解三角形

一、知识点：

1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．（两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.）

2、正弦定理的变形公式：①，，；

②，，；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中）

③；

④．

3、三角形面积公式：

4．余弦定理：  或      

（两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.）

5、设、、是的角、、的对边，则：①若，则为直角三角形；②若，则为锐角三角形；③若，则为钝角三角形．

6．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

7．解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：

      

二、知识演练

1、ΔABC中,a=1,b=, ∠A=30°,则∠B等于   （    ）

   A．60°         B．60°或120°  C．30°或150°      D．120°

2、若(a+b+c)(b+c－a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是 （    ）

   A．直角三角形   B．等边三角形   C．等腰三角形       D．等腰直角三角形

3．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为(     )．

A．90°     B．120°    C．130°    D．150°

4．在△ABC 中， ，则A等于（     ）

A．60°　　    B．45°　　    C．120°　　        D．30°

5．在△ABC中，A为锐角，lgb-lgc=lgsinA=－lg, 则△ABC为（     ）

A. 等腰三角形     B. 等边三角形    C. 直角三角形     D. 等腰直角三角形

6、锐角中，B=2A，则的取值范围是（  ）

A（-2，2）    B（0，2）   C（，2）  D）

7.在ABC中．．则A的取值范围是   

    A．（0，]    B．[ ，）  C．（0，]    D．[ ，）

8.在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝，若△ABC有两解，则x的取值范围是_______________

9. 中，，则AB+2BC的最大值为_________．

10．a，b，c为△ABC的三边，其面积S△ABC＝12，bc＝48，b-c＝2，求a

11.在中，角所对的边分别为，且满足，．（I）求的面积；   （II）若，求的值．

12、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足。

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求的最大值。

13、在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．

   （I）求的值；

   （II）若cosB=，b=2，的面积S。

 

第二篇：高中数学必修5第一章解三角形同步练习

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正弦定理和余弦定理同步练习

基础达标

一、选择题

1.在△ABC中,a=1,b=,A=30°,则B等于( )

A.60° B.60°或120°

C.30°或150° D.120°

解析:∵b=3>a=1,A=30°,

∴B有两个解. ∵ab=, sinAsinB

bsinA=a?∴sinB=1=. 21

∴B=60°或120°.

答案:B

2.在△ABC中,A=60°,C=45°,b=2,则此三角形的最小边长为( ) A.2 B.2-2 C.-1 D.2(2-1) 解析:∵A=60°,C=45°,

∴B=180°-60°-45°=75°,故c边最小. 2

cbbsinC2=∵=,∴c===2-2. sinCsinBsinBsin75?sin45?cos30??cos45?sin30?2?

答案:B

3.△ABC中,根据下列条件,确定△ABC有两解的是( )

A.a=18,b=20,A=120° B.a=60,c=48,B=60°

C.a=3,b=6,A=30° D.a=14,b=16,A=45°

解析:三角形有两解,则已知角必为锐角,故排除A;B是已知两边及夹角,只有一解;在C中,sinB=

答案:D

4.已知△ABC中,a=3,b=1,B=30°,则其面积等于( ) bsinA6?sin30?==1,只有一解. a3

333或3 B.C.或D. 22 42 4

ab解析:∵=, sinAsinB

1?asinB=. ∴sinA==b21A.

∴A=60°或120°.

当A=60°时,C=90°,

S△ABC=13ab=; 22

1113absinC=××=. 2224 当A=120°时,C=30°, S△ABC=

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答案:C

5.在△ABC中,若sinAcosB=,则B的值为…( ) ab

A.30° B.45° C.60° D.90°

sinAsinB=, ab

sinBcosB∴=.∴sinB=cosB. bb解析:∵

∴B=45°.

答案:B

6.在△ABC中,a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)的值是( ) A.

解析:a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0.

答案:B

7.已知△ABC中,acosB=bcosA,则△ABC为( )

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰或直角三角形 D.钝角三角形

解析:∵a=2RsinA,b=2RsinB,

∴sinAcosB=sinB·cosA,即tanA=tanB.

∴A=B.

∴△ABC为等腰三角形.

答案:A

8.在△ABC中,C=2B,则1B.0 C.1 D.π 2 sin3B等于( ) sinB

abacA.B.C.D. b a c a

sin3Bsin(2B?B)sin(C?B)sinAa解析:====. sinBsinBsinBsinBb

答案:A

二、填空题

29.三角形的两边分别为3 cm和5 cm,它们所夹角的余弦为方程5x-7x-6=0的根,则这个三角

形的面积是_______________________________.

2答案:6 cm

10.△ABC中,已知b=2a,B=A+60°,则A=___________________________.

a1sinA1=,∴=, b2sinB2

sinA1 即=. sin(A?60?)2解析:∵

整理得sinA=33cosA,即tanA=. 33

∴A=30°.

答案:30°

三、解答题

11.已知三角形的两角分别是45°、60°,它们夹边的长是1,求最小边长.

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解:如图所示,A=75°,

故最小的边长为b.

1b=. sin75?sin45?

解得b=3-1. ∴

12.如图所示,AB⊥BC,CD=33,∠ACB=15°,∠BCD=75°,∠BDC=45°,求AB的长. 解:在△DBC中,

∠DBC=180°-(∠BDC+∠BCD)=180°-(45°+75°)=60°.

在△BCD中,由正弦定理,得

BCDC=, sin?BDCsin?DBC

33sin45?∴BC==116. sin60?

在Rt△ABC中,AB=BCtan15°=116(2-3)=226-332. 更上一层

1.在△ABC中,已知tanA=11,tanB=,且最长边为1,求: 23

(1)角C的大小;

(2)△ABC最短边的长.

解:(1)∵tanC=tan(π-A-B)=-tan(A+B)

tanA?tanB=-1, 1?tanAtanB

3?∴C=. 4

113?(2)∵tanA=>=tanB,C=, 234=-

∴C为最大角,B为最小角.

1,∴sinB=. 310

bc 由正弦定理,得=, sinBsinC

csinB∴b==. sinC5 又tanB=

2.在△ABC中,已知A+C=2B,tanA·tanC=2+.

(1)求A、B、C的值;

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(2)若顶点C的对边c上的高等于4,求△ABC各边的长.

思路分析:结合题目的条件,由tanA·tanC=2+3,A+C=2B,可知B=60°,A+C=120°,

∴可利用两角和的正切公式求tanA+tanC,从而构造方程求A与C的正切值,再求角A与C. 解:(1)∵A+C=2B,A+C+B=180°,

∴B=60°.∴A+C=120°.

tanA?tanC=-3, 1?tanA?tanC

则tanA+tanC=3+. ∴tan(A+C)=

那么tanA、tanC即为x-(3+3)x+(2+3)=0的两根. 2?tanA?1,?tanA?2?3,∴?或?

?tanC?2?3?tanC?1.

?A?45?,?C?45?,??∴?B?60?,或?B?60?,

?C?120??45??75??A?120??45??75?.??

?A?45?,?(2)如图,当?B?60?,时

,

?C?75??

∵CD=4,∴CB=8,BD=4,AD=4,AC=46.

∴AB=4+43.

?A?75?,? 当?B?60?,时,如图

.

?C?45??

∵CD=4,∴CB=8,BD=4, 4434362?AC=sin75?=sin(45??30?)=44=2?6

=43(6-2)=4(-1).

∴AB=BD+AD=4+4(2-3)=8-8.

3.某人在草地上散步,看到他西方有两根相距6米的标杆,当他向正北方向步行3分钟后,看到一根标杆在其西南方向上,另一根标杆在其南偏西30°方向上,求此人步行的速度.

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解:如图所示,A、B两点的距离为6米,当此人沿正北方向走到C点时,测得∠BCO=45°,∠ACO=30°,

∴∠BCA=∠BCO-∠ACO=45°-30°=15°.

由题意,知∠BAC=120°,∠ABC=45°.

在△ABC中,由正弦定理,得

ACAB=, sin?ABCsin?BCA

AB?sin?ABC6?sin45? 即有AC===6+6. sin?BCAsin15?

在Rt△AOC中,有

OC=AC·cos30°=(63+6)×

设步行速度为x米/分, =9+33. 2

9?33

则x==3+≈4.73. 3

即此人步行的速度约为4.73米/分.

解三角形应用举例同步练习

1．在△ABC中，下列各式正确的是（ ）

asinB＝ B.asinC＝csinB bsinA

222C.asin(A＋B)＝csinA D.c＝a＋b－2abcos(A＋B)

222．已知三角形的三边长分别为a、b、a＋ab＋b ，则这个三角形的最大角是（ ）

A.135° B.120° C.60° D.90°

3．海上有A、B两个小岛相距10 nmile，从A岛望B岛和C岛成60°的视角，从B岛望A岛和C岛成75°角的视角，则B、C间的距离是（ ） 102 nmile B.103 nmile C. nmile D.56 36

nmile

4．如下图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，测量应当用数据

A.α、a、b B.α、β、a

C.a、b、γ D.α、β、γ

5．某人以时速a km向东行走，此时正刮着时速a km的南风，

那么此人感到的风向为 ，风速为 .

6．在△ABC中，tanB＝1，tanC＝2，b＝100，则c＝ .

7．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60° 的方向航行30 nmile后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯

塔的距离是 .

8．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为

030，则甲、乙两楼的高分别是 .

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9．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔沿直线行走30米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔前进103 米，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是 米.

cos2Acos2B1110．在△ABC中，求证：－＝－ . abab

11．欲测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，求河宽.（精确到0.01 m）

12．甲舰在A处，乙舰在A的南偏东45°方向，距A有9 nmile，并以20 nmile/h的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲舰以28 nmile/h的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追上乙舰？

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解三角形应用举例同步练习参考答案

1．C 2．B 3．D 4．C

205．东南 2 a 6．40 7．3 8．203 3 9．15 3cos2Acos2B1110．在△ABC中，求证：2－2＝2－2 .

2abab2221－2sinA1－2sinB11sinAsinB －＝(2 2－2(2－2 )＝右边. a2b2abab11．欲测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，求河宽.（精确到0.01 m）

解：由题意C＝180°－A－B＝180°－45°－75°＝60°

ABBC在△ABC中，由正弦定理 ＝sinCsinA

2120×2ABsinA120×sin45∴ BC＝＝ ＝＝6 sinCsin6032

11S△ABC＝ AB·BCsinBAB·h 220

∴h＝BCsinB＝406 ×6＋2＝60＋203 ≈94.64 4

∴河宽94.64米.

12．甲舰在A处，乙舰在A的南偏东45°方向，距A有9 nmile，并以20 nmile/h的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲舰以28 nmile/h的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追上乙舰？

解：设th甲舰可追上乙舰，相遇点记为C

则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝120°

由余弦定理

AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosABC

122(28t)＝81＋(20t)－2×9×20t×(－ ) 2

2整理得128t－60t－27＝0

39解得t＝ (t＝－ 舍去) 432

故BC＝15（nmile），AC＝21( nmile)

由正弦定理ACBC? sin120?sinBAC

15355∴sinBAC＝ ×3 ∠BAC＝arcsin3 2121414π5故甲舰沿南偏东－

arcsin

3 的方向用0.75 h可追上乙舰. 414

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