二次根式

【知识回顾

1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；  ⑵被开方数中不含分母；  ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：

（1）（）²= （≥0）；              （2）

5.二次根式的运算：

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

=·（a≥0，b≥0）；  （b≥0，a>0）．

（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

【典型例题】

1、概念与性质

例1下列各式1），

其中是二次根式的是_________（填序号）．

例2、求下列二次根式中字母的取值范围

（1）；（2）

例3、 在根式1) ，最简二次根式是（  ）

A．1) 2)       B．3) 4)      C．1) 3)      D．1) 4)

例4、已知：

例5、 （2009龙岩）已知数a，b，若=b－a，则 (   )

A. a>b        B. a<b      C. a≥b           D. a≤b

2、二次根式的化简与计算

例1. 将根号外的a移到根号内，得 (   )

A. ；   B. －；      C. －；      D.

例2.把（a－b）化成最简二次根式

例3、计算：

例4、先化简，再求值：

       ，其中a=，b=．

     例5、如图，实数、在数轴上的位置，化简 ：

3、在实数范围内分解因式

例. 在实数范围内分解因式。（1）；                （2）

  4、规律性问题

例1. 观察下列各式及其验证过程：

  ， 验证：；

     验证:.

（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证；

（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程.

例2. 已知，则a_________

发展：已知，则a______。

    例3、化简下列各式：

     （1）　　　　　　　　　　　　　　（2）

    例4、已知a>b>0，a+b=6，则的值为（  ）A．     B．2    C．      D．

    例5、甲、乙两个同学化简时，分别作了如下变形：

    甲：==；

     乙：=。 其中，（  ）。

A. 甲、乙都正确                    B. 甲、乙都不正确        C. 只有甲正确                 D. 只有乙正确

 

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