第一部分:基本要求(计算方面)
四阶行列式的计算;
N阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等);
矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算);
求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程;
含参数的线性方程组解的情况的讨论;
齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多解);
讨论一个向量能否用和向量组线性表示;
讨论或证明向量组的相关性;
求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示;
将无关组正交化、单位化;
求方阵的特征值和特征向量;
讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵;
通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化;
写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵;
判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分:基本知识
一、行列式
1.行列式的定义
用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和;
(2)展开式共有n!项,其中符号正负各半;
2.行列式的计算
一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则;
N阶(n>=3)行列式的计算:降阶法
定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶。 特殊情况
上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;
(2)行列式值为0的几种情况:
Ⅰ 行列式某行(列)元素全为0;
Ⅱ 行列式某行(列)的对应元素相同;
Ⅲ 行列式某行(列)的元素对应成比例;
Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。
二.矩阵
1.矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等);
2.矩阵的运算
(1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果;
(2)关于乘法的几个结论:
①矩阵乘法一般不满足交换律(若AB=BA,称A、B是可交换矩阵);
②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;
③若A、B为同阶方阵,则|AB|=|A|*|B|;
④|kA|=k^n|A|
3.矩阵的秩
(1)定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;
(2)秩的求法 一般不用定义求,而用下面结论:
矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。
求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。
4.逆矩阵
(1)定义:A、B为n阶方阵,若AB=BA=I,称A可逆,B是A的逆矩阵(满足半边也成立);
(2)性质: (AB)^-1=(B^-1)*(A^-1),(A')^-1=(A^-1)';(A B的逆矩阵,你懂的)(注意顺序)
(3)可逆的条件:
① |A|≠0; ②r(A)=n; ③A->I;
(4)逆的求解
伴随矩阵法 A^-1=(1/|A|)A*;(A* A的伴随矩阵~)
②初等变换法(A:I)->(施行初等变换)(I:A^-1)
5.用逆矩阵求解矩阵方程:
AX=B,则X=(A^-1)B;
XB=A,则X=B(A^-1);
AXB=C,则X=(A^-1)C(B^-1)
三、线性方程组
1.线性方程组解的判定
定理:
(1) r(A,b)≠r(A) 无解;
(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解;
(3)r(A,b)=r(A)<n 有无穷多组解;
特别地:对齐次线性方程组AX=0
(1) r(A)=n 只有零解;
(2) r(A)<n 有非零解;
再特别,若为方阵,
(1)|A|≠0 只有零解
(2)|A|=0 有非零解
2.齐次线性方程组
(1)解的情况:
r(A)=n,(或系数行列式D≠0)只有零解;
r(A)<n,(或系数行列式D=0)有无穷多组非零解。
(2)解的结构:
X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。
(3)求解的方法和步骤:
①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵;
②写出对应同解方程组;
③移项,利用自由未知数表示所有未知数;
④表示出基础解系;
⑤写出通解。
3.非齐次线性方程组
(1)解的情况:
利用判定定理。
(2)解的结构:
X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。
(3)无穷多组解的求解方法和步骤:
与齐次线性方程组相同。
(4)唯一解的解法:
有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法(初等变换法)。
四、向量组
1.N维向量的定义
注:向量实际上就是特殊的矩阵(行矩阵和列矩阵)。
2.向量的运算:
(1)加减、数乘运算(与矩阵运算相同);
(2)向量内积 α'β=a1b1+a2b2+…+anbn;
(3)向量长度
|α|=√α'α=√(a1^2+a2^2+…+an^2) (√ 根号)
(4)向量单位化 (1/|α|)α;
(5)向量组的正交化(施密特方法)
设α1,α 2,…,αn线性无关,则
β1=α1,
β2=α2-(α2’β1/β1’β)*β1,
β3=α3-(α3’β1/β1’β1)*β1-(α3’β2/β2’β2)*β2,………。
3.线性组合
(1)定义 若β=k1α1+k2α 2+…+knαn,则称β是向量组α1,α 2,…,αn的一个线性组合,或称β可以用向量组α1,α 2,…,αn的一个线性表示。
(2)判别方法 将向量组合成矩阵,记
A=(α1,α 2,…,αn),B=(α1,α2,…,αn,β)
若 r (A)=r (B),则β可以用向量组α1,α 2,…,αn的一个线性表示;
若 r (A)≠r (B),则β不可以用向量组α1,α 2,…,αn的一个线性表示。
(3)求线性表示表达式的方法:
将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵,则最后一列元素就是表示的系数。
4.向量组的线性相关性
(1)线性相关与线性无关的定义
设 k1α1+k2α2+…+knαn=0,
若k1,k2,…,kn不全为0,称线性相关;
若k1,k2,…,kn全为0,称线性无关。
(2)判别方法:
① r(α1,α 2,…,αn)<n,线性相关;
r(α1,α 2,…,αn)=n,线性无关。
②若有n个n维向量,可用行列式判别:
n阶行列式aij=0,线性相关(≠0无关)(行列式太不好打了)
5.极大无关组与向量组的秩
(1)定义 极大无关组所含向量个数称为向量组的秩
(2)求法 设A=(α1,α 2,…,αn),将A化为阶梯阵,则A的秩即为向量组的秩,而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。
五、矩阵的特征值和特征向量
1.定义 对方阵A,若存在非零向量X和数λ使AX=λX,则称λ是矩阵A的特征值,向量X称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
2.特征值和特征向量的求解:
求出特征方程|λI-A|=0的根即为特征值,将特征值λ代入对应齐次线性方程组(λI-A)X=0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。
3.重要结论:
(1)A可逆的充要条件是A的特征值不等于0;
(2)A与A的转置矩阵A'有相同的特征值;
(3)不同特征值对应的特征向量线性无关。
六、矩阵的相似
1.定义 对同阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使P^-1AP=B,则称A与B相似。
2.求A与对角矩阵∧相似的方法与步骤(求P和∧):
求出所有特征值;
求出所有特征向量;
若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同,则A可对角化(否则不能对角化),将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P,依次将对应特征值构成对角阵即为∧。
3.求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵:
方法与步骤和一般矩阵相同,只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。
七、二次型
n
1.定义 n元二次多项式f(x1,x2,…,xn)=∑ aijxixj称为二次型,若aij=0(i≠j),则称为二交型的标准型。
i,j=1
2.二次型标准化:
配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同,这是由于对正交矩阵Q,Q^-1=Q',即正交变换既是相似变换又是合同变换。
3.二次型或对称矩阵的正定性:
(1)定义(略);
(2)正定的充要条件:
①A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0;
②A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0;
线性代数公式汇总
1、行列式
1. 行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式;
2. 代数余子式的性质:
①、和的大小无关;
②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;
③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为;
3. 代数余子式和余子式的关系:
4. 设行列式:
将上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,则;
将顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,则;
将主对角线翻转后(转置),所得行列式为,则;
将主副角线翻转后,所得行列式为,则;
5. 行列式的重要公式:
①、主对角行列式:主对角元素的乘积;
②、副对角行列式:副对角元素的乘积;
③、上、下三角行列式():主对角元素的乘积;
④、和:副对角元素的乘积;
⑤、拉普拉斯展开式:、
⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;
⑦、特征值;
6. 对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;
7. 证明的方法:
①、;
②、反证法;
③、构造齐次方程组,证明其有非零解;
④、利用秩,证明;
⑤、证明0是其特征值;
2、矩阵
1. 是阶可逆矩阵:
(是非奇异矩阵);
(是满秩矩阵)
的行(列)向量组线性无关;
齐次方程组有非零解;
,总有唯一解;
与等价;
可表示成若干个初等矩阵的乘积;
的特征值全不为0;
是正定矩阵;
的行(列)向量组是的一组基;
是中某两组基的过渡矩阵;
2. 对于阶矩阵: 无条件恒成立;
3.
4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;
5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均、可逆:
若,则:
Ⅰ、;
Ⅱ、;
②、;(主对角分块)
③、;(副对角分块)
④、;(拉普拉斯)
⑤、;(拉普拉斯)
3、矩阵的初等变换与线性方程组
1. 一个矩阵,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:;
等价类:所有与等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;
对于同型矩阵、,若;
2. 行最简形矩阵:
①、只能通过初等行变换获得;
②、每行首个非0元素必须为1;
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;
3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)
①、若,则可逆,且;
②、对矩阵做初等行变化,当变为时,就变成,即:;
③、求解线形方程组:对于个未知数个方程,如果,则可逆,且;
4. 初等矩阵和对角矩阵的概念:
①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;
②、,左乘矩阵,乘的各行元素;右乘,乘的各列元素;
③、对调两行或两列,符号,且,例如:;
④、倍乘某行或某列,符号,且,例如:;
⑤、倍加某行或某列,符号,且,如:;
5. 矩阵秩的基本性质:
①、;
②、;
③、若,则;
④、若、可逆,则;(可逆矩阵不影响矩阵的秩)
⑤、;(※)
⑥、;(※)
⑦、;(※)
⑧、如果是矩阵,是矩阵,且,则:(※)
Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解(转置运算后的结论);
Ⅱ、
⑨、若、均为阶方阵,则;
6. 三种特殊矩阵的方幂:
①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;
②、型如的矩阵:利用二项展开式;
二项展开式:;
注:Ⅰ、展开后有项;
Ⅱ、
Ⅲ、组合的性质:;
③、利用特征值和相似对角化:
7. 伴随矩阵:
①、伴随矩阵的秩:;
②、伴随矩阵的特征值:;
③、、
8. 关于矩阵秩的描述:
①、,中有阶子式不为0,阶子式全部为0;(两句话)
②、,中有阶子式全部为0;
③、,中有阶子式不为0;
9. 线性方程组:,其中为矩阵,则:
①、与方程的个数相同,即方程组有个方程;
②、与方程组得未知数个数相同,方程组为元方程;
10. 线性方程组的求解:
①、对增广矩阵进行初等行变换(只能使用初等行变换);
②、齐次解为对应齐次方程组的解;
③、特解:自由变量赋初值后求得;
11. 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程:
①、;
②、(向量方程,为矩阵,个方程,个未知数)
③、(全部按列分块,其中);
④、(线性表出)
⑤、有解的充要条件:(为未知数的个数或维数)
4、向量组的线性相关性
1. 个维列向量所组成的向量组:构成矩阵;
个维行向量所组成的向量组:构成矩阵;
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;
2. ①、向量组的线性相关、无关 有、无非零解;(齐次线性方程组)
②、向量的线性表出 是否有解;(线性方程组)
③、向量组的相互线性表示 是否有解;(矩阵方程)
3. 矩阵与行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组和同解;(例14)
4. ;(例15)
5. 维向量线性相关的几何意义:
①、线性相关 ;
②、线性相关 坐标成比例或共线(平行);
③、线性相关 共面;
6. 线性相关与无关的两套定理:
若线性相关,则必线性相关;
若线性无关,则必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)
若维向量组的每个向量上添上个分量,构成维向量组:
若线性无关,则也线性无关;反之若线性相关,则也线性相关;(向量组的维数加加减减)
简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;
7. 向量组(个数为)能由向量组(个数为)线性表示,且线性无关,则(二版定理7);
向量组能由向量组线性表示,则;(定理3)
向量组能由向量组线性表示
有解;
(定理2)
向量组能由向量组等价(定理2推论)
8. 方阵可逆存在有限个初等矩阵,使;
①、矩阵行等价:(左乘,可逆)与同解
②、矩阵列等价:(右乘,可逆);
③、矩阵等价:(、可逆);
9. 对于矩阵与:
①、若与行等价,则与的行秩相等;
②、若与行等价,则与同解,且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;
④、矩阵的行秩等于列秩;
10. 若,则:
①、的列向量组能由的列向量组线性表示,为系数矩阵;
②、的行向量组能由的行向量组线性表示,为系数矩阵;(转置)
11. 齐次方程组的解一定是的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;
①、 只有零解只有零解;
②、 有非零解一定存在非零解;
12. 设向量组可由向量组线性表示为:(题19结论)
()
其中为,且线性无关,则组线性无关;(与的列向量组具有相同线性相关性)
(必要性:;充分性:反证法)
注:当时,为方阵,可当作定理使用;
13. ①、对矩阵,存在, 、的列向量线性无关;()
②、对矩阵,存在, 、的行向量线性无关;
14. 线性相关
存在一组不全为0的数,使得成立;(定义)
有非零解,即有非零解;
,系数矩阵的秩小于未知数的个数;
15. 设的矩阵的秩为,则元齐次线性方程组的解集的秩为:;
16. 若为的一个解,为的一个基础解系,则线性无关;(题33结论)
5、相似矩阵和二次型
1. 正交矩阵或(定义),性质:
①、的列向量都是单位向量,且两两正交,即;
②、若为正交矩阵,则也为正交阵,且;
③、若、正交阵,则也是正交阵;
注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化;
2. 施密特正交化:
;
;
3. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;
对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交;
4. ①、与等价 经过初等变换得到;
,、可逆;
,、同型;
②、与合同 ,其中可逆;
与有相同的正、负惯性指数;
③、与相似 ;
5. 相似一定合同、合同未必相似;
若为正交矩阵,则,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格);
6. 为对称阵,则为二次型矩阵;
7. 元二次型为正定:
的正惯性指数为;
与合同,即存在可逆矩阵,使;
的所有特征值均为正数;
的各阶顺序主子式均大于0;
;(必要条件)
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