椭圆的几何性质

一、教案背景

1.面向对象：高二学生      

2.学科：数学

3.课题：椭圆的几何性质

4.课时：3课时        

5.课前准备：

（1）学生预习本节内容，了解椭圆的范围、对称性和顶点。

（2）教师准备课件。

二、教材分析

《椭圆的几何性质》是苏教版选修1-1的内容。本节课是在学生学习了椭圆的定义和标准方程的基础上，由椭圆方程出发研究椭圆的几何性质。这是学生第一次利用方程研究曲线的几何性质，要注意对研究结果的掌握，更要重视对研究方法的学习。本节课使学生感受“数”和“形”的对立统一，是研究双曲线和抛物线几何性质的基础，起着承上启下的作用。 

三、教学目标                                          

知识目标

1.通过对椭圆标准方程的讨论，让学生掌握椭圆的几何性质。

2.领会椭圆几何性质的内涵，并会运用它们解决一些简单问题。

3.通过对方程的讨论，让学生领悟解析几何是怎样用代数方法研究曲线性质的。

能力目标

1.培养学生观察、分析、抽象、概括的能力。

2.渗透数形结合、类比等数学思想。

3.强化学生的参与意识，培养学生的合作精神。

情感目标

1.通过自主探究、交流合作，使学生体验探究的过程，从中体会学习的愉悦，激发学生的学习积极性。

2.通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育。

3.通过感受椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生良好的思维品质，激发学生对美好事物的追求。

四、教学重点与难点

重点：掌握椭圆的范围、对称性、顶点等简单几何性质。

难点：利用椭圆的标准方程探究椭圆的几何性质。

五、学法、教法与教学用具

1.学法：

(1)自主探究+合作学习：教师设置问题，鼓励学生从椭圆的标准方程出发，自主探究，合作交流，发现数学规律和问题解决的途径，使学生经历知识形成的过程。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出掌握不足的内容以及存在的差距。

2.教法：

本节课采用自主探究、合作交流相结合的教学方法，运用多媒体教学手段，通过设置问题，让学生在独立思考的基础上合作交流，加强知识发生过程的教学。在思考、探索和交流的过程中得到椭圆的几何性质，充分体现学生的主体地位。

3.教学用具：电脑、多媒体。

六、授课类型 新授课

七、教学过程

（一）复习：（1）椭圆的定义（2）椭圆的标准方程（3）椭圆中三者之间的关系

（二）新授：

问题1：观察椭圆的标准方程，它有什么特点？

生：椭圆方程是关于的二元二次方程；方程左边是平方和的形式，右边是常数1；方程中和的系数不相等。

设计意图：①为利用方程研究椭圆的几何性质做准备。②让学生感受椭圆方程结构的和谐美。

（1）椭圆的范围

问题2：自主探究：结合椭圆标准方程的特点，请大家思考，在方程中，如何确定的范围？

生1：由可得，即，所以。同理可得。

生2：还可以把看成，利用三角函数的有界性来考虑的范围。

生3：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以，

从而。同理可得的范围。
    设计意图：①由于问题1的设置，学生的思维在这儿很活跃，除了教材中的方法外，很多同学都能想到其它方法，训练了学生的发散思维。②强化学生的参与意识，培养学生分析问题、解决问题的能力。

问题3：由的范围、的范围，我们能进一步说明椭圆所处的范围吗？

生：椭圆位于直线和所围成的矩形内。

设计意图：结合多媒体展示椭圆的范围，让学生直观感知，体现数形结合思想。

（多媒体展示）练习1：讨论下列椭圆的范围：

①；    ②。

设计意图：椭圆范围的简单应用。

（2）椭圆的对称性：

问题4：自主探究：观察椭圆的标准方程，请大家利用方程研究椭圆的对称性。

生：在方程中，把换成，方程不变……

问题5：方程不变，说明什么问题，如何用语言表述出来？

生：当点在椭圆上，点关于轴的对称点也在椭圆上。而是曲线上任意一点，所以椭圆关于轴对称。同理可得，椭圆关于轴对称，关于原点对称。(学生鼓掌！)

设计意图：①训练学生语言表述的逻辑性、完整性和推理的严谨性。②从对称性的本质入手，探究椭圆的对称性。③多媒体课件展示椭圆的对称性，使学生体会椭圆的对称美。

多媒体展示椭圆的对称性后总结：对于椭圆来说，坐标轴是它的对称轴，坐标原点是它的对称中心，对称中心也叫椭圆的中心。

（多媒体展示）练习2：探究曲线的对称性，并画出曲线的图象。

设计意图：①让学生接触不同形式的曲线，检验对曲线对称性的理解。②让学生感受利用对称性可简化作图过程，感悟知识的应用。

（3）椭圆的顶点

问题6：自主探究：观察椭圆的标准方程，请大家利用方程求出椭圆与对称轴的交点坐标。

生：令，得，说明点，是椭圆与轴的两个交点。同理，点，是椭圆与轴的两个交点。

总结并给出顶点的定义（强调是与椭圆与对称轴的交点）。结合多媒体展示的椭圆图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长，点明方程中的几何意义和数量关系。

（多媒体展示）练习3：如图，已知椭圆的长轴和短轴，怎样确定椭圆焦点的位置？

设计意图：①深化对椭圆概念的理解。②巩固椭圆长轴、短轴的概念。③考察椭圆中的几何意义。④体会数形结合的数学思想。

（三）（多媒体展示）例题精讲：

例1.求椭圆的长轴长、短轴长、焦距、焦点、顶点、外切矩形的面积。

变式：若椭圆方程变为呢？

设计意图：①巩固学生对研究方法的掌握。②学会运用椭圆的几何性质。③培养学生用类比的思想解决问题的能力。④体会椭圆的性质与坐标系的选择无关。

例2.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，长轴是短轴的倍，焦距为。求椭圆的方程。

变式：如果去掉“焦点在轴上”呢？

设计意图：①运用几何性质、待定系数法求椭圆的方程。②体会分类讨论的数学思想。

（四）小结：                       

1.知识：多媒体展示有关椭圆性质的表格，学生口答。

2.数学思想：本节课运用了数形结合和类比的数学思想研究椭圆的几何性质。

3.数学方法：掌握利用曲线方程研究曲线性质的方法—解析法。

（五）作业布置：

1.（1）画出下列椭圆的图象：                          

①；  ②。

（2）观察椭圆的图象，形状有什么变化？

设计意图：①考察学生是否能应用几何性质，快速画出图形。②引导学生自主研究椭圆的另一条性质——离心率。

2.当椭圆的标准方程为时，结论如何？

设计意图：培养学生用类比思想解决问题的能力。

八、教学反思

1.教学内容：

问题方面：在问题1的基础上，问题2活跃了学生的思路，训练了学生的发散思维；问题5对于学生来说有难度，用了较长时间思考、讨论。

练习方面：练习3让学生措手不及，几何意义的出现让学生感到惊喜。

练习1及例题的变式比较成功的为作业2埋下伏笔。

2.教学思路：

问题1的设置体现了利用方程研究曲线的教学思路，在三个性质的研究中，坚持从椭圆方程出发，研究椭圆的几何性质，培养学生利用方程研究曲线性质的能力。

3.教学方法：

本节课通过设置问题，给学生足够的时间独立思考、合作交流，探究椭圆的几何性质，使他们经历数学发现的过程，激发学生对数学的学习兴趣，培养学生的数学交流能力、探索能力和逻辑思维能力。

4.运用多媒体的优势：

学生从“数”的角度研讨椭圆的几何性质，教师用多媒体作相应展示，让学生感受“数”和“形”的对立统一，渗透运动变化、相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点。

【参考文献】

［1］霍文明.20##年高中数学全国优质课比赛教案：河北—椭圆的简单几何性质［DB/OL］.豆丁网, 20##-3.

［2］单墫主编.配苏教版普通高中课程标准实验教科书 高中数学教学参考书·数学（选修1-1）［M］.南京：江苏教育出版社，2008 .

［3］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2011.

                                                       

 

第二篇：椭圆的几何性质教学案例

椭圆的几何性质教学案例

一、教案背景

1.面向对象：高二学生      

2.学科：数学

3.课题：椭圆的几何性质

4.课时：3课时        

5.课前准备：

（1）学生预习本节内容，了解椭圆的范围、对称性和顶点。

（2）教师准备课件。

二、教材分析

《椭圆的几何性质》是苏教版选修1-1的内容。本节课是在学生学习了椭圆的定义和标准方程的基础上，由椭圆方程出发研究椭圆的几何性质。这是学生第一次利用方程研究曲线的几何性质，要注意对研究结果的掌握，更要重视对研究方法的学习。本节课使学生感受“数”和“形”的对立统一，是研究双曲线和抛物线几何性质的基础，起着承上启下的作用。 

三、教学目标                                          

知识目标

1.通过对椭圆标准方程的讨论，让学生掌握椭圆的几何性质。

2.领会椭圆几何性质的内涵，并会运用它们解决一些简单问题。

3.通过对方程的讨论，让学生领悟解析几何是怎样用代数方法研究曲线性质的。

能力目标

1.培养学生观察、分析、抽象、概括的能力。

2.渗透数形结合、类比等数学思想。

3.强化学生的参与意识，培养学生的合作精神。

情感目标

1.通过自主探究、交流合作，使学生体验探究的过程，从中体会学习的愉悦，激发学生的学习积极性。

2.通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育。

3.通过感受椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生良好的思维品质，激发学生对美好事物的追求。

四、教学重点与难点

重点：掌握椭圆的范围、对称性、顶点等简单几何性质。

难点：利用椭圆的标准方程探究椭圆的几何性质。

五、学法、教法与教学用具

1.学法：

(1)自主探究+合作学习：教师设置问题，鼓励学生从椭圆的标准方程出发，自主探究，合作交流，发现数学规律和问题解决的途径，使学生经历知识形成的过程。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出掌握不足的内容以及存在的差距。

2.教法：

本节课采用自主探究、合作交流相结合的教学方法，运用多媒体教学手段，通过设置问题，让学生在独立思考的基础上合作交流，加强知识发生过程的教学。在思考、探索和交流的过程中得到椭圆的几何性质，充分体现学生的主体地位。

3.教学用具：电脑、多媒体。

六、授课类型 新授课

七、教学过程

（一）复习：（1）椭圆的定义（2）椭圆的标准方程（3）椭圆中三者之间的关系

（二）新授：

问题1：观察椭圆的标准方程，它有什么特点？

生：椭圆方程是关于的二元二次方程；方程左边是平方和的形式，右边是常数1；方程中和的系数不相等。

设计意图：①为利用方程研究椭圆的几何性质做准备。②让学生感受椭圆方程结构的和谐美。

（1）椭圆的范围

问题2：自主探究：结合椭圆标准方程的特点，请大家思考，在方程中，如何确定的范围？

生1：由可得，即，所以。同理可得。

生2：还可以把看成，利用三角函数的有界性来考虑的范围。

生3：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以，

从而。同理可得的范围。
    设计意图：①由于问题1的设置，学生的思维在这儿很活跃，除了教材中的方法外，很多同学都能想到其它方法，训练了学生的发散思维。②强化学生的参与意识，培养学生分析问题、解决问题的能力。

问题3：由的范围、的范围，我们能进一步说明椭圆所处的范围吗？

生：椭圆位于直线和所围成的矩形内。

设计意图：结合多媒体展示椭圆的范围，让学生直观感知，体现数形结合思想。

（多媒体展示）练习1：讨论下列椭圆的范围：

①；    ②。

设计意图：椭圆范围的简单应用。

（2）椭圆的对称性：

问题4：自主探究：观察椭圆的标准方程，请大家利用方程研究椭圆的对称性。

生：在方程中，把换成，方程不变……

问题5：方程不变，说明什么问题，如何用语言表述出来？

生：当点在椭圆上，点关于轴的对称点也在椭圆上。而是曲线上任意一点，所以椭圆关于轴对称。同理可得，椭圆关于轴对称，关于原点对称。(学生鼓掌！)

设计意图：①训练学生语言表述的逻辑性、完整性和推理的严谨性。②从对称性的本质入手，探究椭圆的对称性。③多媒体课件展示椭圆的对称性，使学生体会椭圆的对称美。

多媒体展示椭圆的对称性后总结：对于椭圆来说，坐标轴是它的对称轴，坐标原点是它的对称中心，对称中心也叫椭圆的中心。

（多媒体展示）练习2：探究曲线的对称性，并画出曲线的图象。

设计意图：①让学生接触不同形式的曲线，检验对曲线对称性的理解。②让学生感受利用对称性可简化作图过程，感悟知识的应用。

（3）椭圆的顶点

问题6：自主探究：观察椭圆的标准方程，请大家利用方程求出椭圆与对称轴的交点坐标。

生：令，得，说明点，是椭圆与轴的两个交点。同理，点，是椭圆与轴的两个交点。

总结并给出顶点的定义（强调是与椭圆与对称轴的交点）。结合多媒体展示的椭圆图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长，点明方程中的几何意义和数量关系。

（多媒体展示）练习3：如图，已知椭圆的长轴和短轴，怎样确定椭圆焦点的位置？

设计意图：①深化对椭圆概念的理解。②巩固椭圆长轴、短轴的概念。③考察椭圆中的几何意义。④体会数形结合的数学思想。

（三）（多媒体展示）例题精讲：

例1.求椭圆的长轴长、短轴长、焦距、焦点、顶点、外切矩形的面积。

变式：若椭圆方程变为呢？

设计意图：①巩固学生对研究方法的掌握。②学会运用椭圆的几何性质。③培养学生用类比的思想解决问题的能力。④体会椭圆的性质与坐标系的选择无关。

例2.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，长轴是短轴的倍，焦距为。求椭圆的方程。

变式：如果去掉“焦点在轴上”呢？

设计意图：①运用几何性质、待定系数法求椭圆的方程。②体会分类讨论的数学思想。

（四）小结：                       

1.知识：多媒体展示有关椭圆性质的表格，学生口答。

2.数学思想：本节课运用了数形结合和类比的数学思想研究椭圆的几何性质。

3.数学方法：掌握利用曲线方程研究曲线性质的方法—解析法。

（五）作业布置：

1.（1）画出下列椭圆的图象：                          

①；  ②。

（2）观察椭圆的图象，形状有什么变化？

设计意图：①考察学生是否能应用几何性质，快速画出图形。②引导学生自主研究椭圆的另一条性质——离心率。

2.当椭圆的标准方程为时，结论如何？

设计意图：培养学生用类比思想解决问题的能力。

八、教学反思

1.教学内容：

问题方面：在问题1的基础上，问题2活跃了学生的思路，训练了学生的发散思维；问题5对于学生来说有难度，用了较长时间思考、讨论。

练习方面：练习3让学生措手不及，几何意义的出现让学生感到惊喜。

练习1及例题的变式比较成功的为作业2埋下伏笔。

2.教学思路：

问题1的设置体现了利用方程研究曲线的教学思路，在三个性质的研究中，坚持从椭圆方程出发，研究椭圆的几何性质，培养学生利用方程研究曲线性质的能力。

3.教学方法：

本节课通过设置问题，给学生足够的时间独立思考、合作交流，探究椭圆的几何性质，使他们经历数学发现的过程，激发学生对数学的学习兴趣，培养学生的数学交流能力、探索能力和逻辑思维能力。

4.运用多媒体的优势：

学生从“数”的角度研讨椭圆的几何性质，教师用多媒体作相应展示，让学生感受“数”和“形”的对立统一，渗透运动变化、相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点。

【参考文献】

［1］霍文明.20##年高中数学全国优质课比赛教案：河北—椭圆的简单几何性质［DB/OL］.豆丁网, 20##-3.

［2］单墫主编.配苏教版普通高中课程标准实验教科书 高中数学教学参考书·数学（选修1-1）［M］.南京：江苏教育出版社，2008 .

［3］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2011.