二次根式知识点总结及应用

一、基本知识点

1.二次根式的有关概念：

（1）形如                   的式子叫做二次根式.

（即一个                  的算术平方根叫做二次根式

例：下列哪些是二次根式?;; ;; －;

                                                            

二次根式有意义的条件：                            。

（2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：

①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；

例：下列哪些不是最简二次根式，并将它们化简。

；；；。

                                                

(3）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。

例：下列哪些与是同类二次根式（           ）。

A.;       B、，       C、－，      D、

2.二次根式的性质：

（1） 非负性 ：

 

3.二次根式的运算：

二次根式乘法法则

 

二次根式除法法则

二次根式的加减： (一化，二找，三合并 )

（1）将每个二次根式化为最简二次根式；

（2）找出其中的同类二次根式；

（3）合并同类二次根式。

注:类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。

二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用

二、二次根式的应用

1、非负性的运用

例：1.已知：,求x-y的值.

2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值

例1：使有意义的的取值范围

例2.若，则=_____________。

3、进行二次根式化简

例如：.已知x,y都是实数,且满足,化简.

例如、如图，实数、在数轴上的位置，化简 ：

例如、先化简，再求值：

       ，其中a=，b=．

4、二次根式的大小比较

例：设,比较a、b、c的大小关系

5、在实数范围内分解因式

例. 在实数范围内分解因式。（1）；                （2）

 

 

 6、规律性问题

例1. 观察下列各式及其验证过程：

验证：；

     验证:.

（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证；

（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程.

例2. 已知，则a_________

发展：已知，则a______。

7、计算：（1）；（2）

 

第二篇：二次根式知识点总结及其应用

二次根式知识总结

一、基本知识点

1.二次根式的有关概念：

（1）形如                         的 式子叫做二次根式.

（即一个                   的算术平方根叫做二次根式

二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零

（2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：

①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；

(3）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。

2.二次根式的性质：

（1） 非负性 ：

 

3.二次根式的运算：

二次根式乘法法则

 

二次根式除法法则

二次根式的加减： (一化，二找，三合并 )

（1）将每个二次根式化为最简二次根式；

（2）找出其中的同类二次根式；

（3）合并同类二次根式。

Ps:类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。

二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用

二、二次根式的应用

1、非负性的运用

例：1.已知：,求x-y的值.

2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值

例1：使有意义的的取值范围

例2.若，则=_____________。

3、运用数形结合，进行二次根式化简

例：.已知x,y都是实数,且满足,化简.

4、二次根式的大小比较

例：设,比较a、b、c的大小关系

5、与二次根式有关的规律探究

例：见习题册

二次根式提高测试题

一、选择题

1．使有意义的的取值范围是（     ）

2．一个自然数的算术平方根为，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为（     ）

（A）（B）（C）（D）

3．若，则等于（     ）

（A）0     （B）     （C）    （D）0或

4．若，则化简得（     ）

（A）   （B）    （C）   （D）

5．若，则的结果为（     ）

（A）    （B）      （C）    （D）

6．已知是实数，且，则与的大小关系是（     ）

（A）    （B）      （C）     （D）

7．已知下列命题：

①；         ②；

③；    ④．

其中正确的有（     ）

（A）0个    （B）1个      （C）2个     （D）3个

8．若与化成最简二次根式后的被开方数相同，则的值为（     ）

（A） （B）      （C）    （D）

9．当时，化简等于（     ）

（A）2   （B）      （C）    （D）0

10．化简得（     ）

（A）2  （B）      （C）    （D）

二、填空题

11．若的平方根是，则．

12．当时，式子有意义．

13．已知：最简二次根式与的被开方数相同，则．

14．若是的整数部分，是的小数部分，则，．

15．已知，且，则满足上式的整数对有_____．

16．若，则．

17．若，且成立的条件是_____．

18．若，则等于_____．

三、解答题

1 9．计算下列各题：（1）；

                  （2）

20．已知，求的值 ．

21．已知是实数，且，求的值.

22．若与互为相反数，求代数式的值.

23．若满足，求的最大值和最小值.