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三角函数 三角恒等变换知识点总结

一、角的概念和弧度制：

（1）在直角坐标系内讨论角：

角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与?角终边相同的角的集合：{?|??3600k??,k?Z}或{?|??2k???,k?Z}

与?角终边在同一条直线上的角的集合： ；

与?角终边关于x轴对称的角的集合： ；

与?角终边关于y轴对称的角的集合： ；

与?角终边关于y?x轴对称的角的集合： ；

②一些特殊角集合的表示：

终边在坐标轴上角的集合： ；

终边在一、三象限的平分线上角的集合： ；

终边在二、四象限的平分线上角的集合： ；

终边在四个象限的平分线上角的集合： ；

（3）区间角的表示：

①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；

第一、三象限角： ；

②写出图中所表示的区间角：

（4）正确理解角：

要正确理解“0~90间的角”；

“第一象限的角”= ；“锐角”= ；

“小于90的角”；

（5）由?的终边所在的象限，通过 来判断

来判断?

3ooo?2所在的象限。 所在的象限

（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一

已知角?的弧度数的绝对值|?|?l

r，其中l为以角?作为圆心角时所对圆弧的长，

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r为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。

（7）弧长公式： ；半径公式： ；

扇形面积公式： ；

二、任意角的三角函数：

（1）任意角的三角函数定义：

以角?的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角?的终边上任取一个

异于原点的点P(x,y)，点P到原点的距离记为r，则sin?? ；cos?? ；

tan??cot??sec??；csc??；

如：角?的终边上一点(a,?3a)，则cos??2sin??注意r>0 （2）在图中画出角?的正弦线、余弦线、正切线；

比较x?(0,

?

2

)，sinx，tanx，x的大小关系：。

（3）特殊角的三角函数值：

三、同角三角函数的关系与诱导公式：

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作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

（2）诱导公式：

2k?????：， ?????： ， ， ； ????：； ?????：； 2?????：， ?????： ， ， ； 2

?

2

3?

2

3?

2????： ， ， ； ????： ， ， ； ????： ， ， ； 诱导公式可用概括为：

?3?2K?±?,-?,±?,?±?,±?的三角函数

奇变偶不变，符号看象限 ?的三角函数 22

作用：“去负——脱周——化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路．即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数——去负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间[0o,360o)或[0o,180o)内的三角函数——脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数——化锐.

（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：

①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以

讨论。

②求任意角的三角函数值。

步骤：

公式二、

四、五、

六、七、

八、九

③已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个．

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步骤： ①确定角?所在的象限；

②如函数值为正，先求出对应的锐角?1；如函数值为负，先求出与其绝对值对

应的锐角?1；

③根据角?所在的象限，得出0~2?间的角——如果适合已知条件的角在第二限；

则它是???1；如果在第三或第四象限，则它是???1或2???1；

④如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有

角的集合。

?? ，cos?? ；sin(如tan??m，则sin

cot(15?

2??)?_________。 3?2??)?；

注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；

（8，15，17）；

四、三角函数图像和性质

1．周期函数定义

定义 对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x?T)?f(x)都成立，那么就把函数f(x)叫做周期函数，不为零的常数T

叫做这个函数的周期．

请你判断下列函数的周期

y?sinx y?cosx y?|cosx| y?cos|x| y?|sinx| y=tan x y=tan |x| y=|tan x| y?sin|x|

例 求函数f(x)=3sin (

于1

k5x??3)(k?0)的周期。并求最小的正整数k,使他的周期不大

注意

理解函数周期这个概念，要注意不是所有的周期函数都有最小正周期，如常函数

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f(x)＝c（c为常数）是周期函数，其周期是异于零的实数，但没有最小正周期．

结论：如函数f(x?k)?f(x?k)对于任意的x?R，那么函数f(x)的周期T=2k;

如函数f(x?k)?f(k?x)对于任意的x?R，那么函数f(x)的对称轴是x?(x?k)?(k?x)

2?k

2．图像

3、图像的平移

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对函数y＝Asin(ωx＋?)＋k (A＞0, 0, ≠0, k≠0),其图象的基本变换有： ．．．．ω．＞．．．?．．．．．．．．(1)振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A的变化引起的．A＞1,伸长；A＜1,缩短． (2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的．ω＞1，缩短；ω＜1,伸长． (3)相位变换(横向平移变换)：是由φ的变化引起的．?＞0,左移；?＜0，右移． (4)上下平移(纵向平移变换): 是由k的变化引起的．k＞0, 上移；k＜0,下移

四、三角函数公式：

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三倍角公式：sin3??3sin??4sin3?；cos3??4cos3??3cos?；

五、三角恒等变换：

三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角

之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：

①2?是?的二倍；4?是2?的二倍；?是

倍；?3?2的二倍；?2是?4的二倍；3?是3?2的二是?6的二倍；?

2?2?是?

4

o??的二倍。 ②15o?45?30oo?60o?45o?30

2；问：sin

?

4?12? ；cos?12? ； ③??(???)??；④?

4????

2?(??)； ⑤2??(???)?(???)?(?

4??)?(?

4??)；等等

（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是

基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常

数“1”的代换变形有：

1?sin2??cos2??sec2??tan2??tan?cot??sin90o?tan45o

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的

方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式?cos?常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；

（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。

1?tan?1?tan??_____________?______________； 如：； 1?tan?1?tan?

tan??tan??__________

tan??tan??____________；1?tan?tan??____________；1?tan?tan??___________； _；

2tan??；1?tan2??

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tan20o?tan40o?3tan20tan40oo?

sin??cos?? = ；

asin??bcos?? = ；

（其中tan??；）

1?cos?? ；1?cos?? ；

（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；

基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有

理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。 如：sin50o(1?3tan10)? ；tan??cot?? ； o

?2?4?co?； coco999

cos

cos?72?

7?cos3?77?cos5?77?；推广： ? ?cos4??cos6?

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第二篇：三角函数知识点总结

高中数学第四章-三角函数

考试内容：
数学探索©版权所有www.delve.cn角的概念的推广．弧度制．
数学探索©版权所有www.delve.cn任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．
数学探索©版权所有www.delve.cn两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．
数学探索©版权所有www.delve.cn正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．
数学探索©版权所有www.delve.cn正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．
数学探索©版权所有www.delve.cn考试要求：
数学探索©版权所有www.delve.cn（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．
数学探索©版权所有www.delve.cn（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义．
数学探索©版权所有www.delve.cn（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
数学探索©版权所有www.delve.cn（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
数学探索©版权所有www.delve.cn（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．
数学探索©版权所有www.delve.cn（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx表示．
数学探索©版权所有www.delve.cn（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．
数学探索©版权所有www.delve.cn（8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα?cosα=1”．

§04. 三角函数  知识要点

1. ①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：

②终边在x轴上的角的集合：  

③终边在y轴上的角的集合：

④终边在坐标轴上的角的集合： 

⑤终边在y=x轴上的角的集合： 

⑥终边在轴上的角的集合：

⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：

⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：

⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：

⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：

2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745  1=57.30°=57°18′

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

、弧度与角度互换公式：  1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ．     1°＝≈0.01745（rad）

3、弧长公式：.       扇形面积公式：

4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则  ；  ；  ；  ；  ；. .

5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

6、三角函数线

   正弦线：MP;   余弦线：OM;    正切线： AT.

7. 三角函数的定义域：

8、同角三角函数的基本关系式：    

    

  

9、诱导公式：

“奇变偶不变，符号看象限”

 三角函数的公式：（一）基本关系

                                            

公式组二                  公式组三

                                                  

公式组四               公式组五               公式组六            

                          

（二）角与角之间的互换

公式组一                                  公式组二

  

  

       

  

              

          

公式组三                    公式组四                                    公式组五

       

  

    

,,,.

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

注意：①与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若在上递增（减），则在上递减（增）.

②与的周期是.

③或（）的周期.

的周期为2（，如图，翻折无效）.

④的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称中心（）.

⑤当·；·.

⑥与是同一函数,而是偶函数，则

.

⑦函数在上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）

奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）

奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）

⑨不是周期函数；为周期函数（）；

是周期函数（如图）；为周期函数（）；

的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

.

⑩ 有.

11、三角函数图象的作法：

１）、几何法：

２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.

３）、利用图象变换作三角函数图象．

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．

函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期，频率，相位初相（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），

由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）

由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）

由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

4、反三角函数：

函数y＝sinx，的反函数叫做反正弦函数，记作y＝arcsinx，它的定义域是［－1，1］，值域是．

函数y＝cosx，（x∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y＝arccosx，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］．

函数y＝tanx，的反函数叫做反正切函数，记作y＝arctanx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是．

函数y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y＝arcctgx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．

II. 竞赛知识要点

一、反三角函数.

1. 反三角函数：⑴反正弦函数是奇函数，故，（一定要注明定义域，若，没有与一一对应，故无反函数）

注：，，.

⑵反余弦函数非奇非偶，但有，.

注：①，，.

②是偶函数，非奇非偶，而和为奇函数.

⑶反正切函数：，定义域，值域（），是奇函数，

，.

注：，.

⑷反余切函数：，定义域，值域（），是非奇非偶.

，.

注：①，.

②与互为奇函数，同理为奇而与非奇非偶但满足.

⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：

的取值范围   解集                             的取值范围   解集

①的解集                               ②的解集

＞1                                        ＞1           

=1                  =1  

＜1            ＜1 

③的解集：         ③的解集：

二、三角恒等式.

组一

组二

组三三角函数不等式

＜＜            在上是减函数

若，则