线性代数知识点总结

第一章  行列式

(一)要点

1、二阶、三阶行列式

2、全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理），n阶行列式的定义

3、行列式的性质

4、n阶行列式，元素的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理

5、克莱姆法则

（二）基本要求

   1、理解n阶行列式的定义

2、掌握n阶行列式的性质

   3、会用定义判定行列式中项的符号

4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即

5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法：

         归化为上三角或下三角行列式，

         各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式，

         利用展开式计算

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《线性代数及其应用》

一、行列式

1、余子式，代数余子式

2、几个定理(定理2.2，2.3，2.4)

       按行展开：

按列展开：

定理2.4  ；

.

3、行列式的性质

       (1) .

       (2) 若行列式的某一列(行)可以拆成两列(行)之和，则行列式可以拆成两个行列式之和，即

.

(2) 若行列式有两列(行)成比例，则行列式等于零.

(3) 初等变换性质

4、行列式计算：三角化法(性质)；

降阶法(性质+展开定理)；

范德蒙德、三对角行列式的结论.

5、分块矩阵的行列式

二、矩阵

1、矩阵及其运算(加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算)

(1) 乘法的结合律

(2) 方阵的幂的求解 

(3) 转置的性质：

(4) 方阵的行列式： 

(5) 分块运算(转置、乘法--例3.13、3.14)

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考研数学：线性代数之矩阵学习总结

　　提到考研数学，很多同学都能想到高数和概率。其实线性代数也是数学一，数学二和数学三中的考查重点，而且往往是难点。同学们在学习线代的时候觉得有难度。我认为有两个方面的原因：1.大家在学习了高数后，难免在学习线代时后劲不足；2.线代知识体系错综复杂，联系比较多，大家往往搞不清联系。

　　下面，跨考教育数学教研室的向喆老师跟大家说说一些难理解和常考的概念。今天所说的是线性代数中的矩阵学习问题，大家分三个步骤来学习。

　　首先，构建矩阵知识框架。矩阵这一章在线性代数中处于核心地位。它是前后联系的纽带。具体来说，矩阵包括定义，性质，常见矩阵运算，常见矩阵类型，矩阵秩，分块矩阵等问题。可以说，内容多，联系多，各个知识点的理解就至关重要了。

　　然后，把握知识原理。在有前面的知识做铺垫后，大家就要开始学习矩阵了。首先是矩阵定义，它是一个数表。这个与行列式有明显的区别。然后看运算，常见的运算是求逆，转置，伴随，幂等运算。要注意它们的综合性。还有一个重点就是常见矩阵类型。大家特别要注意实对称矩阵，正交矩阵，正定矩阵以及秩为1的矩阵。最后就是矩阵秩。这是一个核心和重点。可以毫不夸张的说，矩阵的秩是整个线性代数的核心。那么同学们就要清楚，秩的定义，有关秩的很多结论。针对结论，我给的建议是大家最好能知道他们是怎么来的。最好是自己动手算一遍。我还补充说一点就是分块矩阵。要注意矩阵分块的原则，分块矩阵的初等变换与简单矩阵初等变换的区别和联系。

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《线性代数》复习提纲

第一部分：基本要求（计算方面）

四阶行列式的计算；

N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；

矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；

求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；

含参数的线性方程组解的情况的讨论；

齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；

讨论一个向量能否用和向量组线性表示；

讨论或证明向量组的相关性；

求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；

将无关组正交化、单位化；

求方阵的特征值和特征向量；

讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；

通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；

写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；

判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：基本知识

一、行列式

1．行列式的定义

用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；

（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；

2．行列式的计算

一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；

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         线性代数知识点总结

第一章  行列式 

二三阶行列式

N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和  

            （奇偶）排列、逆序数、对换

行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式）

              ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

          推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

              ③常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。

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第一章 行列式

1．逆序数

1.1 定义

个互不相等的正整数任意一种排列为：，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用表示，等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和。

1.2 性质

一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 。

证明如下：

设排列为，作次相邻对换后，变成，再作次相邻对换后，变成，共经过次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ，要么减少1 ，相当于，也就是排列必改变改变奇偶性，次相邻对换后，故原命题成立。

2．阶行列式的5大性质

性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。

性质2：互换任意两行（列）其值变号。

性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。

性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。

性质5：把行列式某行（列）倍后再加到另一行（列），其值不变。

行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。

评 注  对性质4的重要拓展：

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┠——※—◆—☆—★—目录—★—☆—◆—※——┨

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┠———————-第一章：行列式-———————┨

┃ §1．1 二阶、三阶行列式 ┃

┃ §1．2 n阶行列式 ┃

┃ §1．3 行列式的性质 ┃

┃ §1．4 行列式按行、列展开 ┃

┃ §1．5 克莱姆法则 ┃

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┠————————第二章：矩阵————————┨

┃ §2．1 矩阵的概念 ┃

┃ §2．2 矩阵的运算 ┃

┃ §2．3 几种特殊的矩阵 ┃

┃ §2．4 分块矩阵 ┃

┃ §2．5 逆矩阵 ┃

┃ §2．6 矩阵的初等变换 ┃

┃ §2．7 矩阵的秩 ┃

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线性代数公式

1、行列式

1.         行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；

2.         代数余子式的性质：

①、和的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；

3.         代数余子式和余子式的关系：

4.         设行列式：

将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；

将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；

将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；

将主副角线翻转后，所得行列式为，则；

5.         行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

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