五、数列

一、数列定义：

     数列是按照一定次序排列的一列数，那么它就必定有开头的数，有相继的第二个数，有第三个数，……，于是数列中的每一个数都对应一个序号；反过来，每一个序号也都对应于数列中的一个数。因此，数列就是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为；  通常用代替，于是数列的一般形式常记为或简记为，其中表示数列的通项。

注意：（1）与是不同的概念，表示数列，而表示的是数列的第项；

（2）数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值。

（3）和之间的关系：

如：已知的满足，求。

二、等差数列、等比数列的性质：

如：（1）在等差数列中，，则                 ；

（2）在等比数列中，，则                 ；

另外，等差数列中还有以下性质须注意：

（1）等差数列中，若，则             ；

（2）等差数列中，若，则             ；

（3）等差数列中，若，则     ；    ；

（4）若，则                                             时，最大。

（5）若与均为等差数列，且前n项和分别为与，

则；

（6）项数为偶数的等差数列，有（与为中间的两项）

            ；         ；

项数为奇数的等差数列，有（为中间项）

            ；         ；            ；

等比数列中还有以下性质须注意：

（1）若是等比数列，则，也是等比数列，公比分别     ；      ；

（2）若是等比数列，则，也是等比数列，公比分别        ；        ；

三、判定方法：

（1）等差数列的判定方法：

①定义法：或（为常数）是等差数列

②中项公式法：是等差数列

③通项公式法：（为常数）是等差数列

④前项和公式法：（为常数）是等差数列

注意：①②是用来证明是等差数列的理论依据。

（2）等比数列的判定方法：

①定义法：或（是不为零的常数）是等比数列

②中项公式法：是等差数列

③通项公式法：（是不为零常数）是等差数列

④前项和公式法：（是常数）是等比数列

注意：①②是用来证明是等比数列的理论依据。

四、数列的通项求法：

（1）观察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，……（2）21，203，2005，20007，……

（2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。

①递推式为及（为常数）：直接运用等差（比）数列。

②递推式为：迭加法

如：已知中，，求

③递推式为：迭乘法

如：已知中，，求

④递推式为（为常数）：

构造法：Ⅰ、由相减得，则

为等比数列。

Ⅱ、设，得到，，则 为等比数列。

如：已知，求

⑤递推式为（为常数）：

两边同时除去得，令，转化为，再用④法解决。

如：已知中，，，求

⑥递推式为（为常数）：

将变形为，可得出解出，于是是公比为的等比数列。

如：已知中，，，求

（3）公式法：运用

①已知，求；②已知中， ，求；

③已知中，，求

五、数列的求和法：

（1）公式法：

①等差（比）数列前项和公式：②            ；

③；④

（2）倒序相加（乘）法：

如：①求和：；

②已知为不相等的两个正数，若在之间插入个正数，使它们构成以为首项，为末项的等比数列，求插入的这个正数的积；

（3）错位相减法：如：求和：

（4）裂项相消法：             ；             ；

如：①           ；

②           ；

③若，则               ；

（5）并项法：如：求

（6）拆项组合法：如：在数列中，，求，

六、数列问题的解题的策略：

（1）分类讨论问题：①在等比数列中，用前项和公式时，要对公比进行讨论；只有 时才能用前项和公式，时

②已知求时，要对进行讨论；最后看满足不满足，若满足中的扩展到，不满足分段写成。

（2）设项的技巧：

①对于连续偶数项的等差数列，可设为，公差为；

对于连续奇数项的等差数列，可设为，公差为；

②对于连续偶数项的等比数列，可设为，公比为；

对于连续奇数项的等比数列，可设为公比为；

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第二篇：高中数学知识点总结与题库(数列)

第六章  数列

二、重难点击

本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前项和公式及运用，等差数列、等比数列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。

知识网络

 

第一课时    数列

四、数列通项与前项和的关系

1．

2．

课前热身

3．数列的通项公式为 ,则数列各项中最小项是(   B   )

A．第４项　　B．第５项　　C．第６项　　D．第７项

4．已知数列是递增数列，其通项公式为,则实数的取值范围是

5．数列的前项和,，则

题型一  归纳、猜想法求数列通项

【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式

     ⑴7，77，777，7777，…

⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9…

解析：⑴将数列变形为，

⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。可得数列的通项公式为

点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。

题型二 应用求数列通项

例2．已知数列的前项和，分别求其通项公式.

⑴     

解析：⑴当，

当

又不适合上式，故 

三、利用递推关系求数列的通项

【例3】根据下列各个数列的首项和递推关系，求其通项公式

⑴

解析：⑴因为，所以

所以

…，…，

以上个式相加得

 

即：

点拨：在递推关系中若求用累加法，若求用累乘法，若，求用待定系数法或迭代法。

课外练习

3设，()，则的大小关系是(  C  )

A．　　B．

C．　　D．不能确定

解：因为

所以，选Ｃ．

二、填空题           

5．已知数列的前项和则

7．已知数列的通项（），则数列的前30项中最大项和最小项分别是

解：构造函数

由函数性质可知，函数在上递减，且

函数在上递增且

三、解答题

6.2 等差数列

知识要点

2．递推关系与通项公式

是数列成等差数列的充要条件。

３．等差中项：

若成等差数列，则称的等差中项，且；成等差数列是的充要条件。

４．前项和公式

 ；

是数列成等差数列的充要条件。

5．等差数列的基本性质

⑴反之，不成立。

⑵

⑶

⑷仍成等差数列。

６．判断或证明一个数列是等差数列的方法：

①定义法：

是等差数列

②中项法：

是等差数列

③通项公式法：

是等差数列

④前项和公式法：

是等差数列

课前热身

2．等差数列中，

A．14　　B．15　　C．16　　D．17

。

3．等差数列中，，则前10或11项的和最大。

解：

∴为递减等差数列∴为最大。

4．已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110

解：∵

　成等差数列，公差为D其首项为

，前10项的和为

   

６．设等差数列的前项和为，已知

 

①求出公差的范围，

②指出中哪一个值最大，并说明理由。

解：①

         

②

 

课外练习

一、 选择题

1．  已知数列是等差数列，，其前10项的和，则其公差等于(  D  )

2．  已知等差数列中，等于（  A  ）

A．15   B．30   C．31   D．64

二、填空题

3．  设为等差数列的前项和，=54

4．  已知等差数列的前项和为，若

5．  设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同点

组成公差为的等差数列，则的取值范围为

解：椭圆的焦点F到椭圆上的点最大、最小距离分别为，由题意得：

三、解答题

6．  等差数列的前项和记为，已知

   ①求通项；②若=242，求

解：

由，=242

7．  甲、乙两物体分别从相距70的两处同时相向运动，甲第一分钟走2，以后每分钟比前一分钟多走1，乙每分钟走5，①甲、乙开始运动后几分钟相遇？②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1，乙继续每分钟走5，那么，开始运动几分钟后第二次相遇？

解：①设分钟后第一次相遇，依题意有：

故第一次相遇是在开始运动后7分钟。

②设分钟后第二次相遇，则：

故第二次相遇是在开始运动后15分钟

10．已知数列中，前和

①求证：数列是等差数列

②求数列的通项公式

③设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值，若不存在，试说明理由。

解：①∵

∴数列为等差数列。

②

③

要使得对一切正整数恒成立，只要≥，所以存在实数使得对一切正整数

都成立，的最小值为。

6.3等比数列

知识要点

1． 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为。

2． 递推关系与通项公式

3． 等比中项：若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成等比数列的必要而不充分条件。

4． 前项和公式

5． 等比数列的基本性质，

   ①反之不真！

   ②

   ③为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。

   ④仍成等比数列。

6． 等比数列与等比数列的转化

  ①是等差数列是等比数列；

②是正项等比数列是等差数列；

   ③既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列。

7． 等比数列的判定法

①定义法：为等比数列；

②中项法：为等比数列；

③通项公式法：为等比数列；④前项和法：为等比数列。

1．  

2． 已知数列是等比数列，且70   （问题引入）

猜想：是等比数列，公比为。

证明如下：∵

               

即：，∴是首项为，公比为的等比数列。

二、性质运用

例2：⑴在等比数列中，

①求，

②若

  ⑵在等比数列中，若，则有等式

成立，类比上述性质，相应的在等比数列中，若则有等式        成立。

 解：⑴①由等比数列的性质可知：

       

      ②由等比数列的性质可知，是等差数列，因为

⑵由题设可知，如果在等差数列中有

成立，我们知道，如果，而对于等比数列，则有所以可以得出结论，若

成立，在本题中

点拨：历年高考对性质考查较多，主要是利用“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新，要熟练掌握。

典例精析

一、 错位相减法求和

例1：求和：

 解：⑴

 ⑵

          ①

    ②

   由①－②得：

点拨：①若数列是等差数列，是等比数列，则求数列的前项和时，可采用错位相减法；

      ②当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论；

      ③当将与相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号。

二、裂项相消法求和

例2：数列满足=8， （）

   ①求数列的通项公式；

则

所以，=8＋（－1）×（－2）＝—10－2

② 

 对一切恒成立。

故的最大整数值为5。

点拨：①若数列的通项能转化为的形式，常采用裂项相消法求和。

      ②使用裂项消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项。

三、 奇偶分析法求和

例3：设二次函数 

1．  在等差数列中，=1，前项和满足

   ①求数列的通项公式

   ②记，求数列的前项和。

解：①设数列的公差为，由

所以=

②由，有

 所以   ①

 

②

①－②得

课外练习

１． 数列的前项和为，若等于（  B  ）

４．的定义域为，且是以2为周期的周期函数，数列是首项为，公差为1的等差数列，那么的值为（  C  ）

A．－1    B．1    C．0    D．10

解：因为函数的定义域为，且是以2为周期的周期函数，

所以

又数列是首项为，公差为1的等差数列

故原式=0，选C。

二、填空题

５．设等比数列的公比与前项和分别为和，且≠1，

6．数列满足

，则数列的前项和为

= ）

７．数列的前100项的和为。（）

典例精析

一、 函数与数列的综合问题

    

①设是常数，求证：成等差数列；

   ②若，的前项和是，当时，求

解：①，

    

     ②

点拨：本例是数列与函数综合的基本题型之一，特                    征是以函数为载体构建数列的递推关系，通过由函数的解析式获知数列的通项公式，从而问题得到求解。

１．     已知正项数列的前项和为，的等比中项，

  ①求证：数列是等差数列；

  ②若，数列的前项和为，求

   ③在②的条件下，是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，试求出；若不存在，说明理由。

解：①的等比中项，

    

   

    所以数列是等差数列。

    ②

   

        

所以当且仅当3+=0，即=－3时，数列  为等比数列。

２． 已知在正项数列中，=2，且

在双曲线上，

数列中，

点（，）在直线上，其中是数列的前项和，①求数列的通项公式；②求证：数列是等比数列。③若。

解：①由已知带点在上知，

 －＝１，所以数列是以2为首项，以1为公差的等差数列。

所以

②因为点（,）在直线上，

       ③

        

一、选择题

1.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时，           

A.             B.           C.              D.

【解析】由得，，则，  ，选C.           

答案  C

2.（2009辽宁卷理）设等比数列{ }的前n 项和为  ，若  =3 ，则   =        

A. 2       B.       C.          D.3

【解析】设公比为q ,则＝1＋q3＝3  Þ  q3＝2

        于是     

【答案】B

14.(2009湖北卷理)已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为__________。    

答案 4  5  32

解析 （1）若为偶数，则为偶, 故

①当仍为偶数时，  故

②当为奇数时，

故得m=4。

（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数

，所以=1可得m=5

16.（2009陕西卷文）设等差数列的前n项和为,若,则                .     

解析:由可得的公差d=2,首项=2,故易得2n.

答案:2n

17.(2009陕西卷理)设等差数列的前n项和为,若,则                .

答案：1

22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列中，

（I）设，求数列的通项公式

（II）求数列的前项和

分析：（I）由已知有

利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()

（II）由（I）知,

=

而,又是一个典型的错位相减法模型，

易得=

23.（2009北京理）已知数集具有性质；对任意的

，与两数中至少有一个属于.

（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；

（Ⅱ）证明：，且；

（Ⅲ）证明：当时，成等比数列.

【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分

分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.

（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P.

 由于都属于数集，

  ∴该数集具有性质P.

（Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，

由于，∴，故.     

从而，∴.

∵， ∴，故.

由A具有性质P可知.

又∵，

∴，

从而，

∴.     

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即，

 ∵，∴，∴，

由A具有性质P可知.

 ，得，且，∴，

∴，即是首项为1，公比为成等比数列.

    

25（2009江苏卷）对于正整数≥2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中（和可以相等）；对于随机选取的（和可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率。

（1）求和；

（2）求证：对任意正整数≥2，有.

【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。

     

        

29.（2009江西卷理）各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有

（1）当时，求通项            

（2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有

解：（1）由得

将代入化简得          

 

所以           

故数列为等比数列，从而

即

可验证，满足题设条件.

(2) 由题设的值仅与有关,记为则           

考察函数 ,则在定义域上有          

故对， 恒成立.           

又 ,

注意到,解上式得

取,即有  .           

30. (2009湖北卷理)已知数列的前n项和（n为正整数）。

（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；

(Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。

解（I）在中，令n=1，可得，即

当时，，

.

  .                       

 又数列是首项和公差均为1的等差数列.

 于是.

(II)由（I）得，所以

由①-②得                  

于是确定的大小关系等价于比较的大小

由                   

可猜想当证明如下：

证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。

（2）假设时

所以当时猜想也成立

综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有

证法2：当时

综上所述，当，当时

31.（2009四川卷文）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。                                        

（I）求数列与数列的通项公式；

（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；

（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；

解（I）当时，                                         

又

∴数列是首项为，公比为的等比数列，

∴，          …………………………………3分

（II）不存在正整数，使得成立。

证明：由（I）知                                         

∴当n为偶数时，设                                          

∴

当n为奇数时，设

∴

∴对于一切的正整数n，都有                                         

∴不存在正整数，使得成立。      …………………………………8分

（III）由得                                        

又，                                        

当时，，

当时，

32.（2009湖南卷文）对于数列,若存在常数M＞0,对任意的，恒有

,            则称数列为数列.

（Ⅰ）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;

（Ⅱ）设是数列的前n项和.给出下列两组判断：

A组：①数列是B-数列,      ②数列不是B-数列;

B组：③数列是B-数列,      ④数列不是B-数列.

请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.

判断所给命题的真假，并证明你的结论；

(Ⅲ)若数列是B-数列，证明：数列也是B-数列。

解: （Ⅰ）设满足题设的等比数列为,则.于是

    

           

==

所以首项为1，公比为的等比数列是B-数列    .

（Ⅱ）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列.此命题为假命题.

事实上设=1，，易知数列是B-数列，但=n，

       .

由n的任意性知，数列不是B-数列。

命题2：若数列是B-数列，则数列不是B-数列。此命题为真命题。

事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的，有

       ,

       即.于是

,

所以数列是B-数列。

（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法）          

 (Ⅲ)若数列是B-数列，则存在正数M，对任意的有

 .

因为

 .

记，则有

 .

因此.

故数列是B-数列.

33. (2009陕西卷理) 已知数列满足， .

猜想数列的单调性，并证明你的结论；

（Ⅱ)证明：。   

证明（1）由

由猜想：数列是递减数列

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，已证命题成立    （2）假设当n=k时命题成立，即

易知，那么

=

即

也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立

（2）当n=1时，，结论成立

当时，易知

     

35.（2009天津卷理）已知等差数列{}的公差为d（d0），等比数列{}的公比为q（q>1）。设=+…..+ ,=-+…..+(-1,n     

若== 1，d=2，q=3，求  的值；

若=1，证明（1-q）-（1+q）=，n；    

(Ⅲ)   若正数n满足2nq，设的两个不同的排列， ，   证明。

本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。

（Ⅰ）解：由题设，可得

所以，     

（Ⅱ）证明：由题设可得则

                       ①

                 ②

式减去②式，得    

     

式加上②式，得

                     ③

式两边同乘q，得

     

所以，

     

                               

(Ⅲ)证明：   

                

因为所以

           

若，取i=n     

若，取i满足且

由（1）,(2)及题设知，且

    

当时，得

即，…，

又所以

     

因此

当同理可得，因此   

综上，

37.（20##年上海卷理）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。

若，是否存在，有说明理由；   

找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；

若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。

[解法一]（1）由，得，                 ．．．．．．2分

整理后，可得，、，为整数， 

不存在、，使等式成立。                               ．．．．．．5分

（2）若，即，                         （*）

（ⅰ）若则。 

当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。            ．．．．．．7分

（ⅱ）若，（*）式等号左边取极限得，（*）式等号右边的极限只有当时，才能等于1。此时等号左边是常数，，矛盾。

综上所述，只有当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。．．．．．．10分

【解法二】设  

则

若d=0，则  

若（常数）即，则d=0，矛盾

综上所述，有，       10分

（3）  

设.

，

.               13分

取    15分

由二项展开式可得正整数M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1,

  

故当且仅当p=3s,sN时，命题成立.     

说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）

若p为偶数，则am+1+am+2+……+am+p为偶数，但3k为奇数

故此等式不成立，所以，p一定为奇数。

当p=1时，则am+1=bk,即4m+5=3k，

而3k=(4-1)k

=

当ｋ为偶数时，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k成立                        1分

当p=3时，则am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk,  

也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1

由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m,  4m+9=3k成立      2分

当p=5时，则am+1+am+2+……+am+5=bk,即5am+3=bk

也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m不存在

故不是所有奇数都成立.                                            2分

三、解答题

10.（2008全国I）设函数．数列满足，．

（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；

（Ⅱ）证明：；

（Ⅲ）设，整数．证明：．

（Ⅰ）证明：，

故函数在区间(0,1)上是增函数；

（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，

由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；

（ⅱ）假设当时，成立，即

那么当时，由在区间是增函数，得

.而，则，

，也就是说当时，也成立；

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.

 （Ⅲ）证明：由．可

若存在某满足，则由⑵知：

若对任意都有，则

，即成立.

11.（2008山东卷)将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

a1

a2  a3

a4   a5  a6

a7  a8   a9    a10

……

记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1. Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足＝1=（n≥2）.

(Ⅰ)证明数列｛｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式；

（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和.

12.(2007湖南)已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…．

（I）证明：数列（）是常数数列；

（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；

（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增

解：（I）当时，由已知得．

因为，所以．                …… ①

于是．                                  ……②

由②－①得．                             …… ③

于是．                                 ……  ④

由④－③得，                                 …… ⑤

所以，即数列是常数数列．

（II）由①有，所以．由③有，，所以，．

而 ⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，

所以，，，

数列是单调递增数列且对任意的成立．

且

．

即所求的取值集合是．

（III）解法一：弦的斜率为

任取，设函数，则

记，则，

当时，，在上为增函数，

当时，，在上为减函数，

所以时，，从而，所以在和上都是增函数．

由（II）知，时，数列单调递增，

取，因为，所以．

取，因为，所以．

所以，即弦的斜率随单调递增．

解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，

所以，．

故，即弦的斜率随单调递增．

5.（辽宁省沈阳二中20##—20##学年上学期高三期中考试）

数列若对任意恒成立，则正整数m的最小值             （    ）

A．10     B．9       C．8       D．7

答案：A.