递推数列分类解析

（1） an?1=an+f(n)类型————逐差法

例：an?1= an+n-2，a1=1,求通项公式。

2

答案：an=(n-5n+6)/2

(2) an?1=f(n)*an-----------------逐商法

例：已知a1=1，an= a1+2a2+3a3+……+（n-1）an?1（n≥2） 则an=﹛1,n=1

___,n≥2 [04全国Ⅰ]

解： 由已知得，an?1= a1+2a2+3a3+……+（n-1）an?1+n an 与上式相减得

n≥2时，an?1- an=n an即an?1=(n+1) an

又a1=1 , a2/a1=1, a3/ a2=3, a4/ a3=4,……, an/ an?1=n 以上各式相乘得

an=1*1*2*3*4*%*……*n=n！/2(n>=2)

(3) an?1=p an+q(p≠1,q≠0)----------待定系数法构造等比数列 即令an?1+λ=p(an+λ),与已知式对比系数

（4）Sn=f(an)

一般利用an=S1(n=1); Sn-Sn?1(n≥2)

(5)* an?1=pan+r*q( p≠1,0,q≠0,r≠0)

当p≠q时，一般用待定系数法构造等比数列，即令an?1+λq

nn?1n=p（an+λq） n对比系数得λ(p-q)=r,即λ=r、（p-q）转化为{ an+ q *r/(p-q)}为等比数列；当p=q时，

an?1=p an+r q，将递推式两边同时除以qnn?1，得an?1/ qn?1= an/ q+r/q,从而转化为{ an/ n

q}是等差数列

例：Sn=3/4* an-1/3*2^(n+1)+3/2,n=1,2,3,……求数列{ an}的通项。【06全国Ⅰ】 解：当n=1时，S1= a1=3/4* a1-1/3*4+2/3 得a1=2

n≥2时，Sn- Sn?1= an=4/3* an-4/3 an?1-1/3*2^(n+1)+1/3*2^n

化简得an=4 an?1+2^n ○1

设an+λ*2^n=4(an?1+λ*2^(n-1))即an=4 an?1+λ2^n,与○1式比较得，λ=1 ∴an+2^n=4(an?1+2^n)

∴{an+2^n}是以4为首项、4为公比的等比数列

∴2^n+an=4^n an=4^n-2^n

(6) an?1=pan+a*n+b (p≠1,0,a≠0)

一般用待定系数法构造等比数列，即令an?1+x（n+1）+y=p（an+xn+y） 与已知式比较，解出x，y，转化为{an+xn+y}是以p为公比的等比数列 例：{an}中a1=1/2,点（n, 2an?1-an）在直线y=x上，其中n=1，2，3，……求an【06山东】 解：∵2an?1-an=n,

∴an?1=1/2*an+n/2

所以令an?1+x（n+1）+y=1/2(an+xn+y)

an?1=1/2*an-x/2*n-x-1/2*y,与○1式比较得

x=-1，y=2

∴an?1-（n+1）+2=1/2(an-n),又a1=1/2

所以{an-n=2}是以3/2为首项，1/2为公比的等比数列

所以 -n+2+an=3/2*(1/2)^(n-1)=3/(2^n)

∴

an=3/(2^n)+n-2 n

(7) an?1=p*ar

n(p>0, an>0)

两边取对数后转化为类型（3）

例：已知an>0，a0=1，an?1=1/2 *an(4- an),n∈N【05江西】

（1） 证明：an<an?1<2,.n∈N

（2） 求an

（1） 证明：略（用数学归纳法并结合f（x）=1/2*x(4-x)单调性证明）

（2） 解：因为an?1=1/2an（3-an）=-1/2(an-2)^2+2

所以 2-an?1=1/2(2-an)^2

由（1）知2-an>0,

所以 log2

令bn= log2（2- an?1）=-1+2 log2(2- an) （2- an）则bn?1=-1+2 bn

所以bn?1-1=2（bn-1）

故{ bn-1}是以2为公比的等比数列

得bn=1-2^n= log2(2- an)

所以 an=2-2^(1-2^n)

(8) an?1={f(n)* an}/(g(n) an+h(n))

两边取倒数后转化为类型（3）

（9）an?2=p an?1+q an

一般利用an?2-αan?1=β（an?1-αan）构造等比数列

例：【06福建】已知a1=1，a2=3，an?2

-2 an，求数列的通项。

=3 an?1

（10） an?1=（p an+q）/(r an+m)【特征方程】

当特征方程x=（px+q）/（rx+m）有两个不同的根x1与x2时，{ (an-x1)/( an-x2)}是等比数列；当它仅有一根x0时，{1/（an-x0）}是等差数列

例【05重庆】已知a1=1，8 an?1*an-16 an?1+2 an+5=0求an

（11）周期型：找出周期

（12）an+ an?1=pn+q或an* an?1=p*q^n

一般转化为{a2n?1}与{a2n}是等差或等比数列

（13）归纳猜想法

【06全国Ⅱ】

设{ an}的前n项和为Sn，且方程x^2- anx]- an=0有一根为Sn-1，n=1，2，……

（1） 求a1 ，a2

（2） 求通项

 

第二篇：【原创】递推数列求和公式分类总结

递推数列分类解析

（1） an?1=an+f(n)类型————逐差法

例：an?1= an+n-2，a1=1,求通项公式。

2

答案：an=(n-5n+6)/2

(2) an?1=f(n)*an-----------------逐商法

例：已知a1=1，an= a1+2a2+3a3+……+（n-1）an?1（n≥2）

则an=﹛1,n=1

___,n≥2 [04全国Ⅰ]

解： 由已知得，an?1= a1+2a2+3a3+……+（n-1）an?1+n an

与上式相减得

n≥2时，an?1- an=n an即an?1=(n+1) an

又a1=1 , a2/a1=1, a3/ a2=3, a4/ a3=4,……, an/ an?1=n

以上各式相乘得

an=1*1*2*3*4*%*……*n=n！/2(n>=2)

(3) an?1=p an+q(p≠1,q≠0)----------待定系数法构造等比数列 即令an?1+λ=p(an+λ),与已知式对比系数

（4）Sn=f(an)

一般利用an=S1(n=1); Sn-Sn?1(n≥2)

(5)* an?1=pan+r*q( p≠1,0,q≠0,r≠0)

当p≠q时，一般用待定系数法构造等比数列，即令an?1+λq

nn?1n=p（an+λq） n对比系数得λ(p-q)=r,即λ=r、（p-q）转化为{ an+ q *r/(p-q)}为等比数列；当p=q时，

an?1=p an+r q，将递推式两边同时除以qnn?1，得an?1/ qn?1= an/ q+r/q,从而转化为{ an/ n

q}是等差数列

例：Sn=3/4* an-1/3*2^(n+1)+3/2,n=1,2,3,……求数列{ an}的通项。【06全国Ⅰ】 解：当n=1时，S1= a1=3/4* a1-1/3*4+2/3 得a1=2

n≥2时，Sn- Sn?1= an=4/3* an-4/3 an?1-1/3*2^(n+1)+1/3*2^n

化简得an=4 an?1+2^n ○1

设an+λ*2^n=4(an?1+λ*2^(n-1))即an=4 an?1+λ2^n,与○1式比较得，λ=1

∴an+2^n=4(an?1+2^n)

∴{an+2^n}是以4为首项、4为公比的等比数列

∴2^n+an=4^n an=4^n-2^n

(6) an?1=pan+a*n+b (p≠1,0,a≠0)

一般用待定系数法构造等比数列，即令an?1+x（n+1）+y=p（an+xn+y）

与已知式比较，解出x，y，转化为{an+xn+y}是以p为公比的等比数列

例：{an}中a1=1/2,点（n, 2an?1-an）在直线y=x上，其中n=1，2，3，……求an【06山东】 解：∵2an?1-an=n,

∴an?1=1/2*an+n/2

所以令an?1+x（n+1）+y=1/2(an+xn+y)

an?1=1/2*an-x/2*n-x-1/2*y,与○1式比较得

x=-1，y=2

∴an?1-（n+1）+2=1/2(an-n),又a1=1/2

所以{an-n=2}是以3/2为首项，1/2为公比的等比数列

所以 -n+2+an=3/2*(1/2)^(n-1)=3/(2^n)

∴

an=3/(2^n)+n-2 n

(7) an?1=p*ar

n(p>0, an>0)

两边取对数后转化为类型（3）

例：已知an>0，a0=1，an?1=1/2 *an(4- an),n∈N【05江西】

（1） 证明：an<an?1<2,.n∈N

（2） 求an

（1） 证明：略（用数学归纳法并结合f（x）=1/2*x(4-x)单调性证明）

（2） 解：因为an?1=1/2an（3-an）=-1/2(an-2)^2+2

所以 2-an?1=1/2(2-an)^2

由（1）知2-an>0,

所以 log2

令bn= log2（2- an?1）=-1+2 log2(2- an) （2- an）则bn?1=-1+2 bn

所以bn?1-1=2（bn-1）

故{ bn-1}是以2为公比的等比数列

得bn=1-2^n= log2(2- an)

所以 an=2-2^(1-2^n)

(8) an?1={f(n)* an}/(g(n) an+h(n))

两边取倒数后转化为类型（3）

（9）an?2=p an?1+q an

一般利用an?2-αan?1=β（an?1-αan）构造等比数列

例：已知a1=1，a2=3，an?2

-2 an，求数列的通项。

=3 an?1

（10） an?1=（p an+q）/(r an+m)【特征方程】

当特征方程x=（px+q）/（rx+m）有两个不同的根x1与x2时，{ (an-x1)/( an-x2)}是等比数列；当它仅有一根x0时，{1/（an-x0）}是等差数列

例已知a1=1，8 an?1*an-16 an?1+2 an+5=0求an

（11）周期型：找出周期

（12）an+ an?1=pn+q或an* an?1=p*q^n

一般转化为{a2n?1}与{a2n}是等差或等比数列

（13）归纳猜想法

设{ an}的前n项和为Sn，且方程x^2- anx]- an=0有一根为Sn-1，n=1，2，……

（1） 求a1 ，a2

（2） 求通项

画图分情况讨论

（1）a>0时，f(x)与x轴的两个交点为0，-1，开口向上，最低点为

（-1/2,-a/4）,画出图像，g(x)的图像为y=x向右移动a个单位，此时x=-1/2时，g(x)=-1/2-a,所以f（x）和g（x）没有交点，此种情况舍去。

（2）a<0时,f(x)与x轴的两个交点为0，-1，开口向下，最高点为

（-1/2,-a/4）,画出图像，g(x)的图像仍为y=x向右移动a个单位，与f(x)交点为p,q,其中一个大于0，一个小于0，由题意知p>0,从图上可以看出，x属于（0，p）时，g(x)图像在f(x)下方，所以g(x)《f(x)，又此时a<0,p>0,p-a>0,而f(x)《0，所以有g(x)《f(x)《p-a

 

第三篇：数列 知识点总结及数列求和,通项公式的方法归纳(附例题)

                                    数 列

数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、通项公式，递推公式、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等.

1.数列的有关概念：

（1）   数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.

（2）   从函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数。当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。由于自变量的值是离散的，所以数列的值是一群孤立的点。

（3）   通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即.如: 。

（4）   递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，，其中是数列的递推公式.再如: 。

2．数列的表示方法：

（1）   列举法：如1，3，5，7，9，… （2）图象法：用（n, a_n）孤立点表示。

（3）   解析法：用通项公式表示。     （4）递推法：用递推公式表示。

3．数列的分类：

按有界性

4．数列{a_n}及前n项和之间的关系:

          

等差数列

1.等差数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的公差.

   2.通项公式与前项和公式

⑴通项公式，为首项，为公差.可变形为

⑵前项和公式或.

3.等差中项

如果成等差数列，那么叫做与的等差中项.

即：是与的等差中项，，成等差数列.

4.等差数列的判定方法

⑴定义法：（，是常数）是等差数列；

⑵中项法：()是等差数列.

5.常用性质：是等差数列

（1）若，则

（2）数列、（是常数）都是等差数列；在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为。

（3）仍为等差数列，公差为；是等差数列。

（4）若三个成等差数列，可设为；四个数成等差数列，可设为

（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）。（(,是常数)）

的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，

即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.

当，由可得达到最小值时的值.

(6) 项数为偶数的等差数列，有

，.

（7）项数为奇数的等差数列，有

，

    ，.

等比数列

1.等比数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，常数称为等比数列的公比.

   2.通项公式与前项和公式

⑴通项公式：，为首项，为公比 . 可变形为

⑵前项和公式：①当时，

②当时，.

3.等比中项

如果成等比数列，那么叫做与的等比中项.

即：是与的等比中项，，成等比数列.

4.等比数列的判定方法

⑴定义法：（，是常数）是等比数列；

⑵中项法：()且是等比数列.

5.常用性质

⑴数列是等比数列，则数列是等比数列；等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为；仍为等比数列,公比为.

⑵若，则；

⑶如果三个数构成等比数列，则设其为；若四个数成等比数列，则可设其为。

⑷等比数列的通项公式可以改写成。当是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积。

通项公式，数列求和

一、求数列通项公式

1）给出递推公式求通项公式

1°递推关系形如"，是可求和的。可利用迭加法或迭代法：

例1：已知数列中，，求数列的通项公式；

例2：已知数列满足，求数列的通项公式。

2°递推关系形如"，是可求积的。可利用迭乘法：

例1：数列中，，求

例2：已知数列满足：，求数列的通项公式；

例3：已知数列满足，，求数列的通项公式。

3°递推关系形如“”，可利用待定系数法：可把它变为为待定系数。令，先求数列的通项公式，进而求的通项公式。

例1：已知数列中，，求数列的通项公式.

例2： 已知数的递推关系为，且求通项。

4°递推关系形如“”，两边同除以（）并采用待定系数法求解或者直接采用待定系数法（）。

例1. 已知数列满足，求数列的通项公式。

例2. 已知数列满足，求数列的通项公式。

5°递推已知数列中，关系形如“”，利用待定系数法求解（）

例1：已知数列中，，求数列的通项公式.

例2：在数列中，,，，求。

6°递推关系形如",两边同除以（）

例1：已知数列中，，求数列的通项公式.

例2：数列中，，求数列的通项公式.

2）给出前n项和求通项公式

例1：⑴；  ⑵.

3）、给出关于和的关系

例1：数列满足，求

例2：设是数列的前项和，，.求的通项

例3：已知数列中，，前项和与的关系是  ，试求通项公式。

例4：已知数列的前项和为，且满足．求数列的通项公式。

二. 求数列前n项和的常用方法

1）公式法:直接由等差，等比数列的求和公式求和，注意等比时q=1和的讨论。

等差数列求和公式：  

等比数列求和公式：

例1： 已知，求的前n项和.

例2： 设S_n＝1+2+3+…+n，n∈N^*,求的最大值.

2）拆项求和法： 通过拆分、合并、分组，将所求和转化为等差、等比数列求和

例1：求和：2×5+3×6+4×7+…+n（n+3）

例2：求数列的前n项和：，…

例3：求数列 的前项和

例4：求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

3）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

相加

例1： 求的值

例2：如已知函数f(x)对任意x∈R都有，

+… ，（），求

例3：设，求的值

例4：已知，

那么_____

4)裂项相消法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 数列的常见拆项有：；

例1：在数列{a_n}中，，又，求数列{b_n}的前n项的和.

例2：求和：S=1+

例3：求和：.

5）错位相减法

若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.

例1：求                              

例2：若数列的通项，求此数列的前项和.

例3： 求数列前n项的和.

常用的公式：