反比例函数的图象与性质的教学反思

《新课程标准》强调教学过程是师生交往、共同发展的互动过程．在教学过程中要处理好传授知识与培养能力的关系，注重培养学生的独立性，引导学生质疑、调查、探究，在实践中学习，使学习成为在教师指导下主动的、富有个性的过程．课堂应较多地出现师生互动、平等参与的生动局面，学习方式开始逐步多样化，乐于探究、主动参与、勤于动手成为教学过程中教师的共识．为此，本节课主要通过开放式的提出问题，让学生经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，向学生渗透数形结合的思想方法，让学生初步认识具体的反比例函数图象的特征，体会事物是有规律地变化着的观点．用科学的方法解决问题，培养学生科学的态度与精神．借助于多媒体课件，让学生更能直观的知道图象的形成过程，有助于学生对数学知识的理解和掌握．

在“反比例函数的图象和性质”这一课的教学过程中，“数”与“形”的转化，是贯穿始终的一条主线。主要反映在以下几个方面。 第一，反比例函数的图象和性质，是“数”与“形”的统一体，由“解析式”到“作图”，再到“性质”，都充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，是数形结合思想的具体应用。本课的教学设计与实施中，通过“描点法”作图、观察几个具体的反比例

函数的图象、课件演示展示“由动点生成函数图象”，很好地反映了“数”、“形”之间的这种内在的联系。第二，在“列表取值为何不能取零”、“反比例函数的图象为何与坐标轴不会相交”、“特殊的反比例函数性质能否推广到一般”这几个问题中，如果单纯依靠观察图象，是无法得出具有“说服力”的结论的，这就需要“回归”解析式，再引导学生进行分析。即我们可以借助直观图形，帮助我们思考相关的问题，但仅有图形的直观是不够的，必须考虑“已经”形式化的“数”的本质“特征”，使“数”、“形”之间达到统一。于是，在教学中，我们同样关注了对“解析式”的分析。第三，在总结得出反比例函数的图象和性质之后，我们为学生提供了一组题目，目的也是为学生提供一个体会“数形结合”、应用“数形结合”分析问题的平台，使学生经历利用“图形直观”来认识、解决与函数有关问题的过程。

不足与改进：在整个课堂教学过程中，教师围绕主题、有针对性的提出问题，学生小组合作探讨问题得出结论，然而部分小组在合作探究上还有所欠缺，讨论的不够激烈完善。我的改进设想是：留给时间让学生提出问题，师生共同讨论、交流，让学生的学习更富有主动性；在画出反比例函数的图象后，没有让学生趁热打铁“看图说话”，说出具体的图象的特征；在画出反比例函数的图象后，追加这样一个问题：“请同学们仔细观察图象并进行讨论，这个反比例函数的图象区别于一次函数的图象有那些不同的特征呢？” 留给时间让学生讨论、交流，这样改进之后，必将能更大的激发学生的探索热情，更能

体现学生的创新能力，同时也为进一步学习反比例函数的图象的特征埋下伏笔，能增强学生学习的信心．

 

第二篇：《反比例函数的图象与性质》教学实录

《反比例函数的图象与性质》教学实录

新滩中学   袁玉玲

【教材】北师大版实验教材《数学》九年级上册第五章第二节

【教材地位】 本节课是在介绍了反函数的概念及其图象后的一节，是进一步对反函数的图象性质的探索和认识。

【学生情况】学生在七年级和八年级对函数的变化关系有了较丰富的体验和感受，也具备了一定的探索能力和归纳能力。

【教学目的】①逐步提高从函数图象中获取信息的能力。

②探索并掌握反比例函数的主要性质。

【教学重点】探索反比例函数图象的主要性质

【教学难点】对反比例函数增减性的理解

【教学策略】开展有效的数学活动，组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握反比例函数图像和性质的有关内容；另外，借助教具及多媒体课件，使学生能更为直观地观察、猜想、验证。

【教学方法】1、教法：师生互动，引导发现 

 2、学法：自主探究，合作交流

【教学思路】

复习引入----引发认知冲突探究新知（探索图象性质）----应用提高

【教学程序】

一、复习引入

1、慧眼识珠：下列图象中，是反比例函数的图象的是 （    ）。

【设计意图】培养学生的识图能力，以新颖的标题给学生自信与展现自我的欲望。

当学生得出正确的答案后，并引导学生上升到一个新的台阶，对答案进行分析，将函数图象与函数类型有机结合，使学生在识图的基础上，进一步理解数----形结合的思想。

2、提问：让学生对照图象回忆学过的正比例函数y=kx(k≠0)的性质。

（要求完整地表达出性质）

【设计意图】通过正比例函数与反比例函数的对比，让学生掌握比较、归纳的思想方法及类比的学习方法，为本节课要探索的内容设下伏笔。

此内容采用留白的方式，让学生完成了填空，对于反比例函数的增减性我注重了强化学生的符号感，逐步渗透数学语言的魅力。

二、探索性质

1、行家看点一：观察反比例函数y=， y=， y=的图象,你能发现它们的共同特征吗？（点拨：从解析式和图象两个方面来说明，为呈现的问题作铺垫）

（1）函数的图象分别位于哪几个象限内？

（2）在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？

（3）反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？

                                                                  

【设计意图】为学生提供独立思考与合作交流的时空，让他们在观察、交流中提高分析问题的能力和从图象中获取信息的能力。

学生把讨论的重点放在增减性，有6个小组能通过举例计算来比较（数），3个小组会通过类比一次函数的增减性的探索来分析图象的走势从而得出增减的性质（形），最后我启导学生比较得出了最优解决方案——形。

（4）动手操作：

A 将反比例函数的图象沿一、三象限或者二、四象限的角平分线对折，你发现了什么？

B 将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图象重合吗？由此可得何结论？

【设计意图】为学生提供动手操作与合作的机会，使他们经历折叠与旋转，探索出反比例函数的对称性，并体验到探索的乐趣。

该活动分工明确：单号组沿一、三象限的角平分线对折，双号组沿二、四象限的角平分线对折；旋转时一人执圆规固定旋转中心，另一人旋转图象；学生积极性高，能在活动中归纳出数学知识。

2、  行家看点二：考察当k=－2，－4，－6时，反比例函数y＝的图象，它们有哪些共同特征？

                           

【设计意图】给学生独立解决的时机，让他们通过类比的方法归纳出反比例函数图象在K〈 0时的相关性质。

3、小结：

【设计意图】通过补白进一步培养学生的鉴别力与归纳的良好学习习惯，利用课件暗示“在每一象限内”的重要性。

4、跟踪练习

① 反比例函数图象的每个分支只能无限接近x轴和y轴，但永远不可能到达x轴或y轴．（∨）

②反比例函数图象若过点（3，2），则它一定过点（-3，-2）．（∨）

生甲：利用（3，2）求出反比例函数的解析式，然后将（-3，-2）代入所求解析式，看它是否满足解析式。

师：有不同方法的同学请说出来让大家一起分享。

生乙：利用反比例函数的对称性直接就可作出判断。

师：哪种方法更简单？

生：通过比较顺理成章地找出了最优法。

③已知点A（-3，a）、B（4，b）均在y=- 2/x的图象上，则a<b

（×）

生甲（男）：将坐标代入解析式，求出a、b，再比较。

[当该生说出其思路之后，陆续有几个人举手了，多数是男生，我就点了一位有不同观点的女生发表高见。]

生乙（女）：我是利用形解决的，画图象，描点，比较大小。

[瞧，说话的语气及那刻的表情已透出了几分自信，语言表达简洁、准确。]

生丙：我是直接利用性质得到的。

[其他同学由启而思，领悟到了形带来的便利。]

师：③给了我们何启示？引导学生理解直接用增减性的条件：在每一象限内

【设计意图】让学生学有所用。

5、试一试：

在一个反比例函数图象上任取两点P、Q，过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S₁，过点Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的面积为S₂,S₁与S₂有什么关系？它们与K有关吗？

 

【设计意图】培养学生用运动的观点来看待几何问题，并从变中抓住不变的几何关系。

师：[当呈现出题目内容之后不久]你心里在想些什么？

有的学生是丈二和尚摸不着头脑，也有的同学似有所悟，给他们展现自我的机会，生却又处于懵懂状态，说不出什么来。

师：科学家爱因斯坦言：“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现”。数学这门学科就是要敢于猜想，并去验证猜想。所以，大家应首先去猜测S₁与S₂有什么关系。

同学们虽由启而发，但在验证的过程中又碰上了障碍，苦思不得其解。于是，我在此进行点拨：由生活中的实例出发（我们地穿着会变，但人没变――还是你自己），引出数学问题中的变与不变：通过几何画板软件动态演示，让学生直观感受到矩形的位置在变，通过观察数据的变化，学生得出了S₁=S₂= K，此后我便将反比例函数的Ｋ值变为负值，学生终于归纳出：S₁=S₂= | K |

三、课堂练兵

１．已知正比例函数y=k₁x（k₁≠0）与反比例函数`y=k<sub>2</sub>/x`（k₂≠0）的图象有一个交点的坐标为（-2，-1），则它的另一个交点的坐标是（A）

　　 A．（2，1）　　 B．（-2，-1）　　 C．（-2，1）　　 D．（2，-1）

2.已知反比例函数经过点A(2,－m)和B(n,2n)，求：

(1)m和n的值；

(2)若图象上有两点P₁(x₁,y₁)和P₂(x₂,y₂)，且x₁＜0＜ x₂，试比较y₁和 y₂的大小．

【设计意图】对反函数图象性质认识的及时应用和巩固。   

四、小结巩固

通过本节课的学习，谈谈你有哪些收获？

【设计意图】通过学生对知识与方法的归纳，加深对“反函数的图象与性质”的实质把握，并能用相应的方法去解决以后遇到的数学问题与实际问题。

教师可根据学生的发言适当进行补充，如：

 1、知识：用反比例函数的增减性应注意在同一象限内；巧用称性

2、方法：①比较：找出最优解决方案；

            ②归纳：要养成善于归纳的习惯，在归纳中得到提升。

            ③猜想：在观察的基础上猜想并予以验证。

3、思想：①数----形结合  

            ②用运动的观点看待数学问题：在变中紧扣不变的数量关系。

五、作业布置

1、老师在黑板上写了这样一道题：“已知点（2，5）在反比例函数y=?/x的图象上，试判断点（-5，-2）是否也在此图象上．”题中的“？”是被一个同学不小心擦掉的一个数字，请你分析一下“？”代表什么数，并解答此题目．

2、①已知点A（－2，），B（－1，）和C（3，）都在反比例函数的图象上，比较，和的大小。

②已知点A（－2，），B（－1，）和C（3，）都在反比例函数的图象上，那么，与的大小关系又如何呢？

六、课后反思

以新颖的标题还学生以自信，激发他们展现自我的欲望：复习引入--慧眼识珠、探索性质--行家看点、跟踪练习--明辨是非、巩固提高--考考你；

充分让学生经历折叠、旋转的数学活动，使他们在独立与合作的操作中归纳反比例函数图象的对称性，使对称性在学生心中打下深深烙印；

着力教给学生思维的方法，以爱因斯坦的名言激发学生对待很多数学与实际问题先去大胆猜想，然后予以验证；对于几何与运动的问题，我由生活中的实例出发（我们地穿着会变，但人没变――还是你自己），引出数学问题中的变与不变，当学生处于愤悱状态之时，通过几何画板软件动态演示，让学生直观感受到矩形的位置在变，通过观察数据的变化，学生得出了S₁=S₂= K，此后我便将反比例函数的Ｋ值变为负值，学生终于归纳出：S₁=S₂= |K|，由此便扣住了不变的数量关系。

致力培养数学算法多样化。反比例函数图象若过点（3，2），则它一定过点（-3，-2）．生甲：利用（3，2）求出反比例函数的解析式，然后将（-3，-2）代入所求解析式，看它是否满足解析式。生乙：利用反比例函数的对称性直接就可作出判断。教师借此引导学生通过比较找出了最优法。已知点A（-3，a）、B（4，b）均在y=- 2/x的图象上，则a<b

生甲（男）：将坐标代入解析式，求出a、b，再比较。生乙（女）：我是利用形解决的，画图象，描点，比较大小。生丙：我是直接利用性质得到的。其他同学由启而思，顺理成章地领悟到了用形解决问题比数更直观、简洁。也可使学生逐步养成 “追求更好”的数学学习习惯。

紧绷学习方法之弦不放松。 “授人以鱼不如授人以渔”，有些学生虽勤但未达补拙之目的，根源在于不会进行数学地思考，为此，本课时的正比例与反比例函数，我设计的是留白表格，让学生在比较中求新知，在求知中善总结。我深信：长此以往，学生的整体数学学习能力定会提升。

对于反比例函数增减性的理解学生表现差异大，原因是强调过多，给学生训练机会较少，给学生解决问题带来一定的负担；S₁=S₂=|K|说理欠缺，这将有待于在今后的教学中大力改进。