液体粘滞系数的测定

实验目的

(1) 观察液体的内摩擦现象,了解小球在液体中下落的运动规律。

(2) 用多管落球法测定液体粘滞系数。

(3) 掌握读数显微镜及停表的使用方法。

(4) 学习用外延扩展法获得理想条件的思想方法。

(5) 用作图法及最小二乘法处理数据。

实验方法原理

液体流动时,各层之间有相对运动,任意两层间产生等值反向的作用力, 称其为内摩擦力或粘滞力 f , f 的方向沿液 层接触面,其大小与接触面积 S 及速度梯度成正比,即 f = ηSdv dx 当密度为ρ的小球缓慢下落时，根据斯托克斯定律可知,小球受到的摩擦阻力为 小球匀速下落时, 小球所受的重力ρvg,浮力ρvg,及摩擦阻力 f 平衡，有 of = 3πηvd

V ( )g ρ ? ρo=

13 3πηvod =

3πηv d o ( ) d g 6 π ρ ? ρo

η =( ρ ? ρ )gd2

18vo

vo=tL大量的实验数据分析表明 t 与 d/D 成线性关系。以 t 为纵轴，d/D 为横轴的实验图线为一直线，直线在 t 轴上的截 距为 t，此时为无限广延的液体小球下所需要的时间，故 o

实验图线为直线，因此有 t = to+ ax

0可用最小二乘法确定 a 和 t的值。

实验步骤

(1) 用读数显微镜测钢珠的直径。

(2) 用卡尺量量筒的内径。

(3) 向量筒内投入钢球，并测出钢球通过上下两划痕之间距离所需要的时间。

(4) 记录室温。

数据处理

2 量筒直径 D 时间 t ? D ×序号 小球直径 /mm /mm /s /度 1.308 50.14 25.41 2.61 1 1.309 1.304 1.295 1.301

2 1.301 1.301 40.10 25.63 3.24 1.300 1.300 31.18 25.72 4.18 3 1.303 1.302 1.303 17.8 1.303

4

5

6 1.304 1.298 1.310 1.304 1.301 1.308 1.306

1.298

用最小二乘法计算 t o1.302 23.42 18.96 14.26 25.96 26.28 26.34 5.56 1.305 6.88 1.304 9.14

xt = 1.37 x= 0.000328 2

0.0527

26.01 ? a= ?2.29

× ? 1.37

2 s = t= 0.0527 0.00032

? 26.01 L 25.89 ?2.29) ×0.0527 v s o 4.61mm t oo

η = (ρ ? ρ )gd = 1.37 18v ×10 o2 ?3 ? kg / m s

1. 用误差理论分析本实验产生误差（测量不确定度）的主要原因。怎样减小它的测量误差?

答：主要有小球半径测量不确定度 u(d)、小球下落距离测量不确定度 u(L)和小球下落时间测量不确定度 u(t)等。①

u(d)有两种原因：①是小球直径不均匀,因此应求平均半径；②是仪器误差。② u(L)有两种原因：①用钢板尺测 L 所带

来的误差；②按计数器时，因小球刚好没有对齐标示线而产生的误差。③ u(t)按计数器时所产生的误差。

分析结果可见，小球直径的误差对测量结果影响最大，所以小球不能太小，其次量筒应适当加长，以增加落球时间，从 而减少时间测量的误差。

2. 量筒的上刻痕线是否可在液面位置?为什么?

答：不能。因为开始小球是加速运动，只有当小球所受的重力、浮力、粘滞力三力平衡后，小球做匀速运动时，才可以 计时，所以不能从液面开始。 3. 为什么小球要沿量筒轴线下落?

答：圆形玻璃量筒的筒壁对小球运动产生严重影响，只能在轴线上运动，才能使筒壁横向的作用力合力为零。 用电位差计测量电动势 实验目的

(1) 掌握电位差计的基本线路及测量原理。

(2) 掌握用线式电位差计、 UJ37箱式电位差计测量电动势的电压的基本实验方法。 实验方法原

理

(1) 用补偿法准确测量电动势（原理）

如图 3-10-2 所示。 E是待测电源， E是电动势可调的电源， E和 E起。当调节 E的大小，使夫流计指针不偏转，即电路中没有电流时，两个 等，互相补偿，即 E＝E，电路达到平衡。

3-10-2 补偿原理 (2) 电位差计 测量电动势（方法）

由电源 E、开关 K、变电阻 R精密电阻 R回路。由 R上有压降，当改变 a、b两触头的位置，就改变 a、b间的电 位差 Ua。b。，就相当于可调电动势 E。测量时把 Ua。b。引出与未知电动势 E比较。由 E、K和 Raxbx 组成的回路叫测量回路。调节 RX

X

X

C

AB

AB

通过检流计联在一 电源的电动势大小相

0X

XXC

路中电流值 I和 R的乘积 IR略大于 E和 E二者中大的一个。

AB

AB

S

X

实验步骤

(1) 用线式电位差计测电池电动势

3-10-3 电位差计原理图

① 联结线路

按书中图 3-10-4 联电路，先联接工作回路，后联接测量回路。正确 联接测量回路的关键是正确联双刀双掷开关 K。

②测量

(a) 调节 R使 U≥E，I值调好后不许再变。

(b) 将 K掷向 E一侧，将滑动触头从 1 逐一碰试，直到碰相邻插孔时检流计指针向不同方向摆动或指零，将 a 插 入较小读数插孔，移动 b′使检流计指零。最后合上 K。

(c) 将 K掷向 E，重复步骤（b）。 (2) UJ37 箱式电位差计的校准和使用

UJ37 箱式电位计测量范围为 1~103mV，准确度级别 0.1 级，工作温度范围 5℃～45℃。 ①校准

先把检流计机械调零。把四刀双掷扳键 D 扳向“标准”，调节工作电流直至检流计指零点。 ②测量

校准完后，把待测电压接入未知，将未知电压开关扳向“ON”。先粗调，后细调。 数据处理

2

C

AB

X

2

S

3

2

X

4 5

LS 左＝4.6687

L＝4.6691

S 右

6

L＝4.6689 LS 左＝4.6684 LS 右＝4.6692 L＝4.6688 LS 左＝4.6686 LS 右＝4.6690

S4

S5

平均值

L＝4.6688

S6

LX 左＝9.5364 LX 右＝9.5370 L＝9.5367 LX 左＝9.5360 LX 右＝9.5370 L＝9.5365 LX 左＝9.5378 LX 右＝9.5385 L＝9.5382

X4X5X6

=4.6687

S

x

L＝9.5364

X

(1) 计算未知电动势 E的平均值

E =

x

L

L

S

E

＝3.2004V

S

x

(2) 计算未知电动势 E的不确定度 U ① 计算直接测量量 Ls 的标准不确定度 u

( )

B

u ( ) =

A

L

n n ?

Si

L

＝0.3mm； u( ) = 8mm；

2

S

2

u( ) =

A

∑

L

u( ) =

A

B

x

2

(

L ?

＝0.3mm； uB

( ) = 8mm；

1。

② L的标准不确定度u

( )

B

u ( ) =

A

L

∑?

xi

(

＝1.1mm； u( ) = 12mm；

2

u( ) =

s

u( ) + u( )

A

B

2 n n ?

( 1)

2

＝12.05mm。

L1 L2

③ E的标准不确定度

( ) = u( )

B

=

?仪

3

＝0.002V。

u ucrel

x

x

④ E的标准不确定度 uc

( )=

x

x

( )

( )

RC E K

0.38％；

E的合成标准不确定度 uc＝ ucrelEx＝0.012V。 ⑤ E的扩展不确定度

取包含因子k = 2，Ex 的扩展不确定度U为

( )

EX

R

G

U =

kux

c

( ) =

2u( )＝0.024V。

c

x

思考题图 3-10-6

X

思考题 2 附图

S

(3) 结果表达式

E=

x

(

E+U

x

)V = (

3.20 ± 0.02 V;k = 2

)

(1) 按图3－10－4联好电路做实验时，有时不管如何调动a头和b头，检流计G的指针总指零，或总不指零，两种情

况的可能原因各有哪些？

(2) 用电位差计可以测定电池的内阻，其电路如图3-10-6所示，假定工作电池E>E，测试过程中R调好后不再变动，

X

c

R是个准确度很高的电阻箱。R是一根均匀的电阻丝。L、L分别为K断开和接通时电位差计处于补偿状态时电阻丝的长

X

1

2

X

度。试证明电池E的内阻 r

X

L L

=R（R为已知）。 1

2xX

L 2

1.按图 3-10-4 联好电路做实验时，有时不管如何调动 a 头和 b 头，检流计 G 的指针总指零，或总不指零，两种情况的 可能原因各有哪些?答：总指零的原因：测量回路断路。总不指零的原因： ① E 和 E极性不对顶；② 工作回路断路； x

③ R上的全部电压降小于 E，E二者中小的一个。 ABSx

图 3-10-6 思考题 2 附图

2. 用电位差计可以测定电池的内阻，其电路如图 3-10-6 所示，假定工作电池 E＞Ex，测试过程中 Rc 调好后不再变动， Rx 是个准确度很高的电阻箱。R 是一根均匀的电阻丝。L、L分别为 Kx 断开和接通时电位差计处于补偿状态时电阻丝的 12

长度。试证明电池 Ex 的内阻 r=[(L-L)/L]R(R为已知)。 122xx

证明：设 A 为 R 上单位长度的电位差，

Rx / ( r + Rx )Ex =AL(3) 2V为 K的端电压，则有： x2E=AL(1) x1V=AL(2) 而 x2代入（2）式得:

(1)

式除(3)式，整理后得： r =[(L- L) / L] R 122x

4. 如图 3-10-4 所示的电位差计，由 A 到 B 是 11m 长的电阻丝，若设 a=0.1V/m，11m 长的电压降是

1.1V，用它测仅几

毫伏的温差电动势，误差太大。为了减少误差，采用图 3-10-8 所示电路。图 3-10-8 是将 11m 长的电阻丝 AB 上串接了

两个较大的电阻 R和 R。若 AB 的总电阻已知为 r, 且 R、R、r 上的总电压为 1.1V，并设计 AB(11m)1212

电阻丝上的 a=0.1mV/m，

试问 R+R的电阻值应取多少? 若标准电池 E的电动势为 1.0186V，则 R可取的最大值和最小值分别为多1201

少(用线电阻 r

表示)?答：① 由于电位差计单位长度电阻线的电位差为 a，则电阻线 AB 上的电位差 V=11a＝1.1mV，AB

而回路电流应为

I =V/r。另一方面，由于 I(R+R+r)=1.1V， AB12

所以 (V/r)(R+R+r)= 1.1V, 即 V[ (R+R)/r +1]= 1.1V。所以 R+R=[(1.1/V)-1]r=(1.1/0.0011-1)r＝999r 。② AB12AB1212AB

当 RI = E时，R为最小，即 R= R1min，此时有 RI + E+ Ir = 1.1。由于 I =V/r =0. 201110AB

 

第二篇：液体粘滞系数测定实验

液体粘滞系数的测量与研究

一实验目的

1．了解用斯托克斯公式测定液体粘滞系数的原理，掌握其适用条件。

2．学习用落球法测定液体的粘滞系数。

3．熟练运用基本仪器测量时间、长度和温度。

4．掌握用外推法处理实验数据。

二实验仪器

液体粘滞系数仪、螺旋测微器、游标卡尺、钢板尺、钢球、磁铁、秒表、温度计。

三实验原理

当物体球在液体中运动时，物体将会受到液体施加的与其运动方向相反的摩擦阻力的作用，这种阻力称为粘滞阻力，简称粘滞力。粘滞阻力并不是物体与液体间的摩擦力，而是由附着在物体表面并随物体一起运动的液体层与附近液层间的摩擦而产生的。粘滞力的大小与液体的性质、物体的形状和运动速度等因素有关。

根据斯托克斯定律，光滑的小球在无限广延的液体中运动时，当液体的粘滞性较大，小球的半径很小，且在运动中不产生旋涡，那么小球所受到的粘滞阻力f为

                                  （1）

式中d是小球的直径，v是小球的速度，为液体粘滞系数。就是液体粘滞性的度量，与温度有密切的关系，对液体来说，随温度的升高而减少（见附表）。

 本实验应用落球法来测量液体的粘滞系数。小球在液体中做自由下落时，受到三个力的作用，三个力都在竖直方向，它们是重力、浮力、粘滞阻力f。开始下落时小球运动的速度较小，相应的阻力也小，重力大于粘滞阻力和浮力，所以小球作加速运动。由于粘滞阻力随小球的运动速度增加而逐渐增加，加速度也越来越小，当小球所受合外力为零时，趋于匀速运动，此时的速度称为收尾速度，记为v₀ 。经计算可得液体的粘滞系数为

                                （2）

式中是液体的密度，是小球的密度，g是当地的重力加速度。

可见，只要测得，即可由（2）式得到液体的粘滞系数。但是注意，上述推导包括（1）、（2）式都在特定条件下方才适用（见原理的第一段黑体字部分），通过对实验仪器和实验方法的设计，这些条件大多数都可以满足或近似满足（结合本实验所用仪器和实验步骤，思考一下哪些条件被满足，是如何做到的），唯独“无限广延”在实验中是无法实现的。因此，为了准确测出液体的粘滞系数，我们需要进一步对实验进行设计，下面将分别在实验上采用外推法和在理论上对计算公式进行修正进行测量，这些方法体现了实验手段和理论手段在物理实验中的作用和特点，同时反映出针对同一个问题如何在实验中层层深入，不断提高测量结果的准确程度，而这正是物理学实验的魅力所在。

四实验设计

4.1 外推法的实验设计与测量

4.1.1横向“无限广延”之外推

用上述落球法测量出来的收尾速度与液体尺度有关，那么我们不妨在实验中就对液体尺度的依赖关系进行定量研究，如果该依赖关系存在规律，则有可能对我们的测量带来帮助或指引。由于上述讨论中对液体的形状没有做具体要求，我们在实验中采用试管作为容器，这样得到具有轴对称性的液柱，于是我们要研究的就是液柱的尺度大小对的影响。为简化测量，可先固定液柱的高度，改变液柱横截面积，这可以用一组直径不同的试管来实现（见图1）。将这些试管装上同种待测液体，安装在同一水平底板上，每个管子上都用两条刻线A、B标出相等的间距，记为（上刻线A与液面间应留有适当距离，使得小球（用直径最小的球）下落经过A刻线时，可以认为小球已进入匀速运动状态）。依次测出小球通过管中的两刻线A、B间所需的时间，各管的直径用表示，则通过大量的实验，我们就可以得到与之间的关系。已有的数据表明，与成线性关系。即以为纵坐标轴，以为横坐标轴，根据实验数据可以作出一条直线（动手画画看！）。这是个好消息，因为如果延长该直线与纵轴相交，其截距对应的是时的，而正好对应，于是我们用这种方法就可以外推出在横向“无限广延”的液体中，小球匀速下落通过距离所需的时间。所以有

                        （3）

将（3）代入（2），即可求出液体的粘滞系数：

                        （4）

若式中各量均采用国际单位，则的单位为帕?秒，记为 ，。

误差计算：

                       （5）                                                                       （6）

最终测量结果表示成：

                               （7）

4.1.2纵向“无限广延”之外推

为满足在纵向上“无限广延”这一条件，则小球的收尾速度还应修正为

                            （8）

其中，k为常数，l为液体的深度。将（3）式代入（8）式,可得

                            （9）

（9）式中，v、h、k及d均为常量，故与满足线性关系。

根据（9）式，如果向各圆管中加入适量的液体，在保持各圆管中的液体深度均为时，利用多管落球法之时外推出的小球匀速下落距离h所需的时间，当各管中的液体深度均为、，…，时,小球匀速下落距离h所需的时间，，…，作图，并进行线性拟合，延长直线与纵轴相交，纵截距为，则就是当（横向为无限广延）且（纵向为无限广延）时，小球匀速下落h所需要的时间，故

                                   （10）

将（10）式代入（2）式，可得

                          （11）

（11）式即为当液体在横向和纵向均满足“无限广延”条件下测量液体粘滞系数的计算公式。

4.1.3 小球半径无限小之外推

由于在实验中采用玻璃圆筒作为容器盛放蓖麻油，这与斯托克斯定律第二假定所要求的“在无限广延的媒质中”的环境不同。由流体力学可知：小球在容器中的下降速度要比在广延液体中的下降速度小，两者相差一个修正因子。密立根通过实验得到的修正因子为：

                    （12）

式中R和r分别为容器和小球的半径，l为筒中液体的深度。可见，对同样大小的球而言，圆筒内半径R越小，液体的深度l越小，修正因子越大；同样，对同一圆筒及一定深度的液体，球的半径r越大，就越大。于是，可以想象，当小球的直径趋于零时，器壁对小球的影响亦将趋于零。 此时，量筒中的液体相对小球来说，也就可理解为“无限广延”的液体了。但是直径趋于零的小球是无法实现的，此时如果运用外推方法，就可以帮助我们实现这种理想的状况。由于液体的深度比量筒的直径大得多，在不考虑量筒的深度对落球的影响时，修正因子

                   （13）

则，液体粘度与量筒直径D及小球直径d有如下关系

                       （14）

式中是液体的真实粘滞系数，是用落球法测量得到的粘滞系数。从(14)式可看出，和d成线性关系，因此可以用不同直径的小球测出若干个（此时，D和l尽可能大），并以为纵轴，d为横轴作出一d图线，再进行线性外推。当0时，直线在纵轴上的截距就是液体真实的粘滞系数。

4.2 理论修正

4.2.1 边界条件的理论修正

    上述外推法虽然能比较准确地测量出液体的粘滞系数，但小球的运动状态也会对测量结果产生影响，得到的测量结果仍存在未知误差。那么有无更好的方法来解决这个问题呢？让我们从头开始换个方式思考，既然容器的边界效应对球体受到的粘滞力有影响，可否一开始就从理论上将液体尺度的影响因素考虑进来？实际上是可以的，通过流体力学的分析可以证明，在其他条件不变的前提下，对于本实验中采用的是具有轴对称性的柱状液体，不考虑小球运动状态的影响时，小球在其中所受粘滞力公式（1）应修正成：

                                     （15）

同样用落球法进行测量，粘滞系数应相应地表示成：

                    （16）

其中，为容器内径，为量筒内待测液体的总高度，r为小球的半径。

4.2.2小球运动状态的修正——雷诺数修正

不仅液体的边界条件对小球在其中的运动有较大影响，物体在均匀稳定液体中的运动实际上还受到雷诺数的影响。雷诺数是描述流体运动或物体在均匀稳定液体中运动的一个重要的无量纲参数：

                                     (17)

其中是液体密度，是物体运动速度或流体稳定流速，是运动物体的线性尺度，对本实验而言即小球直径，是液体的粘滞系数。雷诺数的大小决定了物体在液体中的运动方式，一般当（相当于小尺度物体在低密度、高粘滞系数的液体中进行低速运动）时称低雷诺数运动，此时液体中的粘滞力起主导作用，而液体的惯性力可以忽略，运动物体感受到周围液体以层流方式流动；而当时（相当于大尺度物体在高密度、低粘滞系数的液体中进行高速运动）称物体做高雷诺数运动，此时液体的惯性力作用逐渐增强，尤其是当雷诺数超过某个阈值时（一般）液体中的粘滞力可以忽略，物体感受到周围液体以湍流方式流动，展现出非常复杂的混沌效应。由于雷诺数对物体在液体中的运动影响很大，即便是对小雷诺数下的运动，公式（15）也需要做进一步修正，此时粘滞力在（15）式的基础上还要再乘上一个与雷诺数有关的修正项：

         （18）

由上式可见，当较小时，可以只考虑第一级修正，随着逐渐增大，需要将第二、第三甚至更多级的修正考虑进来，而当时，公式中的修正项会变得比主项还大，这表明此时流体内的运动已经产生质的变化，基于斯托克斯公式的（18）式不再适用。

    在实际操作中，一般当时我们仅考虑第一级雷诺数修正（为什么？），此时粘滞系数计算公式可以写成（试着推导一下）：

            （19）

五 实验内容

1. 液体横向和纵向“无限广延”之外推法测量蓖麻油的粘滞系数

提示：采用直径最小的刚球，在不同的液体深度下（约4个深度l值），分别测量4个管子中小球下落液体高度h（15cm左右，具体数据需要测量）所用的时间（选择5-6个刚球在同一个管子中下落，记录每个小球下落时间，该过程不可打捞落入液体中的刚球，否则会改变液体的流动状态）。

2.小球半径无限小之外推法测量蓖麻油的粘滞系数

提示：在保证所用管子直径最大和所装液体最深时，利用直径不同的小球测量其在液体中下落高度h所需的时间。

3. 利用理论修正公式（19）测量和计算蓖麻油的粘滞系数

提示：管子的直径D最大，液体的深度l最深，小球的半径r最小。

六 操作说明

    1．用螺旋测微器测量小钢球的直径d （选不同方向测量5次后取平均）。

2．用游标卡尺测量各管子的内直径D （选不同方向测量5次后取平均）。

3．用钢板尺测量管子上A、B刻线间的距离（选不同方向测量5次后取平均）。

4．用镊子将浸润后的小钢球依次从各管子上端液面中心处放入，并用秒表记下小钢球在管子中A、B刻线间下落的时间t 。

5. 用厘米刻度尺测量各试管内液体总高度。

注意：自行设计数据表格

七 数据处理要求

1．对应于每一个液体深度l，以t为纵坐标轴，以为横坐标轴，作出一条直线，延长该直线与纵轴相交，求截距t₀，共4张图。

2. 以t₀为纵坐标轴，以为横坐标轴，作出一条直线，延长该直线与纵轴相交，求截距。

3．利用公式（11）计算粘滞系数。

4. 把利用不同直径的小球测出的若干个值，以为纵轴，以d为横轴作出一d图线，再进行线性外推，求纵截距即为液体真实的粘滞系数。

5. 利用所测数据，分别计算各试管内考虑边界条件修正后的粘滞系数（用公式（16）计算，数据用管子直径D和液体深度l最深，且小球直径d最小的一组数据），并与用外推法（公式（11）测得的值进行比较，说明本实验中边界条件的理论修正是否有效。

6. 利用所测数据，估算本实验中小球运动的雷诺数，并根据估算值判断是否需要进行雷诺数修正，如是，则利用公式（19）计算修正后的，分别与外推法得到的和边界条件修正后得到的进行比较，说明本实验中雷诺数修正是否有效。

八 注意事项

    1．待测液体应加注至管子内刻线A上一定位置，以保证小球在刻线A、B间匀速运动。

2．小球要于管子轴线位置放入。

    3．放入小球与测量其下落时间时，眼与手要配合一致。

    4．管子内的液体应无气泡，小球表面应光滑无油污。

5．测量过程中液体的温度应保持不变，实验测量过程持续的时间间隔应尽可能短。

数据表格设计范例：以液体某一深度l，且小球直径d最小为例。

表1   小钢球直径d

表2    各管子直径D

表3     管子上两刻线间的距离

表4    各个管子中小钢球下落时间

以上表格是范例，可自行设计。

九 问题讨论

1．  式（4）在什么条件下才能成立？

2．  如何判断小球已进入匀速运动阶段？

3． 观察小球通过刻线时，如何避免视差？

4． 为了减小不确定度，应对测量中哪些量的测量方法进行改进？

十 附表

一、钢的密度=7800kg/m³    

蓖麻油的密度=962kg/m³

甘油的密度=1261 kg/m³ 

二、蓖麻油的粘滞系数值与温度的关系

                           温度(℃)    ( Pa?S)