数值分析

20##年 12月

部分一

（幂法与矩阵特征值）

1.     幂法求主特征值思路

幂法的主要思想就是对假设的任意初始列向量作用n次A矩阵（左乘A矩阵）后，初始向量就接近A矩阵的主特征值对应的特征向量。由于左乘n次A矩阵有可能会造成计算量溢出，所以每次都对列向量作归一化处理

 

2.     程序代码

function [  ] = mifa( A,v )

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A =[      1    21     2     3

        34     5     2     1

        54     2     6     4

         2     2    59     0];

 v=[1 1 1 1]';

u(:,1)=v(:,1);

fori=1:100

v(:,i+1)=A*u(:,i);

if abs(max(v(:,i+1))-max(v(:,i)))<10^-4

break

end

    u(:,i+1)=v(:,i+1)/max(v(:,i+1));

end

disp(u(:,i));

disp(max(v(:,i)));

k=u(:,i)'*A*u(:,i)/(u(:,i)'*u(:,i));

disp(k);

[x,c]=eig(A);

disp(c);

disp(x);

disp(i);

end

3.     结果比较和结论

初始矩阵

A =[     1    21     2     3

34     5     2     1

54     2     6     4

 2     2    59     0];

初始向量

v=[1 1 1 1]';

幂法求得特征向量

12.5147

   14.9140

   25.6935

   39.6330

归一化后特征向量

  0.3158

    0.3763

    0.6483

    1.0000

列向量最大值近似主特征值

39.6330

Rayleigh商求出主特征值

39.6330

用eig()函数算出的特征值和特征向量

  39.6331                  0                 0                   0         

        0           -18.2401 + 7.4985i       0                   0         

        0                  0           -18.2401 - 7.4985i        0         

        0                  0                 0              8.8471         

  -0.2450            -0.0471 + 0.0965i  -0.0471 - 0.0965i  -0.0574         

  -0.2919             0.1147 - 0.0939i   0.1147 + 0.0939i  -0.1747         

  -0.5029             0.2862 - 0.1187i  0.2862 + 0.1187i   0.1535         

  -0.7758            -0.9330            -0.9330            0.9709     

达到精度要求所需次数：17

 

 

结论：

可以看出初始列向量经过多次迭代后，用幂法求出的特征值和用eig()函数求出的A的特征值，满足计算精度在，并且特征向量也具有数乘关系。另外发现取特征向量v的列最大值近似的特征值和用Rayleigh商求出的特征值相同。

部分二

（QR分解与特征值）

1.     幂法求主特征值思路

 

 

2.     源程序

Household函数代码

function [ Q R ] = hshd( a)

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n=length(a);

h=eye(size(a));

fori=1:n-1

if(a(i,i)>0)

sgn=1;

else

sgn=-1;

end

x=sgn*(sum(a(i:n,i).^2))^0.5;

u=a(i:n,i)+x*eye(n-i+1,1);

ro=norm(u,2)^2/2;

H=eye(n-i+1)-u*u'/ro;

H1=eye(size(a));

H1(i:n,i:n)=H;

a=H1*a;

h=H1*h;

end

Q=inv(h);

R=a;

return

end

QR分解代码

function [   ] = qrfenjie(a)

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fori=1:50

[Q,R]=hshd(a);

a=R*Q;

end

disp(a)

end

3.     结果与结论

假设a矩阵为如下3*3矩阵

a =[  2     2     1

0     1     4

3     0     2]

计算出a的特征值为5，+2.2361i，-2.2361i三个

用QR分解逆序相乘法后得到矩阵

   5.0000   -1.0690    1.2344

   -0.0000   0.3571    2.7630

-0.0000   -1.8558   -0.3571

三对角线上要么是实特征值，要么是两两共轭的虚特征值。对于上述矩阵，有实特征5和2*2矩阵构成的虚特征值，求得虚特征值正好为2.2361i。

如果最后求得的矩阵为上三角矩阵，那么特征值就是对角线上元素，而且特征值均为实数。

用eig()函数求得矩阵特征值如下

5.0000    

 0.0000 + 2.2361i

0.0000 - 2.2361i

结论

可以看到两种算法在10^-4次精度上特征值是相等的，这也验证了QR算法的正确性。

 

部分三

（矩阵特征值与飞机横侧向稳定性分析）

根据飞机平飞时横向动力学方程

上述方程可以看做状态方程X’=AX+B的形式，A为状态空间，如果能求得A的特征值，根据飞行力学的知识可以得到飞机横向飞行的模态。所以求出A的特征值是解决这一问题的基本步骤。在前两个部分已经提到，幂法和QR分解法都能求出A的某一特征值及全部特征值，对于本问题，不能采用幂法因为1. 根据经验，A矩阵有复数特征值，并且特征值可能为负。

2. 要求出所有飞行模态必须求出所有特征值。

基于上述两点，决定采用QR分解来计算特征值。

对于某型号运输机得知如下A矩阵

-0.1150         0     -1.0000      0.0415      0

-7.9283    -1.0830    0.5311        0         0

1.6327     -0.0108   -0.1618        0         0

         0     1.0000         0         0         0

         0         0     1.0000         0         0

经过QR分解50步迭代之后得到

   -0.0064    1.0071   -0.2929    0.3413   -0.1398

   -1.7685   -0.4813   -5.9610    5.1833    0.4769

    0.1014   -0.0485   -0.8642    0.5776   -1.2995

   -0.0000    0.0000    0.0000   -0.0079   -0.1203

         0         0         0    0.0000   -0.0000

对于3阶顺序主子式

   -0.0064    1.0071   -0.2929

   -1.7685   -0.4813   -5.9610

0.1014   -0.0485   -0.8642

继续做QR分解得到

   -0.4317    1.3935    4.7202

   -1.3735    0.2997    3.5888

   -0.0012    0.0014   -1.2199

可以得到A矩阵的5个特征值近似为

0

-1.2199

-0.0079

-0.0660 + 1.3343i

-0.0660 - 1.3343i

事实上，用eig()函数求出的特征值为

        0         

  -1.2233         

  -0.0079         

  -0.0643 + 1.3359i

  -0.0643 - 1.3359i

可见QR算法具有一定的精度

那么根据飞行力学知识可以知道特征值分别对应的飞行模态

0 航向中立

-1.2233 滚转模态

-0.0079螺旋模态

-0.0643 + 1.3359i  荷兰滚

-0.0643 - 1.3359i荷兰滚

得到飞行模态之后就可以分析它的稳定性，阻尼，超调等等更为细致的问题。为分析影响飞机横侧向稳定因素提供了基础。

小结

矩阵特征值这一章节主要讲的就是如何避开解高阶的特征方程，寻求另一种可机器运算的算法来求解特征值。通过分析矩阵特性最终找到QR分解->逆序相乘->迭代的算法。这种算法运算方法单一，重复度高，计算量大非常适合计算机运算。避免了求解高次方程的困难。

数值分析主要的思路就是用数值解代替精确解，从而寻找在一定精度内可以接受的数值算法。这是一种重要的简化问题的思路。在工程上，往往不要求精确解，所以不需要那些复杂但是精确的算法，更多时候可能也根本没有精确算法。当计算机能力越来越强，数值解的应用更为广泛。数值分析这门课提到最多的思路就是如何设计算法寻找一种近似。它看似与数学的思想背道而驰，却恰恰很好地体现了哲学的精神。世界上没有绝对的相同，也就是说求出精确解实际上却是不可能达到的。精确解和实际环境脱节，应用价值不大，而数值分析的思想不仅可以简化问题而且也能保证精度要求。

 

第二篇：项目数据分析报告模板

项目数据分析报告模板

目 录

第一章 项目概述

　　此章包括项目介绍、项目背景介绍、主要技术经济指标、项目存在问题及建议等。

第二章 项目市场研究分析

　　此章包括项目外部环境分析、市场特征分析及市场竞争结构分析。

第三章 项目数据的采集分析

　此章包括数据采集的内容、程序等。第四章 项目数据分析采用的方法

　　此章包括定性分析方法和定量分析方法。

　　第五章 资产结构分析

　　此章包括固定资产和流动资产构成的基本情况、资产增减变化及原因分析、自西汉结构的合理性评价。

　　第六章 负债及所有者权益结构分析

　　此章包括项目负债及所有者权益结构的分析：短期借款的构成情况、长期负债的构成情况、负债增减变化原因、权益增减变化分析和权益变化原因。

　　第七章 利润结构预测分析

　　此章包括利润总额及营业利润的分析、经营业务的盈利能力分析、利润的真实判断性分析。

　　第八章 成本费用结构预测分析

　　此章包括总成本的构成和变化情况、经营业务成本控制情况、营业费用、管理费用和财务费用的构成和评价分析。

　　第九章 偿债能力分析

　　此章包括支付能力分析、流动及速动比率分析、短期偿还能力变化和付息能力分析。

　　第十章 公司运作能力分析

　　此章包括存货、流动资产、总资产、固定资产、应收账款及应付账款的周转天数及变化原因分析，现金周期、营业周期分析等。

　　第十一章 盈利能力分析

　　此章包括净资产收益率及变化情况分析，资产报酬率、成本费用利润率等变化情况及原因分析。

　　第十二章 发展能力分析

　　此章包括 销售收入及净利润增长率分析、资本增长性分析及发展潜力情况分析。

　　第十三章 投资数据分析

　　此章包括经济效益和经济评价指标分析等。

　　第十四章 财务与敏感性分析

　　此章包括生产成本和销售收入估算、财务评价、财务不确定性与风险分析、社会效益和社会影响分析等。

　　第十五章 现金流量估算分析

　　此章包括全投资现金流量的分析和编制。

　　第十六章 经营风险分析

　　此章包括经营过程中可能出现的各种风险分析。

　　第十七章 项目数据分析结论与建议

　　第十八章 财务报表

第十九章 附件

大致包括这些内容，可以根据实际要求增减

与其他的报告如可行性研究报告、商业计划书等差不多，只不过更注重数据采集的可靠性和分析手段，现金流预测之后的风险分析（敏感性分析、盈亏分析等）