高中数学必修5__解三角形知识点总结与练习

解三角形

一、知识点总结

1． 内角和定理：

在中，；；；

.

2．面积公式:  = 

3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.

形式一：或变形： (解三角形的重要工具)

形式二：         (边角转化的重要工具)

4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..

形式一：

 (解三角形的重要工具)

形式二： ；  ；  cosC=

5．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

                                    2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.

（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.

                                    2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

6．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

7．

四、巩固练习二

一、选择题

1、ΔABC中,a=1,b=, ∠A=30°,则∠B等于                                                       （    ）

              A．60°                    B．60°或120°      C．30°或150°    D．120°

2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是     （    ）

              A．a=1,b=2 ,c=3                                    B．a=1,b= ,∠A=30°

              C．a=1,b=2,∠A=100°                              C．b=c=1, ∠B=45°

3、在锐角三角形ABC中，有                            （    ）

              A．cosA>sinB且cosB>sinA                    B．cosA<sinB且cosB<sinA

              C．cosA>sinB且cosB<sinA                   D．cosA<sinB且cosB>sinA

4、若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是                                   （    ）

              A．直角三角形                                   B．等边三角形    

              C．等腰三角形                                     D．等腰直角三角形

二填空题

5、A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=, 则ΔABC是______三角形.

6、在ΔABC中，若SΔABC= (a2+b2－c2),那么角∠C=______.

7、在ΔABC中，a =5,b = 4,cos(A－B)=,则cosC=_______.

三、解答题

8、在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状：

          ①B=60°,b2=ac；                                    ②b2tanA=a2tanB；

          ③sinC=                                ④ (a2－b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A－B).

9.一缉私艇发现在北偏东方向,距离12 nmile的海面上有一走私船正以10 nmile/h的速度沿东偏南方向逃窜.缉私艇的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东的方向去追,.求追及所需的时间和角的正弦值.

二、例题讲解

1  在△ABC中，，则等于（    ）

A       B      C     D   

2. 在△ABC中，若，则等于（    ）

A     B     C     D 

3．在中，若=1,C=, =则A的值为  

A．            B．                C．        D．

4.  在△中，若，则等于（    ）

A      B     C      D   

5.在中，，，分别为角，，所对边，若，则此三角形一定是（     ）

A.等腰直角三角形   B. 直角三角形   C. 等腰三角形  D. 等腰或直角三角形

6.在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于_________.

7.在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于________．

8.△ABC中，若∠B=30°,AB=2,AC=2,则△ABC的面积为___      _.

9.根据所给条件，判断△ABC的形状. ．

10．已知△的内角的对边分别为，其中，

又向量m，n，m·n=1．

（1）若，求的值；

（2）若，求△的面积．


三、巩固练习二

1 在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是.(    )

A.等腰直角三角形   B.直角三角形  C.等腰或直角三角形 D.等边三角形

2、

4. 在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为________．

5、在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A，C和边c

6．根据所给条件，判断△ABC的形状.acosA=bcosB；

7.已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．

   （Ⅰ）求；

   （Ⅱ）若，求的面积．

 

第二篇：高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习

高中数学必修5  第一章 解三角形复习

一、知识点总结

【正弦定理】

1．正弦定理: (R为三角形外接圆的半径).

2.正弦定理的一些变式：

；；

；（4）

3．两类正弦定理解三角形的问题：

（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）

4.在中，已知a,b及A时，解得情况：

解法一：利用正弦定理计算

解法二：

【余弦定理】

1．余弦定理：  

2.推论：   .

设、、是的角、、的对边，则：

①若，则；

②若，则；

③若，则．

3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.

                             （2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

【面积公式】

已知三角形的三边为a,b,c,

1.（其中为三角形内切圆半径）

2.设,(海伦公式)

【三角形中的常见结论】

（1）(2)

,;,

（3）若

若

（大边对大角，小边对小角）

（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

（5）三角形中最大角大于等于，最小角小于等于

(6)锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.

钝角三角形最大角是钝角最大角的余弦值为负值

（7）中，A,B,C成等差数列的充要条件是.

(8)为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列，且a,b,c成等比数列.

二、题型汇总

题型1【判定三角形形状】

判断三角形的类型

（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

（2）在中，由余弦定理可知:

（注意：）

(3) 若，则A=B或.

例1.在中，，且，试判断形状.



题型2【解三角形及求面积】

一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

例2.在中，，，，求的值

例3.在中，内角对边的边长分别是，已知，．
　　（Ⅰ）若的面积等于，求；
　　（Ⅱ）若，求的面积．

题型3【证明等式成立】

证明等式成立的方法：（1）左右，（2）右左，（3）左右互相推.

例4.已知中，角的对边分别为，求证：.



 题型4【解三角形在实际中的应用】

仰角   俯角    方向角   方位角    视角

例5．如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？

              多做练习，有助于巩固掌握知识点

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