二十种排列组合问题的解法
排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排列组合问题,首先要认真审题,弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题;其次要抓住问题的本质特征,采用合理恰当的方法来处理.
教学目标
1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理.
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题.提高学生解决问题分析问题的能力
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.
复习巩固
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事,有类办法,在第1类办法中有种不同的方法,在第2类办法中有种不同的方法,…,在第类办法中有种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法.
2.分步计数原理(乘法原理)
完成一件事,需要分成个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,…,做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法.
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事.
分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件.
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类.
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.
4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位,从1,3,5三个数中任选一个共有排法;
然后排首位,从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有种排法;
最后排中间三个数,从剩余四个数中任选3个的排列数共有种排法;
∴由分步计数原理得
练习题:
7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的
种法?
解:先种两种不同的葵花在不受限限制的四个花盒中共有不同种法,再其它葵花有不同种法,所以
共有不同种法种不同的种法.
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排.由分步计数原理可得共有种不同的排法.
练习题:
某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20
解:命中的三枪捆绑成一枪,与命中的另一枪插入未命中的四枪的空位,共有种不的情形.
三.不相邻问题插空策略
例3.一晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种,第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有
练习题:
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原
节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是:
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有种方法.(七个空位坐了四人,剩下3个空位按一定顺序坐下甲,乙,丙)
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
(插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法.(先选三个座位坐下甲,乙,丙共有种选法,余下四个空位排其它四人共有种排法,所以共有种方法.)
练习题:
10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法?
五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法
练习题:
1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为 42
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法
六.环排问题直排策略
如果在圆周上个不同的位置编上不同的号码,那么从个不同的元素的中选取个不同的元素排在圆周上不同的位置,这种排列和直线排列是相同的;如果从个不同的元素的中选取个不同的元素排列在圆周上,位置没有编号,元素间的相对位置没有改变,不计顺逆方向,这种排列和直线排列是不同的,这就是环形排列的问题.一个个元素的环形排列,相当于一个有个顶点的多边形,沿相邻两个点的弧线剪断,再拉直就是形成一个直线排列,即一个个元素的环形排列对应着个直线排列,设从个元素中取出个元素组成的环形排列数为个,则对应的直线排列数为个,又因为从个元素中取出个元素的排成一排的排列数为个,所以,所以.
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