n

数列通项an与前n项和Sn的关系

?S1

1．Sn?a1?a2?a3???an??ai 2．an??

i?1?Sn?Sn?1

n?1n?2

第一部分 等差数列 一 定义式： an?an?1?d

??am?(n?m)d

二 通项公式：an?

?a?(n?1)d?1

一个数列是等差数列的等价条件：an?an?b(a，b为常数)，即an是

关于n的一次函数，因为n?Z，所以an关于n的图像是一次函数图像的分点表示形式。 三 前n项和公式： Sn?

n(a1?an)n(n?1)

?na1?d 22

一个数列是等差数列的另一个充要条件：Sn?an2?bn?c(a，b,c为常

数，a≠0)，即Sn是关于n的二次函数，因为n?Z，所以Sn关于n的图像是二次函数图像的分点表示形式。

四 性质结论1. a与b的等差中项A?a?b；

2

2. 在等差数列?an?中，若m?n?p?q，则

am?an?ap?aq；若m?n?2p，则am?an?2ap; 3. Sn,S2n?Sn,S3n?S2n仍成等差数列.

第二部分 等比数列 一 定义：

an

?q(n?2,an?0,q?0)?{a}n成等比数列。 an?1

n?1n?m

二 通项公式：an?a1q，an?amq

(q?1)?na1

?

三 前n项和：Sn??a1(1?qn)a1?an?1q；

?(q?1)?1?q1?q?

四 性质结论：1.a与b的等比中项

G?G2?ab?G?(a,b同号)；

2.在等比数列?an?中，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；

若m?n?2p，则am?an?ap2；

?仍成等比数列。 4. q??1时，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n，

1

第三部分 递推数列求通项公式 类型1 an?1?an?f(n) (累加法)

解法：把原递推公式转化为an?1?an?f(n)，利用累加法求解。 例:已知数列?an?满足a1?，an?1?an?n，求an。 类型2 an?1?f(n)an (累乘法) 解法：把原递推公式转化为

23

an?1

?f(n)，利用累乘法求解。 an

12

例:已知数列?an?满足a1?，an?1?

n

an，求an。 n?1

类型3 an?1?pan?q（其中p，q均为常数）。(辅助数列法) 例:已知数列?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an.

类型4 递推公式为Sn与an的关系式。(或Sn?f(an)) （Sn法） 解法：这种类型一般利用an??

?S1????????????????(n?1)

与

?Sn?Sn?1???????(n?2)

例：已知数列?an?前n项和Sn?n2?4n?1,求通项公式an. 第四部分 求前n项和Sn

一 直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式：Sn?

n(a1?an)n(n?1)

?na1?d 22

?na1(q?1)n

（2）等比数列的求和公式Sn?? ?a1(1?q)(q?1)（切记：公比要讨论）

??1?q

二 裂项相消法： 求数列?

?

1?

?的前n项和，其中?an?是等差数列。 ?anan?1?

三 错位相减法：求数列?anbn?的前n项和，其中?an?是等差数列，?bn?是

等比数列。

?bn?是四 分组求和法：求数列?an?bn?的前n项和，其中?an?是等差数列，

等比数列。

2

 

第二篇：高中数学数列知识点总结

数列

一、数列定义：

     数列是按照一定次序排列的一列数，是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为；  通常用代替，于是数列的一般形式常记为或简记为，其中表示数列的通项。

注意：（1）与是不同的概念，表示数列，而表示的是数列的第项；

（2）和之间的关系：

二、等差数列、等比数列的性质：

三、判定方法：

（1）等差数列的判定方法：

①定义法：或（为常数）是等差数列

②中项公式法：是等差数列

③通项公式法：（为常数）是等差数列

④前项和公式法：（为常数）是等差数列

（2）等比数列的判定方法：

①定义法：或（是不为零的常数）是等比数列

②中项公式法：是等差数列

③通项公式法：（是不为零常数）是等差数列

④前项和公式法：（是常数）是等差数列

四、数列的通项求法：

（1）观察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，……（2）21，203，2005，20007，……

（2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。

①递推式为及（为常数）：直接运用等差（比）数列。

②递推式为：迭加法

如：已知中，，求

③递推式为：迭乘法

如：已知中，，求

④递推式为（为常数）：

构造法：Ⅰ、由相减得，则

为等比数列。

Ⅱ、设，得到，，则 为等比数列。

如：已知，求

⑤递推式为（为常数）：

两边同时除去得，令，转化为，再用④法解决。

如：已知中，，，求

⑥递推式为（为常数）：

将变形为，可得出解出，于是是公比为的等比数列。

如：已知中，，，求

（3）公式法：运用

①已知，求；②已知中， ，求；

③已知中，，求

五、数列的求和法：

（1）公式法：

①等差（比）数列前项和公式：②；

③；④

（2）倒序相加（乘）法：

如：①求和：；

②已知为不相等的两个正数，若在之间插入个正数，使它们构成以为首项，为末项的等比数列，求插入的这个正数的积；

（3）错位相减法：如：求和：

（4）裂项相消法：             ；             ；

如：①           ；

②           ；

③若，则               ；

（5）并项法：如：求

（6）拆项组合法：如：在数列中，，求，

六、数列问题的解题的策略：

分类讨论问题：

①   在等比数列中，用前项和公式时，要对公比进行讨论；只有 时才能用前项和公式，时

②已知求时，要对进行讨论；最后看满足不满足，若满足中的扩展到，不满足分段写成www.ks5u.com