高中数学 数列

考试内容： 数列．

等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式． 等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式． 考试要求：

（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．

（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．

§03. 数 列 知识要点

⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①an?an?1?d(n?2,d为常数) ②2an?an?1?an?1(n?2) ③an?kn?b(n,k为常数).

⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①an?an?1q(n?2,q为常数,且?0)

2②an?an?1?an?1(n?2，anan?1an?1?0)

①

注①：i. b?ac，是a、b、c成等比的双非条件，即b?acii. b?ac（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要. iii. b??→为a、b、c等比数列的必要不充分. iv. b??ac且ac?0→为a、b、c等比数列的充要.

、b、c等比数列.

注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个. ③an?cqn(c,q为非零常数).

④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x?1）成等比数列. ⑷数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：

?s1?a1(n?1)an??

?sn?sn?1(n?2)

[注]： ①an?a1??n?1?d?nd??a1?d?（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）.

d?d?d??

②等差{an}前n项和Sn?An2?Bn???n2??a1??n →可以为零也可不为零→为等差

2?2?2??的充要条件→若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.

③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） ．．2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍Sk,S2k?Sk,S3k?S2k...； ②若等差数列的项数为2nn?N

?

?

?，则S偶?S奇?ndS?

S奇

偶

?

an

an?1；

S偶

?n n?1

③若等差数列的项数为2n?1n?N?，则S2n?1??2n?1?an，且S奇?S偶?an，S奇 ?代入n到2n?1得到所求项数. 3. 常用公式：①1+2+3 …+n =②12?22?32??n2?

n?n?1? 2

?

n?n?1??2n?1?

6

?n?n?1??

③13?23?33?n3??? 2??

2

[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…?an?10n?1； 5，55，555，…?an?

5n

10?1. 9

??

4. 等比数列的前n项和公式的常见应用题：

⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1?r. 其中第n年产量为a(1?r)n?1，且过n年后总产量为：

2

n?1

a?a(1?r)?a(1?r)?...?a(1?r)

a[a?(1?r)n]?.

1?(1?r)

⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a(1?r)n元. 因此，第二年年初可存款：

12

11

10

a(1?r)?a(1?r)?a(1?r)

a(1?r)[1?(1?r)12]

. ?...?a(1?r)=

1?(1?r)

⑶分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.

a?1?r??x?1?r?

m

m?1

?x?1?r?

m?2

?......x?1?r??x?a?1?r?

m

x?1?r?m?1ar?1?r?m??x? mr?1?r??1

5. 数列常见的几种形式：

⑴an?2?pan?1?qan（p、q为二阶常数）?用特证根方法求解.

具体步骤：①写出特征方程x2?Px?q（x2对应an?2，x对应an?1），并设二根x1,x2②若x1?x2

nn可设an.?c1xn1?c2x2，若x1?x2可设an?(c1?c2n)x1；③由初始值a1,a2确定c1,c2.

⑵an?Pan?1?r（P、r为常数）?用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为an?2?Pan?1?qan的形式，再用特征根方法求an；④an?c1?c2Pn?1（公式法），c1,c2由a1,a2确定.

①转化等差，等比：an?1?x?P(an?x)?an?1?Pan?Px?x?x?②选代法：an?Pan?1?r?P(Pan?2?r)?r???an?(a1??Pn?1a1?Pn?2?r???Pr?r.

r

. P?1

rr)Pn?1??(a1?x)Pn?1?x P?1P?1

③用特征方程求解：

an?1?Pan?r?

（P?1）an?Pan?1. ?an?1?an?Pan?Pan?1?an?1??相减，

an?Pan?1?r?

④由选代法推导结果：c1?

rrrr

. ，c2?a1?，an?c2Pn?1?c1?（a1?）Pn?1?

1?PP?1P?11?P

6. 几种常见的数列的思想方法：

⑴等差数列的前n项和为Sn，在d?0时，有最大值. 如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：

一是求使an?0,an?1?0，成立的n值；二是由Sn?

d2d

n?(a1?)n利用二次函数的性质求n22

的值.

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依

111

照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：1?,3,...(2n?1)n,...

242⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第

一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.

7. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an?an?1(

an

)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证an?1

2

2an?1?an?an?2(an?1?anan?2)n?N都成立。

?am?08. 在等差数列｛an｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当a1>0,d<0时，满足?的项数m

a?0?m?1

使得sm取最大值. (2)当a1<0,d>0时，满足?

?am?0

的项数m使得sm取最小值。在解含绝

?am?1?0

对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 （三）、数列求和的常用方法

1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于?

?

c?

?其中{ an}是各项不为0的等差数列，c为常数；部

?anan?1?

分无理数列、含阶乘的数列等。

3.错位相减法:适用于?anbn?其中{ an}是等差数列，?bn?是各项不为0的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

5.常用结论

1）: 1+2+3+...+n =

n(n?1)

2

2

2） 1+3+5+...+(2n-1) =n

?1?

3）1?2???n??n(n?1)?

?2?

3

3

3

2

4） 1?2?3???n?

2222

1

n(n?1)(2n?1) 6

5）

1111111

???(?)

n(n?1)nn?1n(n?2)2nn?21111?(?)(p?q) pqq?ppq

6）

 

第二篇：高中数学数列知识点总结

数列

一、数列定义：

     数列是按照一定次序排列的一列数，是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为；  通常用代替，于是数列的一般形式常记为或简记为，其中表示数列的通项。

注意：（1）与是不同的概念，表示数列，而表示的是数列的第项；

（2）和之间的关系：

二、等差数列、等比数列的性质：

三、判定方法：

（1）等差数列的判定方法：

①定义法：或（为常数）是等差数列

②中项公式法：是等差数列

③通项公式法：（为常数）是等差数列

④前项和公式法：（为常数）是等差数列

（2）等比数列的判定方法：

①定义法：或（是不为零的常数）是等比数列

②中项公式法：是等差数列

③通项公式法：（是不为零常数）是等差数列

④前项和公式法：（是常数）是等差数列

四、数列的通项求法：

（1）观察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，……（2）21，203，2005，20007，……

（2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。

①递推式为及（为常数）：直接运用等差（比）数列。

②递推式为：迭加法

如：已知中，，求

③递推式为：迭乘法

如：已知中，，求

④递推式为（为常数）：

构造法：Ⅰ、由相减得，则

为等比数列。

Ⅱ、设，得到，，则 为等比数列。

如：已知，求

⑤递推式为（为常数）：

两边同时除去得，令，转化为，再用④法解决。

如：已知中，，，求

⑥递推式为（为常数）：

将变形为，可得出解出，于是是公比为的等比数列。

如：已知中，，，求

（3）公式法：运用

①已知，求；②已知中， ，求；

③已知中，，求

五、数列的求和法：

（1）公式法：

①等差（比）数列前项和公式：②；

③；④

（2）倒序相加（乘）法：

如：①求和：；

②已知为不相等的两个正数，若在之间插入个正数，使它们构成以为首项，为末项的等比数列，求插入的这个正数的积；

（3）错位相减法：如：求和：

（4）裂项相消法：             ；             ；

如：①           ；

②           ；

③若，则               ；

（5）并项法：如：求

（6）拆项组合法：如：在数列中，，求，

六、数列问题的解题的策略：

分类讨论问题：

①   在等比数列中，用前项和公式时，要对公比进行讨论；只有 时才能用前项和公式，时

②已知求时，要对进行讨论；最后看满足不满足，若满足中的扩展到，不满足分段写成www.ks5u.com