解直角三角形知识点总结

           解直角三角形    济宁学院附属中学

直角三角形的性质     

    1、直角三角形的两个锐角互余

几何表示：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

几何表示：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=AB

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

几何表示：∵∠ACB=90°  D为AB的中点  ∴  CD=AB=BD=AD 

4、勾股定理：

5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项

∵∠ACB=90°CD⊥AB         

  ∴

6、常用关系式

由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC

锐角三角函数的概念   

   如图，在△ABC中，∠C=90°

锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数

锐角三角函数的取值范围：0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.

锐角三角函数之间的关系

（1）平方关系

（2）倒数关系

tanAtan(90°—A)=1

（3）弦切关系

tanA=  cotA=

（4）互余关系

sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)

tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)

特殊角的三角函数值

说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°~90°之间变化时.

（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

 解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。解直角三角形的理论依据：以上.

对实际问题的处理

（1）俯、仰角.   

（2）方位角、象限角.

（3）坡角、坡度.

补充：在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。

有关公式

（1）==

（2）Rt△面积公式：

（3）结论：直角三角形斜边上的高

（4）测底部不可到达物体的高度．如右图，

在Rt△ABP中，

BP=xcotα

在Rt△AQB中，

BQ=xcotβ

BQ—BP=a，

即xcotβ-xcotα=a．

解直角三角形的知识的应用，可以解决：

(1)测量物体高度．

(2)有关航行问题．

(3)计算坝体或边路的坡度等问题

 

第二篇：解三角形知识点小结

解三角形知识点小结

一、知识梳理

1.形如的函数：

（1）几个物理量：A—振幅；—频率（周期的倒数）；—相位；—初相；

（2）函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，

（3）函数图象的画法：①“五点法”——设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：

（4）函数的图象与图象间的关系：若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位，如（1）函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象？（答：向上平移1个单位得的图象，再向左平移个单位得的图象，横坐标扩大到原来的2倍得的图象，最后将纵坐标缩小到原来的即得的图象）；(2) 要得到函数的图象，只需把函数的图象向___平移____个单位（答：左；）；（3）将函数图像，按向量平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量）；（4）若函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点，则的取值范围是                                 （答：）

（5）研究函数性质的方法：类比于研究的性质，只需将中的看成中的，但在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。

（1）函数的递减区间是______（答：）；

（2）的递减区间是_______（答：）；

（3）（4）（5）函数的单调减区间为（  ）

A                  B   

C   2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.

形式一：  (解三角形的重要工具)

形式二：         (边化正弦)

形式三：（比的性质）

形式四：（正弦化边）

3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..

形式一：

 (遇见二次想余弦)

形式二： ，，

二、经典例题

问题一：利用正弦定理解三角形

【例1】在中，若，,，则              .

【例2】在△ABC中，已知a=,b=,B=45°,求A、C和c.

问题二：利用余弦定理解三角形

【例3】设的内角所对的边分别为.已知，，.

（Ⅰ）求的周长，（Ⅱ）求的值.

【例4】设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc .

(Ⅰ) 求sinA的值；(Ⅱ)求的值.

练习：在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且=-.

（1）   求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积.

问题三：正弦定理余弦定理综合应用

【例5】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．

（I）        求的值；（II）若cosB=，

【例6】在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b         

练习：在分别为内角A、B、C的对边，且

   （Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，试判断的形状。

问题四：三角恒等变形

【例7】△中，所对的边分别为，,.（1）求；（2）若,求.  

   

问题五：判断三角形形状

【例8】在△ABC中，，bcosA＝cosB，试判断三角形的形状.

【例9】 在△ABC中，若＝，试判断三角形的形状.

练习1.在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是

  2.在△ABC中，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.

问题六：与其他知识综合

【例10】已知向量，其中A，B，C是△ABC的内角，a,b,c分别是角A，B，C的对边.（1）求角C的大小；（2）求的取值范围.

练习：在中，角所对的边分别为，且满足，．  （I）求的面积；   （II）若，求的值．

问题7：三角实际应用

【例11】．（2007山东）20（本小题满分12分）如图,甲船以每小时海里

的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处

时,乙船位于甲船的北偏西的方向处,此时两船相距20海里.当甲

船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方

向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?

三、课后跟踪训练

1.若△的三个内角满足，则△     （     ）

（A）一定是锐角三角形.         （B）一定是直角三角形.

（C）一定是钝角三角形.          (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.

2.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=(      )    （A）    （B）      （C）     （D）

3.在中，a=15,b=10,A=60°，则=

A －  B  C － D

4.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,  A+C=2B, 则sinC=     .

5在锐角中，则的值等于        ， 的取值范围为        .  

6.在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且

 求b         

7．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求的值。

8.在中，为锐角，角所对的边分别为，且

 （I）求的值；（II）若，求的值。     

9.在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.

   

10.在中，分别为内角的对边，

且

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）若，试判断的形状.

11. 在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且

    （Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求的最大值.

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