第1课时 实数的概念与运算
1、实数的分类
(1)按定义分类 (2)按正负性分类
有理数:有限小数或无限循环小数;无理数:无限不循环小数。
2、数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。数轴上的点与实数是一一对应的关系。
3、相反数:只有符号不同的两个数互为相反数。数的相反数是—;若和互为相反数,则+=0。
4、绝对值:在数轴上,表示数的点到原点的距离,叫做数的绝对值,记作。正数的绝值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。即
5、倒数:乘积为1的两个数互为倒数。数的倒数是;若和互为倒数,则
6、科学记数法:把一个数表示成,为不等于0的整数)形式的方法叫做科学记数法。
7、近似数与有效数字:一个与实际值很接近的数叫做近似数。一般地,近似数由四舍五入取得,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。这时,从左边第一个不是0的数字起,到精确到的这位止,所有的数字都叫做这个数的有效数字。
8、平方根、算术平方根、立方根:
(1)若,则称为的平方根,记作,其中叫做的算术平方根,0的算术平方根是0。同样,则称为的立方根,记作,0的立方方根是0。
(2)一个正数的平方根有两个,它们互为相反数。负数没有平方根。一个数的立方根只有一个。
9、实数的大小比较:
(1)数轴表示法:将两个实数分别表示在数轴上,右边的数总比左边的数大。
(2)代数比较法:正数大于0,0大于负数;两个负数比较,绝对值大的反而小。
(3)根式比较:若>≥0,则>。
10、实数的运算:
(1)实数的运算法则:
①加法法则:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两数之和等于0。②减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数。
③乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;0乘任何数都得0。
④除法法则:两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除(除数不为0);除以一个数等于乘这个数的倒数。
⑤实数的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方,其运算顺序为:先算乘方、开方,再算乘、除,最后算加减,有括号时,先算括号里面的,同一级运算按照从左到右的顺序依次进行。
(2)有理数的运算律在实数范围内也适用,常用的运算律有加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
第2课时 整式与因式分解
1、代数式的概念:
(1)用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。
(2)单项式:只含有数与字母的积的代数式叫做单项式。其中数字因数叫做单项式的系数(系数包括数字前的符号,系数不能用带分数表示)。一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。单独的一个数或字母也是单项式。
(3)多项式:几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项,不含字母的项叫做常数项,多项式中次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数。
(4)单项式和多项式统称为整式。
(5)用数值代替代数式中的字母,计算出结果,叫做代数式的值。
(6)同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
(7)合并同类项法则:同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母与字母的指数不变。
2、整式的运算:
(1)整式加减的实质就是合并同类项。
(2)整式的乘法包括:单项式乘以单项,单项式乘以多项式,多项式乘以多项式。
(3)整式的除法:单项式除以单项式,把系数和相同字母分别相除,作为商的因式。对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式时,先把多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。
(4)幂的运算法则(、是整数,≠0):
① ② ③ ④
(5)零指数幂:任何不等于零的数的零次幂都等于1,即
(6)负整数指数幂:任何不等于0的数的(是整数)次幂,等于这个数的次幂的倒数。即
3、乘法公式:
(1)平方差公式:
(2)完全平方公式:
4、因式分解:把一个多项式化成几个整式积的形式叫做把这个多项式因式分解。
第3课时 分式
1、分式的有关概念:
(1)一般地,如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母(B≠0),那么式子叫做分式。整式和分式统称为代数式。
(2)分式有、无意义的条件:当B≠0时,分式有意义;当B=0时,分式无意义。
(3)分式值为0的条件:当A=0且B≠0时,分式的值为0。
2、分式的基本性质:分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不为0的数(或整式),分式的值不变。
3、分式的约分、通分、最简分式:
(1)把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。约分的关键是确定分子、分母的公因式。分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式。
(2)把几个异分母的分式分别化为相同分母的分式叫做通分。通分的关键是确定几个分式的公分母,通常取各分母所有因式的最高次幂作为公分母,叫做最简公分母。确定最简公分母的方法:①系数取各分母系数的最小公倍数;②取所有字母的最高次幂。特别强调:为确定最简公分母,通常先将各分母分解因式。
4、分式的运算:
(1)分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。用字母表示为。
(2)分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。用字母表示
(3)分式的乘方,要把分子、分母分别乘方。用字母表示为
(4)同分母分式的加减法,只要把分子相加减,而分母不变。用字母表示为;
异分母分式相加减,先通分,变为同分母分式,然后相加减。
(5)分式的混合运算顺序与整式的运算顺序相同。
第4课时 二次根式
1、二次根式:一般地,我们把形如 (≥0)的式子叫做二次根式。
2、二次根式的性质:
(1)二次根式 (≥0)是一个非负实数的算术平方根。(双重非负性)
(2)二次根式计算(正向用于计算,逆向用可以把任何一个非负数写成平方的形式)
(3)二次根式化简(正向用于二次根式的化简与计算,逆向用于将根号外的非负因式平方后移到根号内)
3、二次根式的乘除:
(1)乘法法则:(≥0,≥0)
(正向用于二次根式的乘法计算,逆向用于将被开方式中化成不含能开得尽方的因数或因式)
(2)除法法则:(≥0,>0)
(正向用于二次根式的除法计算,逆向用于将被开方式中的分母化去)
4、最简二次根式:满足下面三个条件的二次根式是最简二次根式:
(1)被开方式中不含能开得尽方的因数或因式;
(2)被开方式中不含分母;(被开方式必须是整数或整式)
(3)分母中不含有根号。(被开方式中的每个因数或因式的指数都是1)
5、同类二次根式:几个二次根式经过化简后,如果被开方式相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
6、二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式进行合并。(合并同类二次根式)
7、二次根式的混合运算顺序与整式的运算顺序相同。
8、分母有理化:
例:
第一部分《数与式》知识点
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