《相似三角形》知识点归纳

知识点1  有关相似形的概念

(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多

边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．

知识点2  比例线段的相关概念、比例的性质

（1）定义： 在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．

注：①比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：．

    ② 核心内容：

（2）黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618．即  简记为：

    注：①黄金三角形：顶角是36⁰的等腰三角形   

        ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形

（3）合、分比性质：．

注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

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相似三角形基本知识

知识点一：放缩与相似形

1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。

注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

       ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

       ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．

       ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．

3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.

知识点二：比例线段有关概念及性质

（1）有关概念

1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b＝m：n（或）

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相似三角形知识点总结

1. 比例线段的有关概念： 在比例式ac?(a：b?c：d)中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项， bd

b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。

2把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线

段AB的黄金分割点。

2. 比例性质： ①基本性质：acaca±bc±d ??ad?bc ②合比性质：???bdbdbd

③等比性质：acma?c?…?ma??…?(b?d?…?n≠0)?? bdnb?d?…?nb

3. 平行线分线段成比例定理：

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。

则ABDEABDEBCEF?，?，?，… BCEFACDFACDF

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

4. 相似三角形的判定：

①两角对应相等，两个三角形相似

②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

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知识点总结

一、平行线分线段成比例定理及其推论： 
1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 
2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。 
3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。 
二、相似预备定理： 
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 。 
三、相似三角形： 
1.定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 
2.性质：（1）相似三角形的对应角相等； 
    （2）相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例； 
    （3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 
说明：①等高三角形的面积比等于底之比，等底三角形的面积比等于高之比；        ②要注意两个图形元素的对应。 
3. 判定定理： 
（1）两角对应相等，两三角形相似； 
（2）两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似； 
（3）三边对应成比例，两三角形相似； 
（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 
  四、三角形相似的证题思路：

五、利用相似三角形证明线段成比例的一般步骤： 
一“定”：先确定四条线段在哪两个可能相似的三角形中； 
二“找”：再找出两个三角形相似所需的条件； 
三“证”：根据分析，写出证明过程。 
如果这两个三角形不相似，只能采用其他方法，如找中间比或引平行线等。
 六、相似与全等： 
全等三角形是相似比为1的相似三角形，即全等三角形是相似三角形的特例，它们之间的区别与联系： 
1.共同点它们的对应角相等，不同点是边长的大小，全等三角形的对应边相等，而相似三角形的对应的边成比例。 
2.判定方法不同，相似三角形只求形状相同的，大小不一定相等，所以改“对应边相等”成“对应边成比例”。

 

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【基础知识精讲】

1．相似三角形的定义

对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．

2．能根据相似三角形的定义，判断两个三角形是否相似．要判断是否相似，必须满足两个条件：①所有的对应边成比例；②所有的对应角相等．如两个等腰三角形未必相似．

3．利用相似三角形定义进行计算，即相似三角形对应边成比例，对应角相等的应用，这里特别强调两个三角形的对应关系．能够熟练掌握下面5个常见的相似基本图形：

1．如图，在

（A）

ABCD中，EF∥AB，DE︰EA=2︰3，EF=4，则CD的长为（ ） 16 （B）8 （

C）10 （D）16 3

2．如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）

（A）1条 （B）2条 （C

）3条 （D）4条

3．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN∶S四边形ANME 等于（ ）

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【人教版】初中数学九年级知识点总结：27相似

【编者按】相似以及相似三角形是初中数学的基础内容，也是重要内容，运用相似三角形求解线段和角的问题是常见题型。通过本章内容对相似三角形的学习，培养学生认识和观察事物的能力和利用所学知识解决实际问题的能力。

一、目标与要求

1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似．
2．能根据相似比进行计算．
3．通过与相似多边形有关概念的类比，得出相似三角形的定义, 领会特殊与一般的关系．
4．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力．
5．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力．
6．通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系．

二、知识框架

                                                                   

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初中数学九年级知识点总结：相似

一、目标与要求

1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似．
2．能根据相似比进行计算．
3．通过与相似多边形有关概念的类比，得出相似三角形的定义, 领会特殊与一般的关系．
4．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力．
5．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力．
6．通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系．

二、知识框架

                                                                   

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