如果你希望成功,以恒心为良友,以经验为参谋,以小心为兄弟,以希望为哨兵
排列组合方法总结(新导航用)
1、【特殊元素、特殊位置】优先法
在排列、组合问题中,如果某些元素或位置有特殊要求,则一般需要优先满足要求。 例:有0,1,2,3,4,5可以组成没有重复的五位奇数的个数为( )
解析:五位奇数的末尾必须是奇数,还有首位不能为0,都应该优先安排,以免不合要求的
11元素占了这两个位置,先安排末位共有C3;然后排首位共计有C4;最后排其他位置共计有
A4;由分步计数原理得C3C4A4?288.
3113
2、【相邻问题】捆绑法
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.
例:A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有( )
4
解析:把A,B视为一人,且B固定在A的右边,则本题相当于4人的全排列,A4?24种,
3、【相离问题】插空法
元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例:七人并排站成一行,如果甲乙两人必须不相邻,那么不同的排法种数有( ) 解析:除甲乙外,其余5个排列数为A5种,再用甲乙去插6个空位有A6种,不同的排法种
52
数是A5A6?3600种
5
2
4、【选排问题】先选后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定的位置上,可用先选后排法. 例:四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种? 解析:先取:四个球中选两个为一组(捆绑法),其余两个球各自为一组的方法有C4种,再排:
323
在四个盒中每次排3个有A4种,故共有C4A4?144种.
2
5、【相同元素分配问题】隔板法
将n个相同的元素分成m份(m,n均为正整数),每份至少一个元素,可以用 m-1块隔板插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为:Cn?1。
例:(1)10个三好生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?
m?1
解析:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案 故共有不同的分配方案为为C96?84种
(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为( )
平均分成的组,不管他们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要消除顺序(除以,避免重复计数。 An,n为均分的组数)
例:6本不同的书平均分成3组,每堆2本的分法数有( )种
解析:分三步取书得C62C44C22中分法,但是这里出现重复计数的现象。除去重复计数A33,即共有
C6C4C2
A
3
32
4
2
n
7、【有序分配问题】逐分法
有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组
例:将12名警察分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分
配方案有( )种
A、CCC B、3CCC C、CCA D、
4
12
48
44
412
48
44
412
48
33
C12C8C4
A
33
444
答案:A
8、【可重复的排列问题】求幂法(分步)
允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可逐一安排元素的位置,一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有m种方法. 例:把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?
解析:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有7种不同方案,第二步:将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有7种
6
n
9、【“至少”“至多”问题等用】排除法(也可用分类列举法)
例:从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙 型电视机各一台,
则不同的取法共有( )种
解析1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,
333
故不同的取法共有C9?C4?C5?70种,选.C
解析2:正向思考,至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况:甲型1台乙型2台;
112
甲型2台乙型1台;故不同的取法有C52C4?C5C4?70台,选C.
10、【多元问题】分类列举法
例:(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位
数字的共有( )
解析:按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有
A5,A4A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3个,合并总计300个,选B
5
1
1
3
1
1
3
1
1
3
1
3
(2)30030能被多少个不同偶数整除?
解析:先把30030分解成质因数的形式:30030=2×3×5×7×11×13;依题意偶因数2必取,
3,5,7,11,13这5个因数中任取若干个组成成积,所有的偶因数为:
C5?C5?C5?C5?C5?C5?32个.
1
2
3
4
5
排列组合方法总结
直接法
例1:用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个?
1)数字1不排在个位和千位
2)数字1不在个位,数字6不在千位 ① .特殊元素法
2
分析:(1)个位和千位有5个数字可供选择A52,其余2位有四个可供选择A4,由乘法原理:A52A42=240
②.特殊位置法
11分析(2)当1在千位时余下三位有A53=60,1不在千位时,千位有A4种选法,个位有A4种,余下的211有A4,共有A4A4A42=192所以总共有192+60=252
间接法
例2:有五张卡片,它的正反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?
332
分析:任取三张卡片可以组成不同的三位数C5个,其中0在百位的有C4?23?A3?22?A22个,这332是不合题意的。故共可组成不同的三位数C5-C4?23?A3?22?A22=432
尝试:三个女生和五个男生排成一排
1)女生必须全排在一起 有多少种排法( 捆绑法) 2)女生必须全分开 (插空法 须排的元素必须相邻) 3)两端不能排女生 4)两端不能全排女生
5)如果三个女生占前排,五个男生站后排,有多少种不同的排法
①插空法
例3:含有8个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目顺序,有多少中插入方法?
11
分析:原有的8个节目中含有9个空档,插入一个节目后,空档变为10个,故有A9=100 ?A10
②捆绑法
1.四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,若使每个盒子不空,则不同的放法有 种(C42A33) 2,某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一所学校人数较多,要安排连续参观2天,其余只参观一天,则植物园30天内不同的安排方法有
1119
分析: C29 连续参观2天,即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有C29其?A28
余的就是19所学校选28天进行排列
③阁板法 名额分配或相同物品的分配问题,适宜采阁板用法
例4 准备组建一个由12人组成篮球队,这12个人由8个班的学生组成,每班至少一人,名额分配方案共 种 。
分析:此例的实质是12个名额分配给8个班,每班至少一个名额,可在12个名额种的11个空当中
7
插入7块闸板,一种插法对应一种名额的分配方式,故有C11种.
④平均分推问题
例5: 6本不同的书按一下方式处理,各有几种分发? 1. 平均分成三堆
2. 平均分给甲乙丙三人
3. 一堆一本,一堆两本,一对三本
分析:1,分出三堆书(a1,a2),(a3,a4),(a5,a6)由顺序不同可以有A33=6种,而这6种分法只算一种
C62C42C22分堆方式,故6本不同的书平均分成三堆方式有=15种 3
A3
2. CCC
6
42
2
22
3.CCC
6
5
1233
⑤选点成行问题
讨论,有9个点其中有四个点共线,其余的都没有3点共线的情况。 1.从中选2点连成线段有几种 2.从中选3点形成三角形有几种 分析:1)必须间接法:C99-C42+1 2)间接法:C93-C43
如果你希望成功,以恒心为良友,以经验为参谋,以小心为兄弟,以希望为哨兵
排列组合方法总结(新导航用)
1、【特殊元素、特殊位置】优先法
在排列、组合问题中,如果某些元素或位置有特殊要求,则一般需要优先满足要求。 例:有0,1,2,3,4,5可以组成没有重复的五位奇数的个数为( )
解析:五位奇数的末尾必须是奇数,还有首位不能为0,都应该优先安排,以免不合要求的
11元素占了这两个位置,先安排末位共有C3;然后排首位共计有C4;最后排其他位置共计有
A4;由分步计数原理得C3C4A4?288.
3113
2、【相邻问题】捆绑法
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.
例:A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有( )
4
解析:把A,B视为一人,且B固定在A的右边,则本题相当于4人的全排列,A4?24种,
3、【相离问题】插空法
元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例:七人并排站成一行,如果甲乙两人必须不相邻,那么不同的排法种数有( ) 解析:除甲乙外,其余5个排列数为A5种,再用甲乙去插6个空位有A6种,不同的排法种
52
数是A5A6?3600种
5
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4、【选排问题】先选后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定的位置上,可用先选后排法. 例:四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种? 解析:先取:四个球中选两个为一组(捆绑法),其余两个球各自为一组的方法有C4种,再排:
323
在四个盒中每次排3个有A4种,故共有C4A4?144种.
2
5、【相同元素分配问题】隔板法
将n个相同的元素分成m份(m,n均为正整数),每份至少一个元素,可以用 m-1块隔板插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为:Cn?1。
例:(1)10个三好生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?
m?1
解析:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案 故共有不同的分配方案为为C96?84种
(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为( )
平均分成的组,不管他们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要消除顺序(除以,避免重复计数。 An,n为均分的组数)
例:6本不同的书平均分成3组,每堆2本的分法数有( )种
解析:分三步取书得C62C44C22中分法,但是这里出现重复计数的现象。除去重复计数A33,即共有
C6C4C2
A
3
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2
n
7、【有序分配问题】逐分法
有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组
例:将12名警察分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分
配方案有( )种
A、CCC B、3CCC C、CCA D、
4
12
48
44
412
48
44
412
48
33
C12C8C4
A
33
444
答案:A
8、【可重复的排列问题】求幂法(分步)
允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可逐一安排元素的位置,一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有m种方法. 例:把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?
解析:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有7种不同方案,第二步:将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有7种
6
n
9、【“至少”“至多”问题等用】排除法(也可用分类列举法)
例:从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙 型电视机各一台,
则不同的取法共有( )种
解析1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,
333
故不同的取法共有C9?C4?C5?70种,选.C
解析2:正向思考,至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况:甲型1台乙型2台;
112
甲型2台乙型1台;故不同的取法有C52C4?C5C4?70台,选C.
10、【多元问题】分类列举法
例:(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位
数字的共有( )
解析:按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有
A5,A4A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3个,合并总计300个,选B
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(2)30030能被多少个不同偶数整除?
解析:先把30030分解成质因数的形式:30030=2×3×5×7×11×13;依题意偶因数2必取,
3,5,7,11,13这5个因数中任取若干个组成成积,所有的偶因数为:
C5?C5?C5?C5?C5?C5?32个.
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如果你希望成功,以恒心为良友,以经验为参谋,以小心为兄弟,以希望为哨兵排列组合方法总结(新导航用)1、【特殊元素、特殊位置】优先法…
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1、课前预习,找出问题,听课时才能有重点的听。2、认真听讲:将老师将的精华抓住。课上一分钟,课下半天功。3、记笔记:基本概念不用记…