必修五：解三角形

知识点一：正弦定理和余弦定理

1．正弦定理:或变形：.

2．余弦定理：  或    .

3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

                                   2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.

（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.

                                   2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

5．解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：

       .、　　

1. 若的三个内角满足，则是  （    ）

  A.锐角三角形 B.钝角三角形   C.直角三角形  D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.

2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，b，c，若，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小为    （    ）A．       B．      C     D．

3. 在中，，则最小角为

A、             B、             C、             D、

4. 已知中，，则     (     )

A.              B.                  C.            D.

5. 在锐角中，若，则的范围（   ）

A．       B．      C．         D．

6. 在中，A、B、C所对的边分别是、、，已知，则(     )

A.          B.          C.          D.

7.在中，  面积，则

A、         B、75          C、55          D、49

8.在中，，则

A、          B、          C、          D、

9. 已知中，，，则的面积为_______

10. 在中,分别是角的对边,且,则角的大小为_______

           

11.已知锐角三角形的边长分别是，则的取值范围是

A、       B、        C、       D、

12．中，则角的取值范围是__________．

知识点二：判断三角形的形状问题

1. 在中，若，则是 （    ）

A．等边三角形     B．等腰三角形    C．锐角三角形        D．直角三角形

2. 在中，有一边是另一边的2倍，并且有一个角是，那么这个三角形

A、一定是直角三角形          B、一定是钝角三角形

C、可能是锐角三角形          D、一定不是锐角三角形

3. 已知在中，，判断的形状。

4．在中，若，则是

　A．等腰直角三角形             　 B．等边三角形

C．顶角为的等腰三角形     　 D．顶角为的等腰三角形

5．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（    ）

A.等腰直角三角形                                          B.直角三角形

C.等腰三角形                                           D.等边三角形

6. △ABC中，，，则△ABC一定是                      （    ）

A  锐角三角形    B  钝角三角形   C  等腰三角形     D  等边三角形

7. 若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是     （    ）

     A．直角三角形                B．等边三角形    

     C．等腰三角形          D．等腰直角三角形

8. 在△ABC中，已知，，试判断△ABC的形状。

知识点三：综合运用

1. 在中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是

    A、       B、 

C、          D、

2. 在中，若，则满足条件的　

　A．不存在 　　　B．有一个 　　　C．有两个 　　　　D不能确定

3.△ABC中，∠A=60°, a=, b=4, 那么满足条件的△ABC                (    )

A  有 一个解      B   有两个解      C   无解        D  不能确定

4.符合下列条件的三角形有且只有一个的是  （    ）

   A．a=1,b=2 ,c=3             B．a=1,b= ,∠A=30°

   C．a=1,b=2,∠A=100°        C．b=c=1, ∠B=45°

5.在中，角所对的边分别为且满足

（I）求角的大小；

（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．

6.在中，分别为内角的对边，且

   （Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）求的最大值.

7.已知函数()．

 （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；   

(Ⅱ) 内角的对边长分别为，若 且试求角B和角C。

8.在中，，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设的面积，求的长．

知识点四：实际问题：几何中求解三角形

1.一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，求货轮的速度（要求作图）

2．某岛的周围内有暗礁，我舰由西向东航行，开始观察此岛在北偏东，航行后再观察此岛在北偏东，如果不改变航向继续前进，有无触礁危险？

课堂小测

1．在△ABC 中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，则cosC的值为                   （    ）

A．  　　      B．－ 　　       C．　          D．－ 

2. 在中，已知，，则的值为

A、          B、          C、          D、

3.在 中，求的面积_________

4.已知在中，，求的面积。

5．在中，已知，则等于

　A．　　　　B．　　　　　　C．　　　　　D．

6．已知三角形的两边之差是2，这两边夹角的余弦为，且这个三角形的面积为14，那么这两边的长分别为                                           

  A．3、5    　B．4、6      　　　C．6、8       　　D．5、7

7．在中，，是方程的两个根，且

，求：（1）角的度数；（2）的长度．

 

第二篇：高一数学解三角形知识点总结及习题练习

解三角形

2[课前热身]  

1．(教材习题改编)已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于(　　)

A．135°　 　　   B．90°　 　　

C．45°　 　　      D．30°

2．在△ABC中，，则A等于(　　)

A．60°  B．45°  C．120°  D．30°

3．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积是(　　)

A.  B.  C.  D.

4．(2010年高考广东卷)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinA＝________.

5． 

5．在△ABC中，如果A＝60°，c＝，a＝，则△ABC的形状是________．

                                              

3[考点突破]

考点一 正弦定理的应用

    利用正弦定理可解决以下两类三角形：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边的对角，求其他边角．

例1、(1)(20##年高考山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为________．

(2)满足A＝45°，a＝2，c＝的△ABC的个数为________．

考点二 余弦定理的应用

利用余弦定理可解两类三角形：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三边求其他边角．由于这两种情况下的三角形是惟一确定的，所以其解也是惟一的．

例2、在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.

(1)若△ABC的面积等于，求a，b的值；

(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．

考点三三角形形状的判定

判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．

例3、(20##年高考辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且

2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.

(1)求A的大小；

(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．

互动探究 

1　若本例条件变为：sinC＝2sin(B＋C)cosB，试判断三角形的形状．．

方法感悟:

方法技巧

解三角形常见题型及求解方法

(1)已知两角A、B与一边a，由A＋B＋C＝180°及＝＝，可求出角C，再求出b，c.

(2)已知两边b，c与其夹角A，由a²＝b²＋c²－2bccosA, 求出a，再由正弦定理，求出角B，C.

(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.

(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理＝求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，求出C，再由＝，求出c，而通过＝求B时，可能出现一解，两解或无解的情况，其判断方法如下表：

失误防范

1．用正弦定理解三角形时，要注意解题的完整性，谨防丢解．

2．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；三角形的内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，sin＝cos，sin2A＝－sin2(B＋C)，cos2A＝cos2(B＋C)等．

3．对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”．

五、规范解答

(本题满分12分)(20##年高考大纲全国卷Ⅱ)在△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sinB＝，cos∠ADC＝，求AD的长．

【解】　由cos∠ADC＝>0知∠B<，

由已知得cosB＝，sin∠ADC＝，4分

从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)

＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB

＝×－×＝.9分

由正弦定理得＝，

所以AD＝＝＝25.12分

【名师点评】　本题主要考查正弦定理、三角恒等变换在解三角形中的应用，同时，对逻辑推理能力及运算求解能力进行了考查．本题从所处位置及解答过程来看，难度在中档以下，只要能分析清各量的关系，此题一般不失分．出错的原因主要是计算问题．

名师预测

1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝(　　)

A．－　　　　　　　　　         B.

C．－                                               D.

2．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且S_△ABC＝，那么角C＝________.

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(2b－c)·cosA－acosC＝0.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝，S_△ABC＝，试判断△ABC的形状，并说明理由．

解：(1)法一：∵(2b－c)cosA－acosC＝0，

由正弦定理得，

(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0，

∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，

即sinB(2cosA－1)＝0.

∵0<B<π，

∴sinB≠0，∴cosA＝.

∵0<A<π，∴A＝.

法二：∵(2b－c)cosA－acosC＝0，

由余弦定理得，

(2b－c)·－a·＝0，

整理得b²＋c²－a²＝bc，

∴cosA＝＝.

∵0<A<π，∴A＝.

(2)∵S_△ABC＝bcsinA＝，

即bcsin＝，

∴bc＝3，①

∵a²＝b²＋c²－2bccosA，

∴b²＋c²＝6，②

由①②得b＝c＝，

∴△ABC为等边三角形．

课后作业

1 在△ABC中，角均为锐角，且则△ABC的形状是（     ）

A.  直角三角形    B.  锐角三角形 

C.  钝角三角形    D.  等腰三角形 

2 边长为的三角形的最大角与最小角的和是（    ）

A.        B.       C.       D.   

3 在△ABC中，，则的最大值是_______________.

4 在△ABC中，若_________. 

5 已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量 夹角的余弦角为

   （Ⅰ）求角B的大小；

   （Ⅱ）求的取值范围.

6 △ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.

（Ⅰ）若，求cosA的值；

（Ⅱ）若A∈[，]，求的取值范围.

7  在△ABC中，求证：

8  在锐角△ABC中，求证：.