

????0aa?x

再将第2,3,?,n+1分别减去第1行，于是有

27

1aa?a00

?1x?a

令dn??10

??1

?0

0?x?a??0

???x?a

在x?a时，显然dn?0，在x?a时，

ax?a?111

0?

0nax?a00?0??1?

?(x?a)n

aa

?x?ax?a0?01?0ax?a10?0

???ax?a01?0

0?1

ax?a?0

n?1

?[x?(n?1)a](x?a)?0

????

1

dn?(x?a)n?1

则

法4：

(x?a)?adn?

0?a?0?a

0?a

?

0?a0?a?1a?x

1?x?a?

10

100?0x?a

(x?a)?a?

??0?a0

?

?(x?a)?a

令

?

x?a0

?0

x?a?00

?a

????0?x?a0

a?x?0

???0?x?a0

?a?x

将右式中第二个行列式的第2,3,?,n列全加到第1列上去，再利用Laplace展开，所以得dn?(x?a)n?na(x?a)n?1?[x?(n?1)a](x?a)n?1

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a1a2?an

10?0b1

nn?1

例2、求证01?0b2?(?1)?aibi

i?1

????

?

1

bn

证：若记A?(a1,a2,?,an)，B?(b1,b2?,bn)时，上述等式可简记为

Azn

?(?1)n?1AB B

证法一：把第2行乘以(?a1)，第3行乘以(?a2)，?，第n?1行乘以(?an)，全部加到第一行，再对第1行利用拉普拉斯定理展开，注意各项的符号应为(?1)1?n?1?1?(?1)n?1，得证。

证法二：对n用归纳法

当n?1时，

a10

0b1

?(?1)1?1a1b1，命题成立。

假设对于n时命题成立，那么，当左下角单位矩阵为n?1阶(即zn)时，对最后一行展开，

a1

Azn

a2?an?1

0?1

an

a1

a2?an?1

0?1

b1

?D1?D2?bn?1

010??(?1)2n?2bnB??

?

10?0

?(?1)2n?1?1?

???

00?0

其中D1?(?1)2n?2?1?nanbn?(?1)n?1anbn， 而按归纳法假设

D2?(?1)

2n?1

?(?1)

n?1?1

?ab

jj?1

n?1

j

?(?1)

n?1

?ab

jj?1

n?1

j

证毕。

证法三：利用分块矩阵的乘法

?A

??z?n

0??zn???B???0

?B??A

????1???zn

?AB?

? ?0?

29

两边取行列式，得A

zn0B?1?A

zn?AB0?(?1)n?1AB

0Azn?(?1)n?1AB

在演算一个问题时，需要仔细分析已给的条件，灵活运用已经知道的性质和已经掌握的技巧，不要死套公式，这样就能很快求出答案。

参考文献：

［1］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编.高等代数.北京:高等代数出版社。

［2］刘学生,谭欣,王丽燕主编，高等数学学习指导与解题训练.大连:大连理工大学出版社。

［3］考研笔记.

［4］杨尚验,材家寿.高等代数重要习题详解，安徽:安徽省数学学会.1982,3:35—40。

［5］石福庆,陈凯,钱辉镜.线性代数辅导.北京:1985。

The Calculate Method of Determinamt

Liu Yang

(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou

121000 China)

Abstract he ranks are earlast but solved the linear equation and introduced, even to this day. Determinant are already net only like this, there is extensive application in many aspects. 30

We study the definition of determinant, nature, turn” triangle” determinant, in this text. Utilize nature of the determinant to be a ranks petrochemical industry or turn “triangle” determinant to calculate, utilize Laplace’s expansion theorem, launch according to one delegation (arrange) or some several lines (arrange), it is the determinant, that is dernoted, utilize the calculation formula of the vandermoncle determinant, utilize and pass and push the relation to wait, the most frequently used one is to some determinants of special type, to general ‘n’ and calculation of the determinant, will often utilize nature of the determinant and Laplace’s expansion theorem, this text one recurrence formula every where, turn 2,3 determinant, turn “triangle” ranks is it calculate to come.

Keywords The determinant; Computing technology; Linear equation group.

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目 录

引言????????????????????????1

一 基本理论??????????????????????1

（一） n级行列式的性质????????????????1

（二） 基本理论????????????????????4 32

（三） 几种特殊结果??????????????????4

二 行列式的计算????????????????????5

（一） 定义法?????????????????????5

（二） 化成三角形行列式法???????????????5

（三） 递推法?????????????????????7

（四） 降阶法????????????????????9

（五） 升降法???????????????????10

（六） 分解之和法?????????????????11

（七） 分解之积法?????????????????14

（八） 换元法???????????????????15

（九） 数学归纳法?????????????????15

（十） 线性因子法?????????????????16 （十一） 辅助行列式法????????????????18 （十二） 应用范得蒙行列式法?????????????18 （十三） n阶循环行列式法??????????????20 （十四） 有关矩阵的行列式的计算???????????22 （十五） 用构造法解行列式??????????????23 （十六） 用加边法计算行列式?????????????24 （十七） 利用拉普拉斯展开??????????????25

三 用多种方法解题???????????????????26

参考文献??????????????????????29

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