概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确

?A可逆 ?

r(A)?n ?

?A的列（行）向量线性无关 ?

?A的特征值全不为0 ?Ax??只有零解 ? ?x??，Ax?? ?

A?0??n

???R,Ax??总有唯一解 ?

?ATA是正定矩阵 ?

?A?E ?A?pp???p p是初等阵

12si

???存在n阶矩阵B,使得AB?E 或 AB?E

注：全体n维实向量构成的集合R叫做n维向量空间. ○

n

?A不可逆 ?

r(A)?n ??

A?0??A的列（行）向量线性相关

?

0是A的特征值 ???Ax??有非零解,其基础解系即为A关于??0的特征向量?r(aE?bA)?n

?

注 aE?bA????(aE?bA)x??有非零解 ○

??=-a

b?

向量组等价

?

矩阵等价(?)?具有

?反身性、对称性、传递性 ????

矩阵相似(?)?矩阵合同(?)??

√ 关于e1,e2,???,en：

①称为?的标准基，?中的自然基，单位坐标向量p教材87； ②e1,e2,???,en线性无关； ③e1,e2,???,en?1； ④trE=n；

⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,???,en线性表示.

n

n

a11a12a22?an2

??

a1na2n?ann

?

Dn?

a21?an1

?

j1j2?jn

(?1)

?(j1j2?jn)

a1ja2j?anj

1

2

n

?

√ 行列式的计算：

①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

A

OBAO=AO?B

?BAO?A?

OB

mn

②若A与B都是方阵（不必同阶）,则

OOB

?AB

（拉普拉斯展开式）

AB

=?(?1)

③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

?

a1n

a2n?1

?an1

O

?an1O

a2n?1

?

Oa1n

n(n?1)

④关于副对角线：

?(?1)

2

a1na2n?an1 （即：所有取自不同行不

同列的n个元素的乘积的代数和）

1x1

1x2x2?x2

n?12

???

1xnxn?xn

2

⑤范德蒙德行列式：x12

?x1

n?1

?

??x

1?j?i?n

i

?xj?

?

n?1

?a11?a21?由m?n个数排成的m行n列的表A?????am1

???????

A11A12?A1n

A21A22?A2n

???

a12a22?am2

??

?

a1n?

?a2n

?称为m?n矩阵.记作：A??a?或Am?n

ij

m?n

???amn?

A??Aij?

*

T

An1?

?An2

?，A为A中各个元素的代数余子式.

ij

???Ann?

√ 逆矩阵的求法:

?a注： ? ○?

A?cA

?

① A

?1

b?

?d?

?1

?

?d?

ad?bc??c

1?b?主?换位

?a?副?变号

②(A?E)?????(E?A)

?a1?③???

???a3??

?1

初等行变换?1

a2

?

??????

m

n

1a1

1a2

1a3

????? ???a??3?

m

n

mn

a2

a1?????

?1

???????

1a3

1a2

1a1

??? ???

√ 方阵的幂的性质：AA?A

m?n

(A)?(A)

√ 设Am?n,Bn?s,A的列向量为?1,?2,???,?n,B的列向量为?1,?2,???,?s，

?b11?b21????1,?2,???,?n?????bn1

b12b22?bn2

???

b1s??b2s

???c,c,?,c??

12s

???bns?

则AB?Cm?sA?i?ci ，(i?1,2,?,s)??i为

Ax?ci的解?A??1,?2,???,?s???A?1,A?2,???,A?s???c1,c2,?,cs??c1,c2,?,cs可由?1,?2,???,?n线性表

示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵. 同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，A为系数矩阵.

?a11?a21

即： ?

????an1

a12a22?an2

???

a1n???1

??a2n?

??2??????amn???n

??c1??a11?1?a12?2????

c2a??a22?2

??????211

?

?????????

?a??a?cm22??m??m11

???a1n?2?c1???a2n?2?c2?

?

???amn?2?cm

T

√ 用对角矩阵?左乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵?右乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

?A

√ 分块矩阵的转置矩阵：?

?C

?A

分块矩阵的逆矩阵：?

?

?A??O

B??D???B?C??B?

T

○○

○○

?A??T

?B?A???

?1

T

C

? T?D?

A???O??B?

?1

T

?1

?? ??1?B??BACB

B

?1

?1

?

???1

?A

B

?1

?? ?O?? B?

n

?1

?A???O

?1

??A ??

?C?

?1

?A

???1?1

??BCA

?1

?A11

分块对角阵相乘：A??

?

A22

??B11,B?????

B22

?

???A11B11

?AB??

?

A22B22

?A11?n

A?,????

A22

n

?

? ?

?A

分块对角阵的伴随矩阵：?

??BA?

???B??

*

*

??

??*

AB??B?A?

????(?1)mnBA???

*

(?1)

mn

AB?

???

?

√ 矩阵方程的解法(A?0)：设法化成(I)AX?B 或 (II)XA?B (I)的解法：构造(A?B)?????(E?X)

(II)的解法：将等式两边转置化为AX

T

T

T

初等行变换

?B，

T

用(I)的方法求出X，再转置得X

① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.

③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）

④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关p教材114. ⑥ 向量组?1,?2,???,?n中任一向量?i(1≤i≤n)都是此向量组的线性组合.

⑦ 向量组?1,?2,???,?n线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余n?1个向量线性表示. 向量组?1,?2,???,?n线性无关?向量组中每一个向量?i都不能由其余n?1个向量线性表示. ⑧ m维列向量组?1,?2,???,?n线性相关?r(A)?n； m维列向量组?1,?2,???,?n线性无关?r(A)?n.

⑨ 若?1,?2,???,?n线性无关，而?1,?2,???,?n,?线性相关,则?可由?1,?2,???,?n线性表示,且表示法唯一. ⑩ 矩阵的行向量组的秩?列向量组的秩?矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为

1，且这些非零元所在列的其他元素都是0? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. √ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：

对A施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A； 对A施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A.

如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r?1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r.记作r(A)?r

向量组?1,?2,?,?n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作r(?1,?2,?,?n

) A经过有限次初等变换化为B. 记作：A??B

?1,?2,???,?n和?1,?2,???,?n可以相互线性表示. 记作：??1,?2,???,?n?????1,?2,???,?n?

? 矩阵A与B等价?PAQ?B，P,Q可逆?r(A)?r(B),A,B为同型矩阵??A,B作为向量组等价,即：秩相

等的向量组不一定等价.

矩阵A与B作为向量组等价?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?n)? 矩阵A与B等价.

? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示?AX?B有解

?r(?1,?2,???,?n)=r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?s)≤r(?1,?2,???,?n).

○○

○○

? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且s?n，则?1,?2,???,?s线性相关.

向量组?1,?2,???,?s线性无关,且可由?1,?2,???,?n线性表示,则s≤n.

? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且r(?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?n),则两向量组等价；

p教材94,例10

? 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ? 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ? 设A是m?n矩阵,若r(A)?m，A的行向量线性无关；

若r(A)?n，A的列向量线性无关,即：?1,?2,???,?n线性无关. √ 矩阵的秩的性质：

①若A?O?r(A)≥1 若A?O?r(A)?0 0≤r(Am?n)≤min(m,n)

②r(A)?r(A)?r(AA) p教材101,例15

③r(kA)?r(A) 若k?0

?r(A)?r(B)?n

④若Am?n,Bn?s,若r(AB)?0??

B的列向量全部是Ax?0的解?

TT

⑤r(AB)≤min?r(A),r(B)?

若A可逆?r(AB)?r(B)若B可逆?r(AB)?r(A)

⑥ 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.

??

??

⑦若r(Am?n)?n?

????

Ax?? 只有零解

?r(AB)?r(B)

； ?

?AB?O?B?O?

A在矩阵乘法中有左消去律??

?AB?AC?B?C?

?r(AB)?r(B)

若r(Bn?s)?n??

B在矩阵乘法中有右消去律.?

?Er?O

O??Er

等价，称??O??O

O?

?为矩阵A的等价标准型. O?

⑧若r(A)?r?A与唯一的?

 

第二篇：线性代数总结-1

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确

?A可逆 ?

?r(A)?n ?A的列（行）向量线性无关 ?

?A的特征值全不为0 ??Ax??只有零解 ? ?x??，Ax??

A?0?? n

????R,Ax??总有唯一解 ?ATA是正定矩阵 ?

?A?E ?A?pp???p p是初等阵

12si

???存在n阶矩阵B,使得AB?E 或 AB?E

注：全体n维实向量构成的集合R叫做n维向量空间. ○

n

?A不可逆 ?

r(A)?n ??

A?0??A的列（行）向量线性相关

?0是A的特征值 ???Ax??有非零解,其基础解系即为A关于??0的特征向量?r(aE?bA)?n

?

注 aE?bA????(aE?bA)x??有非零解 ○

??=-a

?

向量组等价?

?

矩阵等价(?)?具有

?反身性、对称性、传递性 ????

矩阵相似(?)?矩阵合同(?)??

√ 关于e1,e2,???,en：

①称为?的标准基，?中的自然基，单位坐标向量p教材87； ②e1,e2,???,en线性无关； ③e1,e2,???,en?1； ④trE=n；

⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,???,en线性表示.

n

n

a11

Dn?

a12?a1na22?a2n?

?

an2?ann

?

j1j2?jn

a21?an1

?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn

√ 行列式的计算：

①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

AO

②若A与B都是方阵（不必同阶）,则

OO

BA

==

A?

?A

OBBO

?

AO?

B

?AB

（拉普拉斯展开式）

BO

?(?1)mnAB

③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

?

④关于副对角线：

a1n

a2n?1

?

?O

O

a2n?1

?an1

a1n

?(?1)O

n(n?1)a1na2n?an1 （即：所有取自不同行不

an1

同列的n个元素的乘积的代数和）

1x1

⑤范德蒙德行列式：x12

1x2

2x2?

???

1

2

???xi?xj?

xn

1?j?i?n

?

xn

?x1n?1

n?1n?1x2?xn

?a11

?a21?由m?n个数排成的m行n列的表A?????am1

?A11?A12??????A1n

A21?A22?A2n

a12a22?am2

?a1n?

?

?a2n?

称为m?n矩阵.记作：A??aij?或Am?n

m?n??

?

?amn?

A?Aij

*

??

T

An1??

?An2?

，Aij为A中各个元素的代数余子式. ???

?Ann?

√ 逆矩阵的求法:

主?换位?ab?1?d?b?A

注： ?① A?1? ○ ????

ad?bc??ca?A副?变号?cd?

?

?1

初等行变换

②(A?E)?????(E?A?1)

?a1

?③???

a2

?1

?a?1

??

???

?a3????

m

n

a2

????? ???a1??33?

(Am)n?(A)mn

a2

?1

?a1?

??

???

??1???1

1

a3

a2

??? ???

√ 方阵的幂的性质：AA?A

m?n

√ 设Am?n,Bn?s,A的列向量为?1,?2,???,?n,B的列向量为?1,?2,???,?s，

则AB?Cm?s

?b11b12?b1s???bb?b21222s???c,c,?,c??A??c ，(i?1,2,?,s)??为???1,?2,???,?n??12siii???????bb?bns??n1n2

Ax?ci的解?A??1,?2,???,?s???A?1,A?2,???,A?s???c1,c2,?,cs??c1,c2,?,cs可由?1,?2,???,?n线性表

示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵. 同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，A为系数矩阵.

T

?a11

?a21?即： ????an1

a12a22?an2

?a1n???1??c1??a11?1?a12?2???a1n?2?c1

??????a??a????a??c?a2n???2??c2??2112222n22

? ??

???????????????????amn???n??cm??am1?1?am2?2???amn?2?cm

√ 用对角矩阵?左乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵?右乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

○○

○○

?AB??AT

√ 分块矩阵的转置矩阵：????T

CD???B

?A?1?A?

分块矩阵的逆矩阵：????

B???

?A?1?AC?????OB???O

?1?1

T

CT?

? DT?

?? ??B?1??B

A??

???1???A

?1?1

B?1?

? ?

?A?1A?1CB?1?O??AO?? ???1?1? ??

CBB?B?????BCA

?A11

分块对角阵相乘：A??

???B11,B???A22????A11B11

AB????

B22??n

?n?A11?,A??A22B22???

n?A22?

?A??BA*

分块对角阵的伴随矩阵：????

B???

*

??

??AB*??BA??

???mn??

??(?1)BA

*

(?1)mnAB??

?? ?

√ 矩阵方程的解法(A?0)：设法化成(I)AX?B 或 (II)XA?B (I)的解法：构造(A?B)?????(E?X)

初等行变换

(II)的解法：将等式两边转置化为ATXT?BT， 用(I)的方法求出X，再转置得X

T

① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.

③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）

④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关p教材114. ⑥ 向量组?1,?2,???,?n中任一向量?i(1≤i≤n)都是此向量组的线性组合.

⑦ 向量组?1,?2,???,?n线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余n?1个向量线性表示. 向量组?1,?2,???,?n线性无关?向量组中每一个向量?i都不能由其余n?1个向量线性表示. ⑧ m维列向量组?1,?2,???,?n线性相关?r(A)?n； m维列向量组?1,?2,???,?n线性无关?r(A)?n.

⑨ 若?1,?2,???,?n线性无关，而?1,?2,???,?n,?线性相关,则?可由?1,?2,???,?n线性表示,且表示法唯一. ⑩ 矩阵的行向量组的秩?列向量组的秩?矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为

1，且这些非零元所在列的其他元素都是0? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. √ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：

对A施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A； 对A施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A.

如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r?1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r.记作r(A)?r

向量组?1,?2,?,?n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作r(?1,?2,?,?n

) A经过有限次初等变换化为B. 记作：A??B

?1,?2,???,?n和?1,?2,???,?n可以相互线性表示. 记作：??1,?2,???,?n?????1,?2,???,?n?

? 矩阵A与B等价?PAQ?B，P,Q可逆?r(A)?r(B),A,B为同型矩阵??A,B作为向量组等价,即：秩相

等的向量组不一定等价.

矩阵A与B作为向量组等价?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?n)? 矩阵A与B等价.

? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示?AX?B有解

○○

○○

?r(?1,?2,???,?n)=r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?s)≤r(?1,?2,???,?n).

? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且s?n，则?1,?2,???,?s线性相关.

向量组?1,?2,???,?s线性无关,且可由?1,?2,???,?n线性表示,则s≤n.

? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且r(?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?n),则两向量组等价；

p教材94,例10

? 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ? 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ? 设A是m?n矩阵,若r(A)?m，A的行向量线性无关；

若r(A)?n，A的列向量线性无关,即：?1,?2,???,?n线性无关. √ 矩阵的秩的性质：

①若A?O?r(A)≥1 若A?O?r(A)?0 0≤r(Am?n)≤min(m,n)

②r(A)?r(AT)?r(ATA) p教材101,例15

③r(kA)?r(A) 若k?0

④若Am?n,Bn?s,若r(AB)?0?? ⑤r(AB)≤min?r(A),r(B)?

?r(A)?r(B)?n

B的列向量全部是Ax?0的解?

⑥

若A可逆?r(AB)?r(B)若B可逆?r(AB)?r(A)

即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.

??Ax?? 只有零解

?

??r(AB)?r(B)

⑦若r(Am?n)?n??；

???A在矩阵乘法中有左消去律?AB?O?B?O

????AB?AC?B?C??

?r(AB)?r(B)

若r(Bn?s)?n??

B在矩阵乘法中有右消去律.?

⑧若r(A)?r?A与唯一的?

?Er

?OO??Er

等价，称??O??OO?

?为矩阵A的等价标准型. O?

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