题型四：求数列的通项公式

一.公式法：当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。

二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：和a_n-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法

1、叠加法：一般地，对于型如类的通项公式，且的和比较好求，我们可以采用此方法来求。

即：；

【例1】已知数列满足，求数列的通项公式。

解：（1）由题知：

      

             

2、叠乘法：一般地对于形如“已知a₁，且=f（n）（f（n）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。即：；

【例2】在数列｛｝中， =1,   (n+1)·=n·，求的表达式。

解：由(n+1)·=n·得，

=_··…=     所以

3、构造法：当数列前一项和后一项即和a_n-1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。具体有以下几种常见方法。

（1）、待定系数法：

①、一般地对于a_n=ka_n-1 +m(k、m为常数）型，可化为的形式a_n+λ=k(a_n-1 +λ).重新构造出一个以k为公比的等比数列，然后通过化简用待定系数法求λ，然后再求。

【例3】设b>0,数列满足a₁=b，.

求数列的通项公式；

解：，得，

设，则，

（ⅰ）当时，是以为首项，为公差的等差数列，

即，∴

（ⅱ）当时，设，则，

令，得，，

知是等比数列，，又，

，．

②、对于这种形式,一般我们讨论两种情况：

i、当f(n)为一次多项式时，即数列的递推关系为型，可化为的形式来求通项。

【例4】设数列中，，求的通项公式。

解：设

   与原式比较系数得：即

 令

  

ii、当f(n)为指数幂时，即数列递推关系为（A、B、C为常数，）型，可化为=）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求

当A=C时，我们往往也会采取另一种方法，即左右两边同除以C^{n +1},重新构造数列，来求。

【例5】设为常数，且（），

证明：对任意n≥1，

解：证明：设 用代入可得

∴  是公比为，首项为的等比数列，

∴  （），

即：

（2）、倒数法：一般地形如、等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。

【例6】.已知数列满足：，求的通项公式。

  解：原式两边取倒数得：

       

      即

（3）、对数法：当数列和a_n-1的递推关系涉及到高次时，形如：a_n^p = ma_n-1^q（其中m、p、q为常数）等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次，再重新构造数列进行求解。

【例7】若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁

解  由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列， ，即.

（4）、特征方程法

①、一般地对于形如已知a_n+2=A a_n+1 +B a_n  (A、B是常数）的二阶递推数列，我们可以采取两种方法来求通项。

 法一：可用特征方程的方法求解：

我们称方程：x²-Ax-B=0为数列的特征方程

（i）当方程有两个相异的实根（或虚根）p、q时，有：，其中c₁与c₂由已知确定。

（ii）当方程有唯一的实根p时，有，其中c₁与c₂由已知确定。

法二：可构造成，则{}为等比数列，进而求通项公式，这种方法过程较为繁杂。

【例8】已知 a ₁ =2， a ₂ =3，，求通项公式。

         解法一：特征方程的根为1，所以a_n = (c₁ n+c₂)×1ⁿ

由：得c₁ = c₂ = 1，所以a_n = n + 1。   

解法二：设，可得x ₁ = x ₂ = 1，于是{a_n+1－a_n }是公比为1的等比数列，a_n+1－a_n = 1，所以a_n = n + 1。

②、一般地形如：（a、b、c、d为常数）

可得到相应的特征方程：，再将其变为，通过该方程的根的情况来重新构造数列。

（i）如果方程有两个相异的实根，则有数列是以为首项，为公比的等比数列；

（ii）如果方程有两个相同的实根，则数列是以为首项，为公差的等差数列。

【例9】已知数列满足，求数列的通项．

解：其特征方程为，化简得，解得，令

   由得，可得，

数列是以为首项，以为公比的等比数列，，．

三 、当题中给出的是S_n 和的关系时，我们一般通过作差法结合a_n= S_n－S_n－1 这个通用公式对原等式进行变形，消掉S_n得到和a_n+1的递推关系，或消掉得到S_n 和S_n－1的递推关系，然后重新构造数列求通项公式。

【例10】已知数列的前项和为，且满足：， N^*，．求数列的通项公式；

    解：（I）由已知可得，两式相减可得

    即

    又所以r=0时，数列为：a，0，…，0，…；

    当时，由已知（），

    于是由可得，

    成等比数列，，

    综上，数列的通项公式为

【例11】已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且

求{}的通项公式；

解：由，解得a₁＝1或a₁＝2，由假设a₁＝S₁＞1，因此a₁＝2。

又由a_n+1＝S_n+1- S_n＝，

得a_n+1- a_n-3＝0或a_n+1＝-a_n

因a_n＞0，故a_n+1＝-a_n不成立，舍去。

因此a_n+1- a_n-3＝0。从而｛a_n｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛a_n｝的通项为a_n＝3n-2。

 

第二篇：第二轮复习--数列求和与求通项公式的方法总结

数列求和与求通项公式的方法总结

一、数列求和：

数列求和问题中要侧重对数列通项公式的分析、变形、处理、最后转化为我们所熟悉的求和类型，所以关键是对通项公式的把握。

例如：（1）求数列的前n项和

1.利用常用求和公式求和：

（1）等差数列求和公式：  

（2）等比数列求和公式：

2.错位相减法求和：用于数列{a_n·　b_n}前n项和，其中{ a_n }、{ b_n }分别是等差、等比数列.

（1）求和：

（2）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，

（Ⅰ）求，的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和．

3.裂项法求和：适合于通项公式为分子为常数，分母为两公差相同的等差数列乘积的分式

如：

                                                                       

（1）=                   

（2）                 

4.分组法求和：

（1）求数列3＋，3²＋，……，3ⁿ＋的各项的和。

（2）求数列的前n项和：，…

二、数列求通项：

1.满足等差、等比数列定义用公式法：（1）  （2）

例1： 已知数列{a_n}是公差为d的等差数列，数列{b_n}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)²，且a₁ = f (d－1)，a₃ = f (d+1)，b₁ = f (q+1)，b₃ = f (q－1)，求数列{ a _n }和{ b _n }的通项公式；

2.已知数列前项和，则（注意：不能忘记讨论）

例2：（1）已知下列两数列的前n项和s_n的公式，求的通项公式。

1）。                       2）

（2）设数列的前n项和为，且，

1）设，求证：数列是等差数列；2）求数列的通项公式及前n项和的公式。

3.利用递推关系变形处理、转化求解的类型：

（1）累加法：形如的递推

例3：在数列｛｝中， =6, 求此数列的通项。

（2）累乘法：形如的递推

例4：在数列｛｝中， =1,   (n+1)·=n·，求的表达式

（3）构造法：

其中常见①一阶线性数列：.（A、B为常数）型递推式

例5：已知数的递推关系为，且求通项。

提示性构造：例6.已知数列满足

（I）证明：数列是等比数列；    （II）求数列的通项公式；

练习：

1．数列中，且满足   

⑴求数列的通项公式；             ⑵设，求；

⑶设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由

2.设数列的前n项和为，点均在函数y＝的图像上。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。

3.已知数列满足：，，

（1）求，；

（2）若，求数列的通项公式；

4．已知在数列中，数列的奇数项依次组成公差为1的等差数列，偶数项依次组成公比为2的等比数列，数列满足，数列的前项和为，

（1）写出数列的通项公式；

（2）求；

5、设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．

（1）求数列的通项公式．

（2）令求数列的前项和．

6、设正数数列的前项和为，且对任意的，是和的等差中项．

（1）求数列的通项公式；

    （2）在集合，，且中，是否存在正整数，使得不等式对一切满足的正整数都成立？若存在，则这样的正整数共有多少个？并求出满足条件的最小正整数的值；若不存在，请说明理由；