排列组合与二项式定理

1分类计数原理完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）

2 分步计数原理完成一件事需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法

3排列　

   排列定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

  排列数定义；从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有排列的个数

公式 = 规定0！=1

4组合

  组合定义从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

  组合数 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合个数

= 

性质 =   

排列组合题型总结

一直接法

1 .特殊元素法与特殊位置法

例1  用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个

（1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。

二 间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。

例2  有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？

三插空法  当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法

例3  在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？

 

四  捆绑法   当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法

例4．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有    种

练习．某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有              种

Eg  三个女生和五个男生排成一排

（1）   女生必须全排在一起 有多少种排法

（2）   女生必须全分开

（3）   两端不能排女生

（4）   两端不能全排女生

（5）   如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法

五．隔板法   名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法

例5.  某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共    种 。

六．平均分堆问题                                                  

例6.本不同的书按以下方式处理，各有几种分法？

(1)平均分成三堆(2)平均分给甲乙丙三人(3)一堆一本，一堆两本，一堆三本

(4)甲得一本，乙得两本，丙得三本(5)一人得一本，一人得两本，一人得三本

七．填涂问题

例7.某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图1），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有     种（以数字作答）．（120）

图1                    图2                图 3

练习．如图2，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数            

练习．将一四棱锥(图3)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共             种                                            

练习.在九宫格中填上4种颜色，相邻两格颜色不相同，且1,5,9颜色相同，问有多少种方法？

八、分配问题

例8.甲、乙、丙、丁、戊五名教师去大西北三个乡进行教学交流，要求没个乡至少去一名教师；

（1）问有多少种分配方法？

（2）若甲、乙不同乡，则有多少种分配方法？

（3）若甲、乙不同乡，且丙丁同乡，则有多少种分配方法？

（4）若甲、乙不同乡，且丙丁不同乡，则有多少种分配方法？

（5）若甲不去第一个乡，则有多少种分配方法？

九、贺卡问题

例9.某中学高三年级共有12个班级，在即将进行的月考中，拟安排12个班主任老师监考数学，每班1人，要求有且只有8个班级是自己的班主任老师监考，则不同的监考安排方案共有（ ）

A．4455种      B．495种    C．4950种     D．7425种

十、雨伞问题

例10.如图所示，将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色不同，把不同的染色方法种数记为.

(1) =         . (2) =         .

 

第二篇：(排列组合)

数学广角

——简单的排列组合

教学目标：

知识目标：让学生通过观察、猜测、实验等活动，找出最简单的排列数和组合数。 能力目标：培养学生初步的观察、分析能力。能够有顺序地、全面地思考问题。 情感目标：培养学生大胆猜想、积极思维的学习品质；进一步激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作交流意识。

教学重点：了解简单的排列组合知识，能应用排列组合的知识解决实际生活中的问题。

教学难点：怎样有规律地按一定的顺序进行排列组合以及对“例1”和“做一做”中握手次数的区别。

教学准备：多媒体课件。

教学过程：

一、创设情境，导入新课

师：同学们，今天我们将去数学王国参观一个有趣的地方，你们想去吗？ 看，这是哪儿呀？数学广角（板书课题）

数学广角里有哪些有趣的数学知识呢？让我们一起去看一看吧！

二、合作探究，学习新知

1 、感知“排列”

（1）两个数的排列

（出示主题图）乐乐先带我们来到了数字乐园，看那里有哪些好玩的游戏呢？ 生读题，理解题意，完成两个数的排列。

把 1 和 2 排在一起，能摆出几个两位数呢？

学生操作，汇报：摆出两个不同的数，是 12 和 21 。（师板书）

让我们一起来看看我们的答案对不对。（对了，我们顺利通过了）

（2）三个数的排列

师：“用1、2、3三个数呢？”表示什么意思呢？

看清题目的要求了吗？谁来说一说是什么意思，要用哪几个数，摆成的数必须是几位数？

师猜想：我想，两个数摆出了二个两位数，三个数一定能摆出三个两位数吧？

（生猜）

还是让我们来摆一摆吧！那就让我们同桌合作一下，一个人摆，一个人记好吗？比比哪个小组摆得最多，摆得既不重复也不遗漏。先请你们自己分配好各自的任务。开始吧。

教师巡视，参与学生活动。

师：谁愿意起来告诉我们你们摆了那几个两位数？

同桌两人汇报记录的结果，教师板书结果。

师：谁愿意起来告诉我们你们摆了那几个两位数？

生1：我们摆了13、32、21

生2：我们摆了13、12、23、31、32

生3：我们摆了13、31、23、32、12、21

（3）合作探究排列的方法

师：为什么有的摆的数多，而有的却摆的少呢？究竟谁是正确的呢？

谁能来说一说你是怎么摆的吗？有什么好办法能保证既不漏数、也不重复呢？ 生回答，教师帮助小结：

A每次拿其中的两个数字，先摆出一个数，然后用调换的方法得出另一个新数。 得到6个数。

B固定一个数字在十位（或个位），个位（或十位）则有 2 种方法。也能得出 6 个新数。

（4）巩固排列的方法

老师发现我们的小朋友真有办法，排数的时候能按一定的顺序来排，这样不会遗漏也不会重复了。你能用刚才学到的方法来完成小精灵给你的又一个任务吗？我们一起来看一看吧！

小精灵家的电话号码最后两位是用2、1、6组成的，猜一猜他家电话最后两位可能是多少呢？请你写一写。

生写，汇报，校对。

2、感知“组合”

刚才三位小朋友和我们一起玩了摆数字游戏，也能做到不遗漏、不重复，老

师觉得你们聪明极了，想和你们握手表示庆祝，两个人握一次手，我们三个人一共要握几次手呢？（学生活动）

小结：两个人握一次手，三人一共要握3次手。

三、全课总结

今天去了数学广角，你有哪些收获呢？

今天我们一起学习了如何排列数字和握手组合的问题，其实我们在生活中也有许多需要用排列与组合解决的知识，比如：电话号码，汽车牌照的的编排，体育中的足球，乒乓球比赛场次等等。只要我们掌握了一定的方法就能轻松的解决这些问题，生活中有这么多数学问题，只要小朋友细心观察，就能发现更多有趣的数学问题，你也一定会发现我们学的数学知识在我们生活中用处真大。

教学反思

《排列与组合》是人教版二年级上册第八单元“数学广角”的内容，是日常生活中应用比较广泛的数学知识，本节课的教学是利用学生已有的知识，借助一些生动有趣的活动让学生逐步建构新的知识。引导学生动手操作、自主探究、合作交流，让学生经历探索简单事物排列数与组合数的过程。在教学本课的过程中，我不仅能融合新课改的教育理念，关注、鼓励每一个学生，让学生在动手、动口、动脑的活动中，了解了简单的排列、组合的知识，并能及时发现学生的闪光点，适时评价鼓励，充分体现了评价的激励、导向和调控功能，培养了学生的自信心 本节课我运用了分组合作、共同探究、提炼加深的学习模式，让学生互相交流，互相沟通。通过给学生一个比较宽泛的问题，给学生自己动脑思考的空间，再通过小组交流，让所有的学生获得表现自我的机会，也可以实现信息在群体间的多向交流。使学生在探究中发现数学方法，提高数学应用能力。

总之，本节课尽量让学生在轻松愉快的活动中，自己寻找到排列与组合的方法。