排列组合 二项式定理

1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情） 分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法 2，排列

3，组合

组合定义 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

组合数 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合个数

C

mn

Cn=

m

n!

m!(n?m)!

性质

Cn=Cn

mn?m

Cn?1?

m

Cn?

m

C

?m1n

排列组合题型总结 一． 直接法

1 .特殊元素法

例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位

（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择

2A52A4=240

A52，其余

2位有四个可供选择

2

A4，由乘法原理：

2．特殊位置法

（2）当1在千位时余下三位有有

311

A5=60，1不在千位时，千位有A4种选法，个位有A4种，余下的

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排列组合知识点与方法归纳

一、   知识要点

1.   分类计数原理与分步计算原理

（1）     分类计算原理（加法原理）：

完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m₁种不同的方法，在第二类办法中有m₂种不同的方法，……，在第n类办法中有m_n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m₁+ m₂+…+ m_n种不同的方法。

（2）     分步计数原理（乘法原理）：

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m₁种不同的方法，做第2步有m₂种不同的方法，……，做第n步有m_n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m₁× m₂×…× m_n种不同的方法。

2.   排列

（1）     定义

从n个不同元素中取出m（ ）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为 .

（2）     排列数的公式与性质

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一．基本原理

1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

1.公式：1.    

2.

(1)   (2) ；

(3)

三．组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

 1. 公式：    

   

①；②；③；④

        

若

四．处理排列组合应用题    1.①明确要完成的是一件什么事（审题）  ②有序还是无序   ③分步还是分类。

2．解排列、组合题的基本策略

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排列组合与二项式定理

1分类计数原理完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）

2 分步计数原理完成一件事需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法

3排列　

   排列定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

  排列数定义；从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有排列的个数

公式 = 规定0！=1

4组合

  组合定义从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

  组合数 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合个数

= 

性质 =   

排列组合题型总结

一直接法

1 .特殊元素法与特殊位置法

例1  用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个

（1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。

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排列组合练习题

类型1、涂色问题

1、如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（     ）

A．84         B．72          C.64          D．56

2、[2014·北京模拟]如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有(　　)

A．72种B．96种C．108种D．120种

3、用五种不同的颜色，给右图中的（1）（2）（3）（4）的各部分涂色，每部分涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，（（2）（4）不相邻）则涂色的方法共有_______ 种。

类型2、必须相邻用（捆绑法）必须不相邻用（插空法）

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排列组合 二项式定理

1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）

分步计数原理  完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法

2，排列　

   排列定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

  排列数定义；从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有排列的个数

公式 = 规定0！=1

3，组合

  组合定义 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

  组合数 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合个数

= 

性质 =   

  排列组合题型总结

一．      直接法

1 .特殊元素法

例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个

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（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为Am

n.

An?n?n?1??n?2????n?m?1??mn!?m?n? n?m!

规定：0!?1

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cm

n.

n?n?1????n?m?1?Amn! C?n ??mm!m!n?m!Ammn

规定：C0

n?1

（4）组合数性质：

Cn?Cnmn?mm?101nn，Cm?Cm

n?Cnn?1，Cn?Cn????Cn?2

50. 解排列与组合问题的规律是：

例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?

2第一步，把甲乙排列(捆绑)： 有A2＝2种捆法

5第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队： 有A5＝120种排法

?共有2?120＝240种排法

例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？

5第1步，把除甲乙外的一般人排列： 有A5=120种排法

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三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是学习方法网为大家整理的三角函数公式大全：

锐角三角函数公式

sin α=∠α的对边 / 斜边

cos α=∠α的邻边 / 斜边

tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边

cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边

倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ）

三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)

三倍角公式推导

sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

辅助角公式

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

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