排列组合方法总结

直接法

例1：用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个？

1）数字1不排在个位和千位

2）数字1不在个位，数字6不在千位 ① .特殊元素法

2

分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择A52，其余2位有四个可供选择A4，由乘法原理：A52A42=240

②．特殊位置法

11分析（2）当1在千位时余下三位有A53=60，1不在千位时，千位有A4种选法，个位有A4种，余下的211有A4，共有A4A4A42=192所以总共有192+60=252

间接法

例2：有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？

332

分析：任取三张卡片可以组成不同的三位数C5个，其中0在百位的有C4?23?A3?22?A22个，这332是不合题意的。故共可组成不同的三位数C5-C4?23?A3?22?A22=432

尝试：三个女生和五个男生排成一排

1）女生必须全排在一起 有多少种排法（ 捆绑法） 2）女生必须全分开 （插空法 须排的元素必须相邻） 3）两端不能排女生 4）两端不能全排女生

5）如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法

①插空法

例3：含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？

11

分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有A9=100 ?A10

②捆绑法

1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（C42A33） 2，某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有

1119

分析： C29 连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有C29其?A28

余的就是19所学校选28天进行排列

③阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法

例4 准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。

分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中

7

插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有C11种.

④平均分推问题

例5： 6本不同的书按一下方式处理，各有几种分发？ 1. 平均分成三堆

2. 平均分给甲乙丙三人

3. 一堆一本，一堆两本，一对三本

分析：1，分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由顺序不同可以有A33=6种，而这6种分法只算一种

C62C42C22分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有=15种 3

A3

2. CCC

6

42

2

22

3.CCC

6

5

1233

⑤选点成行问题

讨论，有9个点其中有四个点共线，其余的都没有3点共线的情况。 1.从中选2点连成线段有几种 2.从中选3点形成三角形有几种 分析：1）必须间接法：C99-C42+1 2)间接法：C93-C43

 

第二篇：排列组合方法总结

如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵

排列组合方法总结(新导航用)

1、【特殊元素、特殊位置】优先法

在排列、组合问题中，如果某些元素或位置有特殊要求，则一般需要优先满足要求。 例：有0,1,2,3,4,5可以组成没有重复的五位奇数的个数为（ ）

解析：五位奇数的末尾必须是奇数，还有首位不能为0，都应该优先安排，以免不合要求的

11元素占了这两个位置，先安排末位共有C3；然后排首位共计有C4；最后排其他位置共计有

A4；由分步计数原理得C3C4A4?288.

3113

2、【相邻问题】捆绑法

题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

例：A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（ ）

4

解析：把A,B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A4?24种，

3、【相离问题】插空法

元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例：七人并排站成一行，如果甲乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数有（ ） 解析：除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A6种，不同的排法种

52

数是A5A6?3600种

5

2

4、【选排问题】先选后排法

从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先选后排法. 例：四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？ 解析：先取:四个球中选两个为一组(捆绑法)，其余两个球各自为一组的方法有C4种，再排：

323

在四个盒中每次排3个有A4种，故共有C4A4?144种.

2

5、【相同元素分配问题】隔板法

将n个相同的元素分成m份(m,n均为正整数)，每份至少一个元素，可以用 m-1块隔板插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为:Cn?1。

例：（1）10个三好生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

m?1

解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案 故共有不同的分配方案为为C96?84种

（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）

平均分成的组，不管他们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要消除顺序（除以，避免重复计数。 An，n为均分的组数）

例：6本不同的书平均分成3组，每堆2本的分法数有（ ）种

解析：分三步取书得C62C44C22中分法，但是这里出现重复计数的现象。除去重复计数A33，即共有

C6C4C2

A

3

32

4

2

n

7、【有序分配问题】逐分法

有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组

例：将12名警察分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分

配方案有( )种

A、CCC B、3CCC C、CCA D、

4

12

48

44

412

48

44

412

48

33

C12C8C4

A

33

444

答案：A

8、【可重复的排列问题】求幂法（分步）

允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有m种方法. 例：把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有7种

6

n

9、【“至少”“至多”问题等用】排除法（也可用分类列举法）

例：从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，

则不同的取法共有（ ）种

解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，

333

故不同的取法共有C9?C4?C5?70种,选.C

解析2：正向思考，至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；

112

甲型2台乙型1台；故不同的取法有C52C4?C5C4?70台,选C.

10、【多元问题】分类列举法

例：（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位

数字的共有( )

解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有

A5,A4A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3个，合并总计300个,选B

5

1

1

3

1

1

3

1

1

3

1

3

（2）30030能被多少个不同偶数整除？

解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，

3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为：

C5?C5?C5?C5?C5?C5?32个.

1

2

3

4

5