知识点总结

一、平行线分线段成比例定理及其推论： 
1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 
2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。 
3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。 
二、相似预备定理： 
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 。 
三、相似三角形： 
1.定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 
2.性质：（1）相似三角形的对应角相等； 
    （2）相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例； 
    （3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 
说明：①等高三角形的面积比等于底之比，等底三角形的面积比等于高之比；        ②要注意两个图形元素的对应。 
3. 判定定理： 
（1）两角对应相等，两三角形相似； 
（2）两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似； 
（3）三边对应成比例，两三角形相似； 
（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 
  四、三角形相似的证题思路：

五、利用相似三角形证明线段成比例的一般步骤： 
一“定”：先确定四条线段在哪两个可能相似的三角形中； 
二“找”：再找出两个三角形相似所需的条件； 
三“证”：根据分析，写出证明过程。 
如果这两个三角形不相似，只能采用其他方法，如找中间比或引平行线等。
 六、相似与全等： 
全等三角形是相似比为1的相似三角形，即全等三角形是相似三角形的特例，它们之间的区别与联系： 
1.共同点它们的对应角相等，不同点是边长的大小，全等三角形的对应边相等，而相似三角形的对应的边成比例。 
2.判定方法不同，相似三角形只求形状相同的，大小不一定相等，所以改“对应边相等”成“对应边成比例”。

 

常见考法

（1）利用判定定理证明三角形相似；

（2）利用三角形相似解决圆、函数的有关问题。
 

误区提醒

（1）根据相似三角形找对应边时，出现失误找错对应边，因此在写比例式时出错，导致解题错误信息；（2）在定理的实际应用中，常常忽视“夹角相等”这个重条件，错误认为有两边对应比相等，再有一组角相等，就能得到两个三角形相似。

                                          

 

第二篇：相似知识点复习

相似三角形知识点

一、考点分析与例题分析

1、 线段的比

1）比例的合比性质，比例的等比性质

2）线段求比需注意：单位要统一

2、 黄金分割

1）定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果，即AC²=AB×BC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。其中≈0.618。

2）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。

3、 相似多边形

性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。（可与定义互推）

1、如果四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′相似，且∠A=68°，则∠A′=    。

2、下列说法中正确的是（     ）

A、所有的矩形都相似   B、所有的正方形都相似   C、所有的菱形都相似    D、所有的等腰梯形都相似 

3、已知，ABCDE∽五边形FGHIJ，且AB=2cm，CD=3cm，DE=2.2cm，GH=6cm，HI =5cm，FJ=4cm，

∠A=120°，∠H=90°。求:(1)相似比等于多少 (2)求FG,IJ,BC,AE, ∠F, ∠C

4、 相似三角形

1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。相似比为k。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。

两个等腰直角三角形一定相似。

两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

3）判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

参照三角形全等的判定方法：

③两角对应相等的两个三角形相似。

④三边对应成比例的两个三角形相似。

⑤两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

1、下列各组三角形一定相似的是（    ）

A．两个直角三角形     B．两个钝角三角形      C．两个等腰三角形     D．两个等边三角形 

2、如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，写出对应边的比例式。

3、如图，已知△ABC∽△ADE，AE=50 cm，EC=30 cm，BC=70 cm，∠BAC=45°，

∠ACB=40°，求：1）∠AED和∠ADE的度数；2）DE的长。

5、 相似多边形的周长比和面积比

关系：若△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么△ABC与△A′B′C′的周长比为k，面积比为k ²。

6、 位似

1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。

②两个位似图形的位似中心只有一个。

③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。

④位似比就是相似比。

2）性质：①位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。

②位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）。

③每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行。

练习设计

1、△ABC与△DEF相似，且相似比是，则△DEF 与△ABC与的面积比是（   ）

A、    B、    C、    D、

2、如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF。

3、已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD²=PD?AD，求证：△ADC∽△CDP。

4、已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD²=PD?AD，求证：△ADC∽△CDP．

5、如图，正方形ABCD中，E、F分别在AB、BC边上，且AE=CF、BG⊥CE于G。试证明DG⊥FG。

中考热点

1．比例的基本性质

[例1]．已知，则=＿＿＿＿＿。

2．相似图形的性质

[例2]．在△ABC中，若D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，AD=1，DB=2，则△ADE与△ABC的面积比为____________.

3．相似三角形的判定

[例3]．如图9，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似．你添加的条件是              

[例4]．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(  )

[例5]．如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上.若大楼的宽是40米，求这个矩形的面积.

〖考题训练〗

1．如果＝，那么＝＿＿＿＿＿。

2．已知：如图2，在△ABC中，∠ADE＝∠C，则下列等式成立的是（    ）

    A.  ＝    B.  ＝    C.  ＝    D.  ＝

〖课后作业〗

①．若 ，则的值是(      )

A、    B、   C、   D、

③．如果两个相似三角形对应高的比是1：2，那么它们的面积比是            。

④．如图，D、E两点分别在AC、AB上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为合适的条件：                  ，使得△ADE∽△ABC.

⑤．在△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，且DE∥BC，如果AD＝2，DB＝4，AE＝3，那么EC＝　　　　　　

⑥．在下列命题中，真命题是　　　　　　　　　（　　　　　）

　　　A、两个钝角三角形一定相似　　　　　B、两个等腰三角形一定相似　　　　　

C、两个直角三角形一定相似　　　　　D、两个等边三角形一定相似

⑦．矩形ABCD中,M是BC边上且与B、C不重合的点,点P是射线AM上的点,若以A、P、D为顶点的三角形与△ABM相似,则这样的点有           个.

⑧．已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，F是CD的中点，一束光线从A点出发，通过BC边反射，恰好落在F点（如图），那么，反射点E与C点的距离为＿＿＿＿＿＿。