《线性代数及其应用》
一、行列式
1、余子式,代数余子式
2、几个定理(定理2.2,2.3,2.4)
按行展开:
按列展开:
定理2.4 ;
.
3、行列式的性质
(1) .
(2) 若行列式的某一列(行)可以拆成两列(行)之和,则行列式可以拆成两个行列式之和,即
.
(2) 若行列式有两列(行)成比例,则行列式等于零.
(3) 初等变换性质
4、行列式计算:三角化法(性质);
降阶法(性质+展开定理);
范德蒙德、三对角行列式的结论.
5、分块矩阵的行列式
二、矩阵
1、矩阵及其运算(加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算)
(1) 乘法的结合律
(2) 方阵的幂的求解
(3) 转置的性质:
(4) 方阵的行列式:
(5) 分块运算(转置、乘法--例3.13、3.14)
…… …… 余下全文
第一部分:基本要求(计算方面)
四阶行列式的计算;
N阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等);
矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算); 求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程;
含参数的线性方程组解的情况的讨论;
齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多解);
讨论一个向量能否用和向量组线性表示;
讨论或证明向量组的相关性;
求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示;
将无关组正交化、单位化;
求方阵的特征值和特征向量;
讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵;
通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化;
写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵;
判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分:基本知识
一、行列式
1.行列式的定义
用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和;
(2)展开式共有n!项,其中符号正负各半;
2.行列式的计算
一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则;
N阶(n>=3)行列式的计算:降阶法
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《线性代数及其应用》
一、行列式
1、余子式,代数余子式
2、几个定理(定理2.2,2.3,2.4)
按行展开:
按列展开:
定理2.4 ;
.
3、行列式的性质
(1) .
(2) 若行列式的某一列(行)可以拆成两列(行)之和,则行列式可以拆成两个行列式之和,即
.
(2) 若行列式有两列(行)成比例,则行列式等于零.
(3) 初等变换性质
4、行列式计算:三角化法(性质);
降阶法(性质+展开定理);
范德蒙德、三对角行列式的结论.
5、分块矩阵的行列式
二、矩阵
1、矩阵及其运算(加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算)
(1) 乘法的结合律
(2) 方阵的幂的求解
(3) 转置的性质:
(4) 方阵的行列式:
(5) 分块运算(转置、乘法--例3.13、3.14)
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1、行列式
行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式;
代数余子式的性质:
①、和的大小无关;
②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;
③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为;
代数余子式和余子式的关系:
设行列式:
将上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,则;
将顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,则;
将主对角线翻转后(转置),所得行列式为,则;
将主副角线翻转后,所得行列式为,则;
行列式的重要公式:
①、主对角行列式:主对角元素的乘积;
②、副对角行列式:副对角元素的乘积;
③、上、下三角行列式():主对角元素的乘积;
④、和:副对角元素的乘积;
⑤、拉普拉斯展开式:、
⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;
⑦、特征值;
对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;
证明的方法:
①、;
②、反证法;
③、构造齐次方程组,证明其有非零解;
④、利用秩,证明;
⑤、证明0是其特征值;
2、矩阵
是阶可逆矩阵:
(是非奇异矩阵);
(是满秩矩阵)
的行(列)向量组线性无关;
齐次方程组有非零解;
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1、行列式
1. 行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式;
2. 代数余子式的性质:
①、和的大小无关;
②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;
③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为;
3. 代数余子式和余子式的关系:
4. 设行列式:
将上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,则;
将顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,则;
将主对角线翻转后(转置),所得行列式为,则;
将主副角线翻转后,所得行列式为,则;
5. 行列式的重要公式:
①、主对角行列式:主对角元素的乘积;
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20##年线性代数必考的知识点
1、行列式
1. 行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式;
2. 代数余子式的性质:
①、和的大小无关;
②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;
③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为;
3. 代数余子式和余子式的关系:
4. 设行列式:
将上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,则;
将顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,则;
将主对角线翻转后(转置),所得行列式为,则;
将主副角线翻转后,所得行列式为,则;
5. 行列式的重要公式:
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线性代数公式
1、行列式
1. 行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式;
2. 代数余子式的性质:
①、和的大小无关;
②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;
③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为;
3. 代数余子式和余子式的关系:
4. 设行列式:
将上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,则;
将顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,则;
将主对角线翻转后(转置),所得行列式为,则;
将主副角线翻转后,所得行列式为,则;
5. 行列式的重要公式:
①、主对角行列式:主对角元素的乘积;
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