排 列 组 合
【解题方法总结】
一、【特殊元素、特殊位置】优先法
在排列、组合问题中,如果某些元素或位置有特殊要求,则一般需要优先满足要求。
例:有0,1,2,3,4,5可以组成没有重复的五位奇数的个数为( )
A、240 B、256 C、264 D、288 E、320
解析:五位奇数的末尾必须是奇数,还有首位不能为0,都应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位
131131置,先安排末位共有C3;然后排首位共计有C4;最后排其他位置共计有A4;由分步计数原理得C3C4A4?288.
选D
二、【相邻问题】捆绑法
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.
例:A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有( )
A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 E、72种
4解析:把A,B视为一人,且B固定在A的右边,则本题相当于4人的全排列,A4?24种,答案:D.
三、【相离问题】插空法
元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例:七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是( )
A、1440种 B、3600种 C、4800种 D、4820种 E、4880种
5252解析:除甲乙外,其余5个排列数为A5种,再用甲乙去插6个空位有A6种,不同的排法种数是A5A6?3600
种,选B.
四、【选排问题】先选后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定的位置上,可用先选后排法.
例:四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?
2解析:先取:四个球中选两个为一组(捆绑法),其余两个球各自为一组的方法有C4种,再排:在四个盒中每次
3排3个有A4种,故共有C4A4?144种. 23
五、【相同元素分配问题】隔板法
将n个相同的元素分成m份(m,n均为正整数),每份至少一个元素,可以用 m-1块隔板插入n个元素排成
m?1一排的n-1个空隙中,所有分法数为:Cn?1。
例:(1)10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?
解析:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10
6个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为C9?84种.
(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为( )
A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 E、72种
53A5C4解析:一、用先选后排法:CA?240 二、用隔板法+消序法:?240 答案选B. 2A22544
六、【平均分组问题】消序法
n平均分成的组,不管他们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要消除顺序(除以An,n为均分的
组数),避免重复计数。
例:6本不同的书平均分成3组,每堆2本的分法数有( )种。
A、12 B、15 C、18 D、21 E、24
解析:分三步取书得CCC2
64422中分法,但是这里出现重复计数的现象。除去重复计数A3
3,即共有242C6C4C2。 3A3
七、【有序分配问题】逐分法
有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组.
例:将12名警察分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有( )种
4
124844 B、4
1248444124833 D、44C12C84C43444 E、ACC3128C4 3A3A、CCC3CCC C、CCA
答案:A.
八、【可重复的排列】求幂法(分步)
允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可逐一安排元素的位置,一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有m种方法.
n
例:把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?
解析:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有7种不同方案,第二步:将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有7种不同方案. 6
九、【“至少”“至多”问题等用】排除法(也可用分类列举法)
例:从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙 型电视机各一台,则不同的取法共有 ( )
A、140种 B、80种 C、70种 D、35种
解析1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,故不同的取法共有333C9?C4?C5?70种,选.C
解析2:正向思考,至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况:甲型1台乙型2台;甲型2台乙型1台;
2112故不同的取法有C5C4?C5C4?70台,选C.
十、【多元问题】分类列举法
例:由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有( )
A、210种 B、300种 C、464种 D、600种
解析:按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有
113113113135,A4A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3 A5
个,合并总计300个,选B.
例:30030能被多少个不同偶数整除?
解析:先把30030分解成质因数的形式:30030=2×3×5×7×11×13;依题意偶因数2必取,3,5,7,11,13
012345这5个因数中任取若干个组成成积,所有的偶因数为:C5?C5?C5?C5?C5?C5?32个.
排 列 组 合
【练习】
下列每题给出的五个选项中,只有一项是符合试题要求的。请在答题卡上将所选项的字母涂黑。 ...
1.从1到9这9个自然数中,任取3个数作数组(a,b,c),且(a>b>c),则不同数组共有( )个。
A.21 B.28 C.56 D.84 E.343
2.有4名学生参加数、理、化三科竞赛,每人限报一科,则不同的报名情况有( )
A.3种 B.4 种 C.321种 D.432种 E.以上结论均不正确
3.6个人分工载3棵树,每人只载1棵,则共有不同的分工方法( )
A.3种 B.3240种 C.6 种 D.120种 E.以上结论均不正确
4.用5种不同的颜色给图中的A,B,C,D四个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,则共有多少种不同的涂色方法?
5.某赛季足球比赛计分规则是:胜一场,得3分;平一场,得1分;负一场,得0分;一球队打完15场,积33分,若不考虑顺序,该球队胜、负、平的情况共有()
A.3种 B.4种 C. 5种 D.6种 E.7种
6.三边长均为整数,且最大边长为11的三角形的个数为 ( )
A. 25 B.26 C.30 D.36 E.37
7.若直线方程ax+by=0中的a, b可以从0、1、2、3、4、这五个数学中任取两个不同的数字,则方程所表示的不同的直线共有( )
A. 10种 B. 12种 C. 14种 D. 16种 E. 17种
8.7名同学排成一排,其中甲、乙、丙顺序站好,则不同排法有( )
A. 120种 B. 220种 C. 520种 D. 620种 E. 720种
9.某排共有9个座位,若3个坐在座位上,每人左右都有空位,那么共有不同的排法( )
A. 30种 B. 40种 C. 50种 D. 60种 E. 70种
10.若有7个人排成一排,其中甲乙必须相邻,而丙不能站在两端,则不同的排法共有( )
(A) 960 (B) 860 (C) 760 ( D)660 (E) 560
11.从4台原装计算机和5台组装计算机中任取3台,其中至少有原装与组装计算机各1台,则不同的选取法有( )种
(A) 30种 ( B)40种 (C) 60种 (D)70种 (E)80种
12.有10个三好学生名额,分配到高三年级6个班,每班至少1个名额,共有多少种不同的分配方案?
(A)120种 (B)126种 (C)160种 (D)170种 (E)180种
13.有编号为1、2、3的三个盒子,将20个完全相同的小球放在盒子中,要求每个盒子中的球的个数不小于它的编号数,则共有多少种不同的分配方案?
14. 5个工程队城建工程的5个不通的子项目,每个工程队城建1项,其中甲工程队不能城建1号子项目,则不同的城建方案共有( )
141444(A) C4 种 (D) PC4种 (B)C4P4种 (C) C44种 (E)以上结论均不正确 6343
15. 4张卡片的正反面写有0与1,2与3,4与5,6与7,将其中3张卡片并排放在一起可组成多少个不同的三位
数?
16.从6人中任选4人排成一排,其中甲、乙必入选,且甲必须排在乙的左边(可以不相邻)则所有不同排法
数是( )
(A) 36 (B) 72 (C) 144 (D) 288 (E) 328
17.一排9个座位有6个人坐,若每个空位两边都坐有人,共有多少种不同的坐法?
18.从5男4女中选4位代表,其中至少有2位男同志,且至少有1位女同志,分别到4个不同的工厂调查,不同的分派方法有( )
(A)100种 (B)400种 (C)480种 (D)2400种 (E)1200种
1 D 2 A
6 D 7 B
11 D 12 B
16 B 17 7200
3 B 8 A 13 120 18 D 参考答案 4 180 9 D 14 B 5 A 10 A 15 168
如果你希望成功,以恒心为良友,以经验为参谋,以小心为兄弟,以希望为哨兵
排列组合方法总结(新导航用)
1、【特殊元素、特殊位置】优先法
在排列、组合问题中,如果某些元素或位置有特殊要求,则一般需要优先满足要求。 例:有0,1,2,3,4,5可以组成没有重复的五位奇数的个数为( )
解析:五位奇数的末尾必须是奇数,还有首位不能为0,都应该优先安排,以免不合要求的
11元素占了这两个位置,先安排末位共有C3;然后排首位共计有C4;最后排其他位置共计有
A4;由分步计数原理得C3C4A4?288.
3113
2、【相邻问题】捆绑法
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.
例:A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有( )
4
解析:把A,B视为一人,且B固定在A的右边,则本题相当于4人的全排列,A4?24种,
3、【相离问题】插空法
元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例:七人并排站成一行,如果甲乙两人必须不相邻,那么不同的排法种数有( ) 解析:除甲乙外,其余5个排列数为A5种,再用甲乙去插6个空位有A6种,不同的排法种
52
数是A5A6?3600种
5
2
4、【选排问题】先选后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定的位置上,可用先选后排法. 例:四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种? 解析:先取:四个球中选两个为一组(捆绑法),其余两个球各自为一组的方法有C4种,再排:
323
在四个盒中每次排3个有A4种,故共有C4A4?144种.
2
5、【相同元素分配问题】隔板法
将n个相同的元素分成m份(m,n均为正整数),每份至少一个元素,可以用 m-1块隔板插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为:Cn?1。
例:(1)10个三好生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?
m?1
解析:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案 故共有不同的分配方案为为C96?84种
(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为( )
平均分成的组,不管他们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要消除顺序(除以,避免重复计数。 An,n为均分的组数)
例:6本不同的书平均分成3组,每堆2本的分法数有( )种
解析:分三步取书得C62C44C22中分法,但是这里出现重复计数的现象。除去重复计数A33,即共有
C6C4C2
A
3
32
4
2
n
7、【有序分配问题】逐分法
有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组
例:将12名警察分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分
配方案有( )种
A、CCC B、3CCC C、CCA D、
4
12
48
44
412
48
44
412
48
33
C12C8C4
A
33
444
答案:A
8、【可重复的排列问题】求幂法(分步)
允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可逐一安排元素的位置,一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有m种方法. 例:把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?
解析:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有7种不同方案,第二步:将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有7种
6
n
9、【“至少”“至多”问题等用】排除法(也可用分类列举法)
例:从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙 型电视机各一台,
则不同的取法共有( )种
解析1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,
333
故不同的取法共有C9?C4?C5?70种,选.C
解析2:正向思考,至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况:甲型1台乙型2台;
112
甲型2台乙型1台;故不同的取法有C52C4?C5C4?70台,选C.
10、【多元问题】分类列举法
例:(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位
数字的共有( )
解析:按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有
A5,A4A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3个,合并总计300个,选B
5
1
1
3
1
1
3
1
1
3
1
3
(2)30030能被多少个不同偶数整除?
解析:先把30030分解成质因数的形式:30030=2×3×5×7×11×13;依题意偶因数2必取,
3,5,7,11,13这5个因数中任取若干个组成成积,所有的偶因数为:
C5?C5?C5?C5?C5?C5?32个.
1
2
3
4
5
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