等差数列的性质

1、数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是            、            和             

2、等差数列的定义：如果一个数列                                     ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的         ，通常用字母___     表示.

（1）数学定义式                     （2）等差数列的单调性                    

3、等差数列的通项公式                          、                         ，推导方法                 

4、等差中项：如果A＝，那么A叫做a与b的等差中项.

5、等差数列的常用性质

(1)若{a_n}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N^*)，则a_k＋a_l＝a_m＋a_n.

(2)在等差数列中，若，则；

(3)若{a_n}，{b_n}是等差数列，则{pa_n＋qb_n}也是等差数列.

(4)若{a_n}是等差数列，公差为d，则a_k，a_k＋m，a_k＋2m，…(k，m∈N^*)是公差为md的等差数列.

(5) 等差数列{a_n}中，数列S_m，S_2m－S_m，S_3m－S_2m也成等差数列；{}也是等差数列

6、等差数列的前n项和公式                          、                         ，推导方法            

7、等差数列的前n项和公式与函数的关系    S_n＝n²＋n.

数列{a_n}是等差数列?S_n＝An²＋Bn(A、B为常数).

8、等差数列的前n项和的最值

在等差数列{a_n}中，a₁>0，d<0，则S_n存在最____值；若a₁<0，d>0，则S_n存在最____值.

在等差数列中，若，，则有最大值，我们一般有两种求解思路:

①将配方成关于的二次函数进行讨论，注意此时只能取正整数；    ②由求解。

9、等差数列的证明：①证明为常数；②证明；

③判断存在实数、，使得；④判断存在实数、，使得

10、已知数列{a_n}的前n项和S_n，则a_n＝

练习

1、如果等差数列中，，那么[        

2、（2013广东）在等差数列中,已知,则_____.

3、等差数列的前项和，若，则        

4、设等差数列的前项和为，若,则=          。

5、设等差数列的前项和为，若，，则        

6、设数列{a_n},{b_n}都是等差数列，若，，则__________。

7、设等差数列的前项和为，若则        

8、（2013辽宁）下面是关于公差的等差数列的四个命题:

 

       其中的真命题为          

9、若数列的前项和，则此数列的通项公式为       ；数列中数值最小的项是第             项。

10、已知数列满足则的最小值为__________.

11、已知等差数列{}中，则{}前n项和=

例1、已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.

（Ⅰ）求等差数列的通项公式；

（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.

例2、已知各项均为正数的两个数列和满足：，，设，，求证：数列是等差数列；

例3、已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.

(Ⅰ)证明：；

（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.

例4、【2012高考真题四川理20】数列的前项和为，且对一切正整数都成立。

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。

1、已知为等差数列，，则等于       

2、在等差数列中，，则的前5项和=        

3、设为等差数列的前项和，若，则        

4、等差数列、的前项和分别为、，若，则      。

5、等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于        

6、设数列中，，则通项 ___________。

7、在数列中，， ，则         

8．数列的首项为3，为等差数列且，若则，，则

（A）0              （B）3              （C）8              （D）11

9、设是公差为d（d≠0）的无穷等差数列﹛a_n﹜的前n项和，则下列命题错误的是（   ）

A.若d＜0，则数列﹛S_n﹜有最大项      B.若数列﹛S_n﹜有最大项，则d＜0

C.若数列﹛S_n﹜是递增数列，则对任意，均有

D. 若对任意，均有，则数列﹛S_n﹜是递增数列

10、（2013新课标Ⅱ）等差数列的前项和为,已知,则的最小值为________.

11、已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。

（Ⅰ）、求数列的通项公式；

（Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；

 

第二篇：等差数列知识点总结与基本题型

等差数列知识点总结与基本题型

一、基本概念

1、等差数列的概念

（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。

   （为常数），

    （2）对于公差，需强调的是它是每一项与它前一项的差（从第2项起）要防止把被减数与减数弄颠倒。

    （3）等差数列为递增数列

         等差数列为常数列

         等差数列为递减数列

    （4）一个等差数列至少由三项构成。

2、等差数列的通项公式

    （1）通项公式：，（当时，等式也成立）；

    （2）推导方法：①不完全归纳法：在课本中，等差数列的通项公式是由归纳而得，这种利用一些特殊现象得出一般规律的方法叫不完全归纳法。

                  ②迭加法：也称之为逐差求和的方法：

，上述式子相加，，即。

                  ③迭代法：

。

    （3）通项公式的应用与理解

    ①可根据的情况来分析数列的性质，如递增数列，递减数列等。

    ②用于研究数列的图象。

    ，

    （Ⅰ）时，是的一次函数，由于，因此，数列的图象是直线上的均匀排开的无穷（或有穷）个孤立点。

    （Ⅱ）时，，表示平行于轴的直线上的均匀排开的无穷（或有穷）个孤立点。不难得出，任意两项可以确定一个等差数列。

    ③从函数知识的角度考虑等差数列的通项公式：，是关于的一次式，所以等差数列的通项公式也可以表示为（设）。

    ④等差数列具有下列关系：

    （Ⅰ）数列中任意两项与，满足：或。

    （Ⅱ）在等差数列中，若，则。

3、等差数列的等差中项

    （1）定义：如果成等差数列，那么叫做与的等差中项。

    （2）充要条件：成等差数列。

    （3）推论：是等差数列。

4、等差数列的主要性质

  (1)若，则。

（2）数列仍为等差数列，  (，…)仍为等差数列，公差为；

（3）若三个成等差数列，可设为

（4）若是等差数列，且前项和分别为，则

（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）

的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，

即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.

当，由可得达到最小值时的值.

 (6) 是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即。

 (7) 是等差数列，则仍成等差数列。

 (8)  下标成等差数列且公差为的项：组成公差为的等差数列。

 (9)  数列（为常数）是公差为的等差数列。

5.前项和

二、基本题型

例1、判断下列数列是否是等差数列：

    （1）；（2）。

    分析：用定义去判断。

例2、求等差数列的第20项。

例3、在等差数列中，已知，，求与。

例4、已知为等差数列，且，求。

    分析：有的同学习惯于数列等差数列，对于是等差数列就束手无策了，关键还是对定义理解不透彻。

例5、等差数列中，已知，则          。

    分析：利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题，求出的值。

例6、三个数成等差数列，它们的和等于9，它们的平方和等于35，求这三个数。

    分析：若设这三个数为，则需列三个方程；若根据等差数列的定义，设这三个数为，只需列两个方程，因此，采用后一种设法更好。

例7、等差数列中，，求。

    分析：由，直接列方程组；解出两个基本量和，这是常规解法，但比较麻烦，观察的下标，可以联想到成等差数列，利用等差数列的性质，必能提高解题速度。

例8、在与7之间顺次插入三个数，使这五个数成等差数列，则这个数列为      。

    分析：此题可求出公差后，再逐项求解，也可以利用等差数列的性质求解。

例9、设是公差为的等差数列，如果，那么（   ）

    A、           B、           C、            D、