求数列通项公式的常用方法：

1、公式法

2、

   

3、求差（商）法

   

    解：

   

   

   

［练习］

   

   

   

   

   4、叠乘法

   

    解：

   

    5、等差型递推公式

 

   

    

   

［练习］

   

   

  6、等比型递推公式

   

   

   

   

   

   

   

［练习］

   

   

   7、倒数法

   

   

   

   

   

 

2．数列求和问题的方法

（1）、应用公式法

等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。

 

1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2

（2）、分解转化法

对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。

【例9】求和S=1·（n2-1）+ 2·（n2-22）+3·（n2-32）+…+n（n2-n2）

解  S=n2（1+2+3+…+n）-（13+23+33+…+n3）

（3）、倒序相加法

适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。

例10、求和：

例10、解    

∴ Sn=3n·2n-1

（4）、错位相减法

如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和．

例11、 求数列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n项的和．

解  设Sn=1+3+5x2+…+(2n-1)xn-1．    ①

(2)x=0时，Sn=1．

(3)当x≠0且x≠1时，在式①两边同乘以x得 xSn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn，②

①-②，得  (1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-(2n-1)xn．

(5)裂项法：

把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。

常见裂项方法：

例12、求和

注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。

  在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。

求通项公式

（1）观察法。（2）由递推公式求通项。

对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。

(1)递推式为an+1=an+d及an+1=qan（d，q为常数）

例1、  已知{an}满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。

例1、解  ∵an+1-an=2为常数    ∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列

∴an=1+2（n-1）  即an=2n-1

例2、已知满足，而，求=？

（2）递推式为an+1=an+f（n）

例3、已知中，，求.

解： 由已知可知

令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）

 

                                                                                                               

★         说明  只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求an。

(3)递推式为an+1=pan+q（p，q为常数）

例4、中，，对于n＞1（n∈N）有，求.

解法一： 由已知递推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1）

因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=（3×1+2）-1=4

∴an+1-an=4·3n-1     ∵an+1=3an+2  ∴3an+2-an=4·3n-1       即 an=2·3n-1-1

解法二： 上法得{an+1-an}是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32，…，an-an-1=4·3n-2，

 

把n-1个等式累加得：                                                      ∴an=2·3n-1-1

(4)递推式为an+1=p an+q n（p，q为常数）

 

  由上题的解法，得： ∴

 (5)递推式为

思路：设,可以变形为：，

想

于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。

求。

  

 

(6)递推式为Sn与an的关系式

关系；（2）试用n表示an。

 

                                      ∴

∴               ∴ 

上式两边同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2则{2nan}是公差为2的等差数列。

∴2nan= 2+（n-1）·2=2n

等差数列前项和的最值问题：

1、若等差数列的首项，公差，则前项和有最大值。

（ⅰ）若已知通项，则最大；

（ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最大；

2、若等差数列的首项，公差，则前项和有最小值

（ⅰ）若已知通项，则最小；

（ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最小。

 

第二篇：根据数列递推公式求其通项公式方法总结

根据数列递推公式求其通项公式方法总结

已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧。

一、型数列，（其中不是常值函数)

此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为，从而就有

将上述个式子累加，变成，进而求解。

例1. 在数列中,

解：依题意有

逐项累加有，从而。

注：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.

类似题型练习：已知满足，求的通项公式。

二、型数列，（其中不是常值函数)

此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为，从而就有

将上述个式子累乘，变成，进而求解。

例2. 已知数列中，求数列的通项公式。

解：当时，将这个式子累乘，得到，从而，当时，，所以。

注：在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.

类似题型练习：在数列中, ＞0,,求.

提示：依题意分解因式可得，而＞0,所以，即。

三、型数列

此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设，展开整理，比较系数有，所以，所以是等比数列，公比为，首项为。二是用做差法直接构造，，，两式相减有，所以是公比为的等比数列。

例3. 在数列中，，当时，有，求的通项公式。

解法1：设，即有，对比，得，于是得，数列是以为首项，以3为公比的等比数列，所以有。

解法2：由已知递推式，得，上述两式相减，得，因此，数列是以为首项，以3为公比的等比数列。所以，即，所以。

类似题型练习：已知数列满足求数列的通项公式.

注：根据题设特征恰当地构造辅助数列,利用基本数列可简捷地求出通项公式.

四．型数列（p为常数）

此类数列可变形为，则可用累加法求出，由此求得.

例4已知数列满足,求.

解:将已知递推式两边同除以得,设,故有，,从而.

注：通过变形,构造辅助数列,转化为基本数列的问题,是我们求解陌生的递推关系式的常用方法.

若为的一次函数,则加上关于的一次函数构成一个等比数列; 若为的二次函数, 则加上关于的二次函数构成一个等比数列.这时我们用待定系数法来求解.

例5．已知数列满足

解:作,则,代入已知递推式中得:.

令

这时且

显然,,所以.

注：通过引入一些待定系数来转化命题结构,经过变形和比较,把问题转化成基本数列,从而使问题得以解决.

类似题型练习：

（1）已知满足，求。

（2）已知数列，表示其前项和，若满足，求数列的通项公式。

提示：（2）中利用，把已知条件转化成递推式。

五、型数列（为非零常数）

这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为型数列。

例6．已知数列满足,求.

解:两边取倒数得:,所以，故有。

类似题型练习：数列中，，求的通项。

六.型数列（为常数）

这种类型的做法是用待定糸数法设构造等比数列。

例5．数列中，且，求.

解法略。