线性代数知识点总结
第一章 行列式
第一节:二阶与三阶行列式
把表达式称为所确定的二阶行列式,并记作,
即结果为一个数。(课本P1)
同理,把表达式称为由数表所确定的三阶行列式,记作。
即=
二三阶行列式的计算:对角线法则(课本P2,P3)
注意:对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。
利用行列式计算二元方程组和三元方程组:
对二元方程组
设
则,(课本P2)
对三元方程组,
设,
,,,
则,,。(课本上没有)
注意:以上规律还能推广到n元线性方程组的求解上。
第二节:全排列及其逆序数
全排列:把个不同的元素排成一列,叫做这个元素的全排列(或排列)。
n个不同的元素的所有排列的总数,通常用Pn (或An)表示。(课本P5)
逆序及逆序数:在一个排列中,如果两个数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么称它们构成一个逆序,一个排列中,逆序的总数称为这个排列的逆序数。
排列的奇偶性:逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列。(课本P5)
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第一部分:基本要求(计算方面)
四阶行列式的计算;
N阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等);
矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算); 求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程;
含参数的线性方程组解的情况的讨论;
齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多解);
讨论一个向量能否用和向量组线性表示;
讨论或证明向量组的相关性;
求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示;
将无关组正交化、单位化;
求方阵的特征值和特征向量;
讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵;
通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化;
写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵;
判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分:基本知识
一、行列式
1.行列式的定义
用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和;
(2)展开式共有n!项,其中符号正负各半;
2.行列式的计算
一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则;
N阶(n>=3)行列式的计算:降阶法
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线性代数知识点总结
第一章 行列式
(一)要点
1、二阶、三阶行列式
2、全排列和逆序数,奇偶排列(可以不介绍对换及有关定理),n阶行列式的定义
3、行列式的性质
4、n阶行列式,元素的余子式和代数余子式,行列式按行(列)展开定理
5、克莱姆法则
(二)基本要求
1、理解n阶行列式的定义
2、掌握n阶行列式的性质
3、会用定义判定行列式中项的符号
4、理解和掌握行列式按行(列)展开的计算方法,即
5、会用行列式的性质简化行列式的计算,并掌握几个基本方法:
归化为上三角或下三角行列式,
各行(列)元素之和等于同一个常数的行列式,
利用展开式计算
6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论
会用克莱姆法则解低阶的线性方程组
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线性代数知识点总结
第一章 行列式
第一节:二阶与三阶行列式
把表达式称为所确定的二阶行列式,并记作,
即结果为一个数。(课本P1)
同理,把表达式称为由数表所确定的三阶行列式,记作。
即=
二三阶行列式的计算:对角线法则(课本P2,P3)
注意:对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。
利用行列式计算二元方程组和三元方程组:
对二元方程组
设
则,(课本P2)
对三元方程组,
设,
,,,
则,,。(课本上没有)
注意:以上规律还能推广到n元线性方程组的求解上。
第二节:全排列及其逆序数
全排列:把个不同的元素排成一列,叫做这个元素的全排列(或排列)。
n个不同的元素的所有排列的总数,通常用Pn (或An)表示。(课本P5)
逆序及逆序数:在一个排列中,如果两个数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么称它们构成一个逆序,一个排列中,逆序的总数称为这个排列的逆序数。
排列的奇偶性:逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列。(课本P5)
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第一章
AB ¹BA 即矩阵乘法不满足交换律
在矩阵乘法中,若 AB = O 不能Þ A = O 或 B = O
在矩阵乘法中, 若 AC = AD, 且 A¹O 不能Þ C = D
( A B ) T = BT AT
(1)若方阵A满足 AT = A,即 aji = aij,则称A为对称矩阵
(2) 若方阵A满足 AT = -A,即 aji = -aij,则称A为反对称矩阵。这时 aii = 0 ( i = 1, 2, … n)
任一方阵A都可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和
若方阵A除主对角线上的子块外,其余子块都为O,且主对角线的子块均为方阵,则称A为准对角矩阵
A11, A12,A13称为D的元素a11,a12,a13的代数余子式.
三阶行列式中去掉第 i 行第 j 列剩下元素按原来次序组成的2阶行列式记为 Mij ,称为 D中元素aij 的余子式.
Aij =(-1)i+jMij称为 aij 的代数余子式
D=D ', 其中 D ' 为 D 的转置行列式
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第一章 行列式
二三阶行列式
N阶行列式:行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和
(奇偶)排列、逆序数、对换
行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式)
②行列式中某两行(列)互换,行列式变号。
推论:若行列式中某两行(列)对应元素相等,则行列式等于零。
③常数k乘以行列式的某一行(列),等于k乘以此行列式。
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《线性代数》复习提纲 第一部分:基本要求(计算方面)
四阶行列式的计算;
N阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等);
矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算);
求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程;
含参数的线性方程组解的情况的讨论;
齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多解);
讨论一个向量能否用和向量组线性表示;
讨论或证明向量组的相关性;
求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示;
将无关组正交化、单位化;
求方阵的特征值和特征向量;
讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵;
通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化;
写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵;
判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分:基本知识
一、行列式
1.行列式的定义
用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和;
(2)展开式共有n!项,其中符号正负各半;
2.行列式的计算
一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则;
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线性代数知识点
1、行列式
1. 行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式;
2. 代数余子式的性质:
①、和的大小无关;
②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;
③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为;
3. 代数余子式和余子式的关系:
4. 设行列式:
将上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,则;
将顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,则;
将主对角线翻转后(转置),所得行列式为,则;
将主副角线翻转后,所得行列式为,则;
5. 行列式的重要公式:
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