课前复习

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1两角和与差的正弦公式,

                sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.

2两角和与差的余弦公式,

               cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

              cos(α-β)=cosαcos+sinαsinβ

3两角和、差的正切公式

 tan(α+β)= （）；

tan(α-β)=（）．

简单的三角恒等变换

二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴．

⑵

升幂公式

降幂公式，

⑶   

默写上述公式，检查上次的作业课本上的!
解三角形知识点总结及典型例题

 

第二篇：初中三角函数知识点总结及典型习题

初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题

1、勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。

2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

                   

5、30°、45°、60°特殊角的三角函数值(重要)

    6、正弦、余弦的增减性：

       当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。

    7、正切、的增减性：

       当0°<<90°时，tan随的增大而增大，

1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)

2、应用举例：

(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

      

(2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。

把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ，   南偏东45°（东南方向），

南偏西60°（西南方向），   北偏西60°（西北方向）。

                

例1：已知在中，，则的值为（    ）

A．             B．                C．                  D．

【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RTΔABC中，∠C=90°，则，和；由知，如果设，则，结合得；∴，所以选A．

例2：=______．

【解析】本题考查特殊角的三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算，

=，故填．

1. 某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（　C　）

A．8米        B．米      C．米     D．米

2. 一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角是，则梯子底端到墙的距离为（  B  ）

A．       B．     C．     D．

3. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（  B  ）

A．m                         B．4 m

C．m                         D．8 m

4. 河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比是1:（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（  A  ）

A． 米        B． 10米  

C．15米           D．米

5．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE的长度是（  D  ）

A．3               B．5                 C．              D．

                      

6. 如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为     82.0   米（精确到0.1）.（参考数据： ）

7. 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋大楼顶部的俯角为，看这栋大楼底部的俯角为，热气球的高度为240米，求这栋大楼的高度.

解：过点作直线的垂线，垂足为点.

则，，，=240米.

在中，，

                   

在中，

.

24080=160.

答：这栋大楼的高为160米.

8. 如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为4米，点D、B、C在同一水平面上．

（1）改善后滑滑板会加长多少米？

（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．

（参考数据：，，，以上结果均保留到小数点后两位．）

 

解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC=45°

∴AC=BC=AB·sin45°= 

在Rt△ADC中，∠ADC=30°

∴AD=   

∴AD-AB=

∴改善后滑滑板会加长约1.66米.

（2）这样改造能行，理由如下：

∵

∴

∴6-2.07≈3.93＞3

∴这样改造能行.

     9．求值  1.解：原式=

10. 计算：2.原式==0．

 

第三篇：高一数学解三角形知识点总结及习题练习

解三角形

2[课前热身]  

1．(教材习题改编)已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于(　　)

A．135°　 　　   B．90°　 　　

C．45°　 　　      D．30°

2．在△ABC中，，则A等于(　　)

A．60°  B．45°  C．120°  D．30°

3．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积是(　　)

A.  B.  C.  D.

4．(2010年高考广东卷)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinA＝________.

5． 

5．在△ABC中，如果A＝60°，c＝，a＝，则△ABC的形状是________．

                                              

3[考点突破]

考点一 正弦定理的应用

    利用正弦定理可解决以下两类三角形：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边的对角，求其他边角．

例1、(1)(20##年高考山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为________．

(2)满足A＝45°，a＝2，c＝的△ABC的个数为________．

考点二 余弦定理的应用

利用余弦定理可解两类三角形：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三边求其他边角．由于这两种情况下的三角形是惟一确定的，所以其解也是惟一的．

例2、在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.

(1)若△ABC的面积等于，求a，b的值；

(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．

考点三三角形形状的判定

判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．

例3、(20##年高考辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且

2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.

(1)求A的大小；

(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．

互动探究 

1　若本例条件变为：sinC＝2sin(B＋C)cosB，试判断三角形的形状．．

方法感悟:

方法技巧

解三角形常见题型及求解方法

(1)已知两角A、B与一边a，由A＋B＋C＝180°及＝＝，可求出角C，再求出b，c.

(2)已知两边b，c与其夹角A，由a²＝b²＋c²－2bccosA, 求出a，再由正弦定理，求出角B，C.

(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.

(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理＝求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，求出C，再由＝，求出c，而通过＝求B时，可能出现一解，两解或无解的情况，其判断方法如下表：

失误防范

1．用正弦定理解三角形时，要注意解题的完整性，谨防丢解．

2．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；三角形的内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，sin＝cos，sin2A＝－sin2(B＋C)，cos2A＝cos2(B＋C)等．

3．对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”．

五、规范解答

(本题满分12分)(20##年高考大纲全国卷Ⅱ)在△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sinB＝，cos∠ADC＝，求AD的长．

【解】　由cos∠ADC＝>0知∠B<，

由已知得cosB＝，sin∠ADC＝，4分

从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)

＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB

＝×－×＝.9分

由正弦定理得＝，

所以AD＝＝＝25.12分

【名师点评】　本题主要考查正弦定理、三角恒等变换在解三角形中的应用，同时，对逻辑推理能力及运算求解能力进行了考查．本题从所处位置及解答过程来看，难度在中档以下，只要能分析清各量的关系，此题一般不失分．出错的原因主要是计算问题．

名师预测

1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝(　　)

A．－　　　　　　　　　         B.

C．－                                               D.

2．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且S_△ABC＝，那么角C＝________.

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(2b－c)·cosA－acosC＝0.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝，S_△ABC＝，试判断△ABC的形状，并说明理由．

解：(1)法一：∵(2b－c)cosA－acosC＝0，

由正弦定理得，

(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0，

∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，

即sinB(2cosA－1)＝0.

∵0<B<π，

∴sinB≠0，∴cosA＝.

∵0<A<π，∴A＝.

法二：∵(2b－c)cosA－acosC＝0，

由余弦定理得，

(2b－c)·－a·＝0，

整理得b²＋c²－a²＝bc，

∴cosA＝＝.

∵0<A<π，∴A＝.

(2)∵S_△ABC＝bcsinA＝，

即bcsin＝，

∴bc＝3，①

∵a²＝b²＋c²－2bccosA，

∴b²＋c²＝6，②

由①②得b＝c＝，

∴△ABC为等边三角形．

课后作业

1 在△ABC中，角均为锐角，且则△ABC的形状是（     ）

A.  直角三角形    B.  锐角三角形 

C.  钝角三角形    D.  等腰三角形 

2 边长为的三角形的最大角与最小角的和是（    ）

A.        B.       C.       D.   

3 在△ABC中，，则的最大值是_______________.

4 在△ABC中，若_________. 

5 已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量 夹角的余弦角为

   （Ⅰ）求角B的大小；

   （Ⅱ）求的取值范围.

6 △ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.

（Ⅰ）若，求cosA的值；

（Ⅱ）若A∈[，]，求的取值范围.

7  在△ABC中，求证：

8  在锐角△ABC中，求证：.