线性代数部分—矩阵理论

一、矩阵基本概念

1、矩阵的定义—形如，称为矩阵，记为。

特殊矩阵有

（1）零矩阵—所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。

（2）方阵—行数和列数都相等的矩阵称为方阵。

（3）单位矩阵—主对角线上元素皆为1其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。

（4）对称矩阵—元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。

2、同型矩阵—行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个矩阵相等。

3、矩阵运算

（1）矩阵加、减法：

，则

。

（2）数与矩阵之积：

。

（3）矩阵与矩阵之积：

设，则

，

其中（）

【注解】

（1）不一定有或。

（2）矩阵乘法没有交换律。

（3）含方阵的矩阵多项式可象普通多项式一样因式分解的充分必要条件是。

（4）设，则定义，且关于矩阵的矩阵多项式可因式分解。

二、方程组的矩阵形式及解的概况

方程组的基本形式为

                   （1）

称（1）为齐次线性方程组。

                  （2）

称（2）为非齐线性方程组。

令    ，，，则（1）、（2）可分别表示为矩阵形式：

                               （1）

及

                                （2）

对方程组（1）：

【例题1】讨论方程组解的情况，并分析原因。

【例题2】讨论方程组解的情况，并分析原因。

对方程组（2）：

【例题1】讨论方程组解的情况，并分析原因。

【例题2】讨论方程组解的情况，并分析原因。

【例题3】讨论方程组解的情况，并分析原因。

三、矩阵问题的产生

初一数学问题：解一元一次方程

情形一：当时，两边同时乘以得，于是；

情形二：当时，方程无解；

情形三：当时，方程有无数个解。

线性方程组的类似问题：讨论方程组的解

情形一：是阶方阵，且存在，使得

由两边左乘得，于是；

情形二：虽然是阶矩阵，但不存在，使得

方程组是否有解及解的情况；

情形三：是矩阵，且

方程组是否有解及解的情况。

【注解】

（1）第一种解的情况产生矩阵的第一个核心问题—矩阵的逆阵。

（2）第二、三两种情形产生矩阵的另一个核心问题—矩阵的秩。

四、矩阵两大核心为题

（一）逆阵

1、定义—设为阶矩阵，若存在阶矩阵，使得，则称为可逆矩阵，称为的逆矩阵，记为。

2、两个问题

【问题1】 给定一个阶矩阵，是否存在可逆矩阵（事实上不存在可逆矩阵的矩阵大量存在）？

【问题2】 若阶矩阵可逆（即逆矩阵存在），如何求其逆矩阵？

3、矩阵可逆充分必要条件

定理设为阶矩阵，则可逆的充分必要条件是。

4、求矩阵逆阵的方法

方法一：伴随矩阵法（略）

方法二：初等变换法

第一步 方程组的三种同解变形

（1）对调两个方程的位置方程组的解不变；

（2）某个方程两边同乘以一个非零常数方程组的解不变；

（3）某个方程的倍数加到另一个方程方程组的解不变。

第二步 矩阵的三种初等行变换

（1）对调矩阵的两行；

（2）矩阵的某行同乘以一个非零常数；

（3）矩阵某行的倍数加到另一行。

第三步 三种初等矩阵

（1）—单位矩阵的行与行对调或者列与列对调所得的矩阵。

性质：1）；   2）或者；

3）为将的行与行对调所得的矩阵，为将的列与列对调所得的矩阵。

（2）—单位矩阵的行乘以或单位矩阵的列乘以。

性质：1）；   2）；

3）为将的行乘以非零常数所得到的矩阵，为将的列乘以非零常数所得到的矩阵。

（3）—单位矩阵的行的倍加到行或者单位矩阵的列的倍加到列所得到的矩阵。

性质：  1）；    2）；

3）为将的行的倍加到行所得到的矩阵，为将的列的倍加到列所得到的矩阵。

第四步 三个问题

【问题1】设为阶可逆矩阵，能够经过有限次初等行变换化为单位矩阵？

【问题2】 设为阶不可逆矩阵，能够经过有限次初等行变换化为？

【问题3】 设为阶不可逆矩阵，能够经过有限次初等变换化为？

第五步 初等变换法求逆阵及两个相关的定理

定理（初等变换法求逆阵）设为阶可逆矩阵，则可以经过有限次初等行变换化为初等矩阵。

（二）矩阵的秩（记住：在方程组中矩阵的秩本质上就是约束条件）

1、定义—设为矩阵，若存在一个阶非零子式，但所有的阶子式（如果有）都是零，则称为的秩，记为。

【注解】

（1）任何矩阵的秩都既不超过其行数也不超过其列数。设为矩阵，则

。

（2）设为阶矩阵，若，则，称为满秩矩阵。矩阵可逆、满秩及非奇异等价。

2、矩阵秩的求法

将矩阵进行初等行变换阶梯化所得的非零行数即为矩阵的秩。

【注解】

（1）的充分必要条件是。

（2）的充分必要条件是。

（3）的充分必要条件是至少有两行不成比例。

（4）设，则。

3、矩阵秩的性质

（1）。

（2）设为同型矩阵，则。

（3），等价于。

（4）设为矩阵，为矩阵，且，则。

（5）设为矩阵，为阶可逆阵，为阶可逆阵，则有

   。

【矩阵秩例题】

【例题1】设皆为三维列向量，，证明：。

【例题2】设为阶可逆阵，证明的逆阵是唯一的。

【例题3】设为矩阵，为矩阵，其中，且，证明：。

【例题4】设为阶矩阵，且，证明：。

 

第二篇：考研数学线性代数必备结论

1、行列式

1.         行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；

2.         代数余子式的性质：

①、和的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；

3.         代数余子式和余子式的关系：

4.         设行列式：

将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；

将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；

将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；

将主副角线翻转后，所得行列式为，则；

5.         行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积；

③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；

④、和：副对角元素的乘积；

⑤、拉普拉斯展开式：、

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

6.         对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

7.         证明的方法：

①、；

②、反证法；

③、构造齐次方程组，证明其有非零解；

④、利用秩，证明；

⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.         是阶可逆矩阵：

（是非奇异矩阵）；

（是满秩矩阵）

的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组有非零解；

，总有唯一解；

与等价；

可表示成若干个初等矩阵的乘积；

的特征值全不为0；

是正定矩阵；

的行（列）向量组是的一组基；

是中某两组基的过渡矩阵；

2.         对于阶矩阵： 无条件恒成立；

3.        

4.         矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5.         关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：

若，则：

Ⅰ、；

Ⅱ、；

②、；（主对角分块）

③、；（副对角分块）

④、；（拉普拉斯）

⑤、；（拉普拉斯）

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1.         一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；

等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

对于同型矩阵、，若；

2.         行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3.         初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、  若，则可逆，且；

②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；

③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；

4.         初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；

③、对调两行或两列，符号，且，例如：；

④、倍乘某行或某列，符号，且，例如：；

⑤、倍加某行或某列，符号,且，如：；

5.         矩阵秩的基本性质：

①、；

②、；

③、若，则；

④、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）

⑤、；（※）

⑥、；（※）

⑦、；（※）

⑧、如果是矩阵，是矩阵，且，则：（※）

       Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）；

       Ⅱ、

⑨、若、均为阶方阵，则；

6.         三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

②、型如的矩阵：利用二项展开式；

       二项展开式：；

       注：Ⅰ、展开后有项；

Ⅱ、

Ⅲ、组合的性质：；

③、利用特征值和相似对角化：

7.         伴随矩阵：

①、伴随矩阵的秩：；

②、伴随矩阵的特征值：；

③、、

8.         关于矩阵秩的描述：

①、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；（两句话）

②、，中有阶子式全部为0；

③、，中有阶子式不为0；

9.   线性方程组：，其中为矩阵，则：

①、与方程的个数相同，即方程组有个方程；

②、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程；

10.     线性方程组的求解：

①、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解；

③、特解：自由变量赋初值后求得；

11.     由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：

①、；

②、（向量方程，为矩阵，个方程，个未知数）

③、（全部按列分块，其中）；

④、（线性表出）

⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

1.         个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；

个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2.         ①、向量组的线性相关、无关    有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出          是否有解；（线性方程组）

③、向量组的相互线性表示    是否有解；（矩阵方程）

3.         矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；(例14)

4.         ；(例15)

5.         维向量线性相关的几何意义：

①、线性相关          ；

②、线性相关       坐标成比例或共线（平行）；

③、线性相关  共面；

6.         线性相关与无关的两套定理：

若线性相关，则必线性相关；

若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：

若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）

简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7.         向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则(二版定理7)；

向量组能由向量组线性表示，则；（定理3）

向量组能由向量组线性表示

有解；

              （定理2）

       向量组能由向量组等价（定理2推论）

8.         方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；

①、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解

②、矩阵列等价：（右乘，可逆）；

③、矩阵等价：（、可逆）；

9.         对于矩阵与：

①、若与行等价，则与的行秩相等；

②、若与行等价，则与同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

④、矩阵的行秩等于列秩；

10.     若，则：

①、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；

②、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）

11.     齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、 只有零解只有零解；

②、   有非零解一定存在非零解；

12.     设向量组可由向量组线性表示为：（题19结论）

（）

       其中为，且线性无关，则组线性无关；（与的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性：；充分性：反证法）

       注：当时，为方阵，可当作定理使用；

13.     ①、对矩阵，存在，   、的列向量线性无关；（）

②、对矩阵，存在，     、的行向量线性无关；

14.  线性相关

存在一组不全为0的数，使得成立；（定义）

有非零解，即有非零解；

，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15.     设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集的秩为：；

16.     若为的一个解，为的一个基础解系，则线性无关；（题33结论）

5、相似矩阵和二次型

1.         正交矩阵或（定义），性质：

①、的列向量都是单位向量，且两两正交，即；

②、若为正交矩阵，则也为正交阵，且；

③、若、正交阵，则也是正交阵；

       注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；

2.         施密特正交化：

；

      

       ;

3.         对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

4.         ①、与等价   经过初等变换得到；

，、可逆；

，、同型；

②、与合同   ，其中可逆；

                            与有相同的正、负惯性指数；

③、与相似   ；

5.         相似一定合同、合同未必相似；

若为正交矩阵，则，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；

6.         为对称阵，则为二次型矩阵；

7.         元二次型为正定：

的正惯性指数为；

与合同，即存在可逆矩阵，使；

的所有特征值均为正数；

       的各阶顺序主子式均大于0；

       ；(必要条件)