典型问题：六个球，投入四个盒子，有多少种不同方法。

（1）球不同，盒不同

（2）球不同，盒不同，每盒不空

（3）球不同，盒相同，每盒不空

（4）球相同，盒不同，每盒不空

（5）球相同，盒不同，每盒不空

（6）球相同，盒相同

（1）

（2）只有（3，1，1，1），（2，2，1，1）两种

∴

（3）

（4）

（5）分组（3，1，1，1），（2，2，1，1）

∴

（6）9

【本讲教育信息】

一.教学内容：

排列组合二

二.重点、难点：

1.组合数性质：

（1）

（2）

（3）

（4）

2.排列、组合精典问题：投球入盒

【典型例题】

[例1]求值：

（1）

 

 

（2）

  

又 ∵  ∴ 或

（3）

 ∴

∴  ∴

（4）

用17160依次除以13、12、11…… ∴

（5）

 

令∴

 ∴

（6）

解：或

或或（舍）

∴ {1，2，3}

[例2]证明：

（1）

左右

（2）

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排列组合题型总结

    排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。

一．直接法

1． 特殊元素法

例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个

（1）数字1不排在个位和千位

 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。

分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择，其余2位有四个可供选择，由乘法原理：=240

2．特殊位置法

（2）当1在千位时余下三位有=60，1不在千位时，千位有种选法，个位有种，余下的有，共有=192所以总共有192+60=252

二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法=252

例2  有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？

     分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数个，其中0在百位的有个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数-=432（个）

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排 列

组 合 常 用 解 题 方

法

姓名：****** 学号：******** 班级：**********

摘要：排列组合是中学数学教学中的难点,它因其内容抽象,解题方法独特且灵活多变,使学生学起来困难,教师教起来也困难。针对学生对排列组合问题难理解、难解答这一问题 ,这些方法解决较复杂的排列组合问题也许还不够全面,但对解决常见的排列组合问题使用起来比较方便,希望能够给读者一些参考和借鉴。

关键词：排列组合，解题方法，加法原理，乘法原理。 一、“捆绑”法

当遇到有元素必须相邻的条件时,可适用此法

例: 将4个学生和2个教师排成一排,若要两个教师必须相邻,则有多少种排法? 解: 因为两个教师必须排在一起,因此可把两人看作一个元素,将四个学生看作四个元素,共有五个元素作全排列。然后把两个教师对换位置,共有P5P2种排法。 52二、“插位”法

当遇到有元素不相邻问题时,可适用此法

例: A、B、C、D、E,5个字母排成一排,如果A、B不相邻,则不同的排列方法有多少种?

解: 可先将C、D、E,3个字母进行排列,有P3种排法,然后在3个字母的两个空位3及两端的两个位置中选取2个位置给A、B(有次序),也即A、B插在这4个位置

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1．（站队模型）4男3女站成一排：

①女生相邻；

②女生不相邻；

③女生从高到低排；

④甲不在排头，乙不在排尾；

解析：当甲在排尾时有；当甲不在排尾时有

2．（组数模型）由0到9这10个数字组成没有重复数字的四位数：

①奇数；末位有

②偶数；

解析：末位为0，有；末位不为0，有

③被5整除的数；

解析：末位为0，有；末位为5，有

④比3257大的数；

解析：首位为4到9时有；首位为3时　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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排列组合总结

一、解决方法

1、做什么

2、怎么做

（1）分类完成加法原理

①

2）分步完成乘法原理

例1．某单位拟安排6位员工在今年x月x日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有

（A）30种 （B）36种

（C）42种 （D）48种

解析：分两类

2 甲、乙同组，则只能排在15日，有C4=6种排法

112 甲、乙不同组，有C4C3(A2?1)=36种排法，故共有42种方法

例2．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是

（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144

解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法

22 ①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，3A3A2＝24个

22②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共3A2A2＝12个

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排列组合

一.特殊元素和特殊位置优先策略

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。

例1. 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置。先排末位共有___ 然后排首位共有___ 最后排其它位置共有___ 。 由分步计数原理得

练习1. 7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？

二.相邻元素捆绑策略

要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。 由分步计数原理可得共有

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排列组合 二项式定理

1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情） 分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法 2，排列

3，组合

组合定义 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

组合数 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合个数

C

mn

Cn=

m

n!

m!(n?m)!

性质

Cn=Cn

mn?m

Cn?1?

m

Cn?

m

C

?m1n

排列组合题型总结 一． 直接法

1 .特殊元素法

例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位

（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择

2A52A4=240

A52，其余

2位有四个可供选择

2

A4，由乘法原理：

2．特殊位置法

（2）当1在千位时余下三位有有

311

A5=60，1不在千位时，千位有A4种选法，个位有A4种，余下的

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二十种排列组合问题的解法

    排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理．

教学目标

1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理．

2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题．提高学生解决问题分析问题的能力

3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.

复习巩固

1.分类计数原理(加法原理)

完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．

2.分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．

3.分类计数原理分步计数原理区别

  分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事．

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．

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